|
Dynamique du dipôle RC |
|
![]() |
Exercices : énoncé avec correction. Préparation à l'ECE : Capteur d'humidité 1)- Exercice 04 page 436 : Comprendre le
fonctionnement d’un condensateur. 2)- Exercice 08 page 437 : Déterminer la
capacité d’un condensateur. 3)- Exercice 10 page 437 : Différencier charge
et décharge d’un condensateur. 4)- Exercice 12 page 437 : Établir une équation
différentielle. 5)- Exercice 14 page 437 : Résoudre une équation
différentielle. 6)- Exercice 15 page 438 : Résoudre une équation
différentielle. 7)- Exercice 17 page 438 : Calculer un temps
caractéristique. 8)- Exercice 18 page 438 : Déterminer une
capacité par évaluation d’un temps caractéristique. 9)- Exercice 19 page 438 : Flash d’un appareil
photographique. 10)- Exercice 21 page 439 : Caractéristiques
d’une pile. 11)- Exercice 22 page 439 : Le défibrillateur. 12)- Exercice 27 page 441 : Capteur capacitif de
pression. 13)- DS N° 01 (40 min) : Airbag et
condensateur : exercice 30 page 442. 14)- Préparation à l’ECE : Capteur d’humidité.
|
QCM r
Dynamique du dipôle RC L’intensité du courant électrique Le condensateur Le modèle du circuit RC série |
I-
L’intensité du courant
électrique.
-
Un courant électrique est un déplacement des
porteurs de charge électrique, c’est un débit des porteurs de charge.
-
Dans un métal, le courant électrique est dû à un
mouvement d’ensemble et ordonné des électrons libres.
-
Dans un électrolyte le courant électrique est dû
à la double migration des ions positifs et négatifs qui se déplacent en sens
inverses.
-
Par convention, le courant électrique sort de la
borne positive du générateur.
b)-
Définition de l’intensité d’un courant électrique.
►
En régime permanent indépendant du temps :
-
L’intensité d’un courant électrique est le
rapport de la quantité d’électricité Q ayant traversée une section
s
du circuit par la durée Δt.
-
C‘est un débit de charges électriques.
-
On écrit :
|
I
intensité en ampère A |
Q
= n . e charge électrique
en coulomb C |
|
Δt
durée en seconde s |
-
Plus le débit de charges électriques est élevé et
plus l’intensité du courant est intense.
-
L’intensité du courant électrique se mesure à
l’aide d’un ampèremètre placé en série dans la branche de circuit.
-
L’intensité, notée
I s’exprime en ampère
de symbole A.
►
En régime variable, dépendant du temps :
-
L’intensité du courant varie au cours du temps.
-
La définition précédente reste valable en faisant
tendre la durée Δt vers zéro :
-
Δt → 0
-
Pendant la durée infiniment courte
dt, une
quantité d’électricité δq traverse une section
s du circuit :
-
L’intensité
i du courant est égale à la
dérivée par rapport au temps de la charge transportée :
-
On écrit :
-
►
En conclusion :
-
Quel que soit le régime de fonctionnement du
circuit, l’intensité du courant électrique est un débit de charges électriques.
-
Pour une portion de conducteur électrique,
l’intensité du courant i est la dérivée de la charge électrique par
rapport au temps :
-
►
Remarque :
-
L’intensité du courant correspond à la quantité
de charges ayant traversé une section s
d’un conducteur pendant la durée
Δt.
-
Schéma :
-
À l’échelle microscopique, le déplacement des
charges électriques est très lent.
-
À l’échelle macroscopique, la propagation du
signal électrique est très rapide.
2)- La tension
électrique : (rappel de seconde).
-
Représentation de la tension aux bornes d’un
dipôle.
-
Schéma :
-
On représente la tension électrique par un
segment fléché qui pointe vers la première lettre du symbole de cette tension.
-
L’unité de tension est le volt : V.
-
La tension est une grandeur algébrique.
-
Lors du branchement, il faut faire attention à
l’ordre des bornes.
-
UAB = –
UBA
3)- Tension électrique et
courant électrique.
-
En courant continu, l’intensité du courant est
constante. On la note avec une lettre
Majuscule
I. Elle correspond à un débit de charges
électriques.
-
De même une tension continue entre deux points
A et
B d’un circuit se note :
UAB
-
Les courants et les tensions sont qualifiés de
variables si leurs valeurs varient au cours du temps.
-
On note ses grandeurs à l’aide de lettres
minuscules :
i
pour l’intensité et uAB
pour la tension entre deux points
A et
B d’un circuit.
-
La loi d’additivité des tensions et la loi des
nœuds sont vérifiées lorsque les circuits sont parcourus par des courants
variables.
►
Le conducteur ohmique : Loi d’Ohm.
-
En courant continu et dans un circuit simple ne
comportant qu’un générateur, le sens du courant est défini de la borne (+)
vers la borne (–)
-
Par commodité, on oriente le dipôle en utilisant
le sens du courant dans le circuit :
-
On peut écrire la loi d’Ohm en courant continu :
UAB =
R .
I
-
En courant variable, la loi d’Ohm est toujours
valable,
-
On oriente le circuit, ainsi on peut écrire la
loi d’Ohm :
-
Avec l’orientation choisie :
uAB
= R .
i
-
Remarque :
uBA
= – uAB
= – R .
i
1)- Constitution d’un
condensateur.
-
Un condensateur est formé de deux conducteurs
métalliques appelés armatures, séparés par un isolant qui peut être de l'air ou
un diélectrique.
-
Le plus utilisé et le plus connu des
condensateurs est le condensateur plan.
b)-
Symbole d’un condensateur :
c)-
Exemples de condensateurs :
d)-
Champ électrique dans un condensateur plan chargé.
-
Considérons le condensateur suivant :
-
Pour charger un condensateur, on utilise un
générateur de courant.
-
Schéma :
-
Le générateur transfère les électrons d’une
armature sur l’autre.
-
On dit que le condensateur est chargé.
-
Le courant ne circule que lors de la charge.
-
Lorsque le condensateur est chargé, le courant ne
circule plus.
-
L’armature reliée à la borne plus du générateur
porte la charge + Q >
0 :
+ Q = QA
-
L’armature reliée à la borne moins du générateur
porte la charge – Q <
0 :
– Q = QB
-
Entre les armatures existe la tension
UAB
= VA – VB >0
-
Q, grandeur positive, est appelée charge
du condensateur.
-
C’est la charge portée par l’armature positive du
condensateur :
-
+
Q =
QA = –
QB
-
Dans l’espace situé entre les armatures, le champ
électrique :
-
Est considéré comme uniforme,
-
Sa direction est perpendiculaire aux armatures,
-
Son sens est dirigé de l’armature positive à
l’armature négative (sens des potentiels décroissants),
-
-
Son intensité (sa valeur) :
-
Schéma :
-
Dans le cas d’un condensateur plan, rempli d’un
diélectrique de permittivité ε, dont la surface en regard des armatures
est S, le champ électrique entre les armatures est donné par la
relation :
-
2)- Comportement d’un
condensateur et capacité.
a)-
Charge d’un condensateur à courant constant.
►
Expérience.
-
Montage 1 :
I0 = 0,26 mA,
R = 1 kW,
C
= 1000 mF et
Umax = 5 V
-
Enregistrement :
►
Explications.
-
Le générateur utilisé est un générateur de
courant qui délivre une intensité constante I0.
-
On temps
t = 0 s, on bascule
l'interrupteur sur la position 1 et on charge le condensateur.
-
Au cours de la charge, l'armature
A
présente un déficit d'électrons : qA
> 0
-
Au cours de la charge, l'armature
B
présente un excès d'électrons : qB
< 0
-
qA
= – qB
> à
chaque instant.
-
Lorsque le condensateur est chargé, la valeur de
l'intensité s'annule.
-
Représentation :
►
Exploitations.
-
Courbe
uAB =
f(t)
: la tension uAB est proportionnelle à la durée
Δt
pendant la charge du condensateur.
-
Lorsque le condensateur est chargé, la tension
uAB =
U ≈ 4,5 V
-
Courbe
qA =
g (t)
: la charge qA est proportionnelle à la durée
Δt
pendant la charge du condensateur.
-
Lorsque le condensateur est chargé, la charge est
constante : qA =
Q ≈ 4,5 mC
-
Remarque :
-
- La charge qA est proportionnelle à la tension uAB : qA = k1 . uAB
-
-
Le coefficient de proportionnalité
k1
(grandeur positive) est appelé capacité du condensateur noté :
C.
-
Représentation : convention récepteur.
-
On écrit :
-
-
Cette relation est une relation algébrique, le
signe de qA est lié au signe de
uAB
|
|
uAB |
Tension aux
bornes du condensateur en volt (V) |
qA |
Charge de
l’armature A du condensateur en coulomb (C) |
C |
Capacité du
condensateur en farad (F, μF, nF ou pF) |
►
remarque
: capacité d'un condensateur plan :
|
|
S |
Surface des
armatures en regard en mètre carré (m2) |
d |
Distance entre
les armatures en mètre (m) |
C |
Capacité du
condensateur en farad (F, μF, nF ou pF) |
ε |
Permittivité du
diélectrique :
Permittivité du
vide :
ε0 = 8,85418782 × 10–12 m-3 kg–1 s4
A2
Permittivité
relative :
εr sans unité |
-
Quelques permittivités relatives :
Matériaux |
εr |
Emax en kV . mm–1 |
air |
1 |
3,2 |
céramiques |
80 - 1200 |
8 - 50 |
verre |
4 - 8 |
8 - 80 |
mica |
3 - 8 |
24 - 75 |
papier |
2 - 7 |
16 |
plastiques |
2 - 5 |
60 |
-
Emax représente le champ disruptif.
-
Au-delà d'une certaine tension, le condensateur
est détruit.
-
Il existe une tension de claquage (tension
maximale de fonctionnement).
-
Les capteurs capacitifs utilisent la mesure de la
variation de diverses grandeurs comme :
-
La capacité, la charge des surfaces conductrices
ou le champ électrique à l’intérieur du condensateur.
-
La capacité
C d’un condensateur dépend de
sa géométrie et de l’isolant entre ses armatures.
-
Si la capacité
C varie en fonction d’une
grandeur physique X, comme la
position d ou l’accélération
a alors sa mesure donne accès à la
valeur de la grandeur X par la fonction
X = f (C).
►
Fonctionnement d’un écran capacitif : écran d’un
smartphone
-
La surface en verre d’un écran capacitif d’un
smartphone comprend une grille de fils très fins chargée électriquement.
-
Lorsqu’un doigt touche l’écran des charges
électriques sont transférées entre le doigt et l’écran.
-
Le champ électrique créé par les fils est
localement modifié.
-
La détection de ces modifications permet au
téléphone de localiser la zone de contact du doigt sur l’écran.
4)- Relation entre la
charge électrique et la tension pour un condensateur.
-
Récapitulatif : Relations importantes :
-
Schéma ;
-
La charge
qA de l’armature
A
d’un condensateur est proportionnelle, à chaque instant, à la tension
uAB
= uC entre ses bornes :
|
|
uAB |
Tension aux
bornes du condensateur en volt (V) |
qA |
Charge de
l’armature A du condensateur en coulomb (C) |
C |
Capacité du
condensateur en farad (F, μF, nF ou pF) |
-
L’intensité du courant est la dérivée, par
rapport au temps, de la charge électrique qA :
|
|
qA |
Charge de
l’armature A du condensateur en coulomb (C) |
t |
Temps en seconde
(s) |
i |
Intensité du
courant en ampère (A) |
-
Comme
qA =
C .
uAB :
-
-
Comme la capacité
C est une constante
caractéristique du condensateur :
-
|
|
uAB |
Tension aux
bornes du condensateur en volt (V) |
t |
Temps en seconde
(s) |
i |
Intensité du
courant en ampère (A) |
C |
Capacité du
condensateur en farad (F, μF, nF ou pF) |
-
On peut simplifier les notations :
-
On pose
uAB =
uC
-
Représentation symbolique du condensateur :
Convention récepteur
|
|
uC |
Tension aux
bornes du condensateur en volt (V) |
qA |
Charge de
l’armature A du condensateur en coulomb (C) |
i |
Intensité du
courant en ampère (A) |
C |
Capacité du
condensateur en farad (F, μF, nF ou pF) |
►
Remarque :
-
Le signe de l’intensité du courant est lié au
sens de variation de qA charge portée par l’armature
A
et donc de celui de la tension uC aux bornes du condensateur.
-
La grandeur
représente
la dérivée par rapport au temps de la charge qA
- Si
qA augmente
⸕, alors
-
Si
qA diminue
⸔, alors
-
De même :
-
Si
uC augmente
⸕, alors
-
Si
uC diminue
⸔, alors
III-
Le modèle du circuit
RC série.
1)- Charge et décharge
d’un condensateur.
-
L’association en série d’un condensateur de
capacité C et d’un conducteur ohmique de résistance
R constitue un
dipôle RC.
-
Schéma et notations :
b)-
Cas de la charge.
►
Expérience. (TP Physique
N° 07)
-
Simulation avec Crocodile clips :
-
Charge d’un condensateur
-
Montage 1 :
E = 4,0 V ,
R = 1,0 kΩ,
C = 1000 μF
-
Initialement, le condensateur est déchargé et
l’interrupteur est en position 2 : uC = 0 V
-
À la date
t = 0 s, on bascule
l’interrupteur sur la position 1.
►
Exploitation :
-
On obtient l’enregistrement suivant :
-
Courbe uC
= f (t) :
-
La tension
uC augmente au cours du temps.
-
Il existe un régime transitoire qui correspond à
la charge du condensateur et un régime permanent lorsque le condensateur est
chargé.
-
Lorsque le condensateur est chargé, la tension
uC ≈
4,0 V
-
C’est la
tension délivrée par le générateur idéal de tension.
►
Établissement de l’équation
différentielle vérifiée par la tension uC :
-
Loi d’Ohm aux bornes du conducteur ohmique :
uR =
R .
i
-
Relations pour le condensateur :
|
|
uC |
Tension aux
bornes du condensateur en volt (V) |
qA |
Charge de
l’armature A du condensateur en coulomb (C) |
i |
Intensité du
courant en ampère (A) |
C |
Capacité du
condensateur en farad (F, μF, nF ou pF) |
-
Loi des mailles (additivité des tensions) :
-
E =
uR + uC
-
E =
R .
i + uC avec
-
On en déduit l’équation différentielle vérifiée
par la tension uC lors de
la charge :
-
►
Solution de l’équation différentielle vérifiée
par la tension uC lors de la charge :
-
Les solutions d’une équation différentielle
y’ = a .
y +
b avec
a ≠ 0,
sont de la forme :
-
-
La constante
K est liée aux conditions initiales.
-
Les constantes
a et
b sont liées aux
caractéristiques du circuit.
-
En utilisant la formulation précédente :
-
-
Avec comme solution :
-
-
On en déduit que :
-
-
Recherche de l’expression de
K :
-
Au temps
t
= 0 s, uC (0) = 0 le
condensateur est déchargé :
-
-
Solution de l’équation différentielle :
-
- le produit R . C représente le temps caractéristique (constante de temps) du dipôle RC série.
- Il a la dimension d'un temps.
►
Allure de la courbe :
►
Expérience. (TP Physique N° 07)
-
Simulation avec Crocodile clips :
-
Décharge d’un condensateur
-
Montage 1 :
E = 4,0 V ,
R = 1,0 kΩ,
C = 1000 μF
-
Initialement, le condensateur est chargé et
l’interrupteur est en position 1 : uC = 4,0 V
-
À la date
t = 0 s, on bascule
l’interrupteur sur la position 2.
►
Exploitation :
-
On obtient l’enregistrement suivant :
-
Courbe uC
= f (t) :
-
La tension
uC diminue au cours du temps.
-
Il existe un régime transitoire qui correspond à
la décharge du condensateur et un régime permanent lorsque le condensateur est
totalement déchargé.
-
Lorsque le condensateur est déchargé, la tension
uC ≈
0,0 V
►
Établissement de l’équation
différentielle vérifiée par la tension uC :
-
Loi d’Ohm aux bornes du conducteur ohmique :
uR =
R .
i
-
Relations pour le condensateur :
|
|
uC |
Tension aux
bornes du condensateur en volt (V) |
qA |
Charge de
l’armature A du condensateur en coulomb (C) |
i |
Intensité du
courant en ampère (A) |
C |
Capacité du
condensateur en farad (F, μF, nF ou pF) |
-
Loi des mailles (additivité des tensions) :
-
uR
+ uC = 0
-
R .
i + uC = 0
avec
-
On en déduit l’équation différentielle vérifiée
par la tension uC lors de
la décharge :
-
►
Solution de l’équation différentielle vérifiée
par la tension uC lors de la
décharge :
-
Les solutions d’une équation différentielle
y’ =
a .
y +
b
avec a ≠ 0,
sont de la forme :
-
-
La constante
K est liée aux conditions initiales.
-
Les constantes
a et
b sont liées aux
caractéristiques du circuit.
-
En utilisant la formulation précédente :
-
-
Avec comme solution :
-
-
On en déduit que :
-
-
Recherche de l’expression de
K :
-
Au temps
t
= 0 s, uC (0) =
E :
le
condensateur est chargé :
-
K =
E
-
Solution de l’équation différentielle :
-
►
Allure de la courbe :
2)- Charge et décharge
d’un condensateur
-
Simulation avec Crocodile clips :
-
Graphe :
-
Montage 3 :
C = 0,5 mF,
R = 1 kW
et
f = 100 Hz à 50 Hz.
-
Oscillogramme :
-
Observations :
-
la
courbe 2
représente un « échelon de tension ».
-
La
courbe 1
montre que la tension aux bornes du condensateur augmente au cours du temps.
-
La charge du condensateur n'est pas instantanée.
-
Il existe un régime transitoire (charge du
condensateur) et un régime permanent (condensateur chargé).
-
Le condensateur d’un dipôle (R, C) soumis
à un échelon de tension ne se charge pas instantanément : la charge d’un
condensateur est un phénomène transitoire.
-
La durée de charge du condensateur d'un dipôle (R,
C) dépend de la résistance
R
du conducteur ohmique et de la capacité
C du condensateur.
-
La durée
de charge du condensateur augmente avec la valeur du produit
r . C.
-
« Analyse dimensionnelle » :
-
Notations :
-
La notation [R] représente la grandeur
physique (dans le cas présent la résistance d’un conducteur ohmique.
-
La notation (Ω) représente l’unité.
-
Ainsi l’écriture [R] = (Ω) indique que la résistance d’un conducteur ohmique s’exprime
en ohm.
-
Si on considère le produit
R .
C :
-
-
De la relation suivante
, on tire :
-
-
En conséquence :
-
-
Autre méthode :
-
-
Le produit
R .
C est bien homogène à un
temps. Il représente une durée.
-
C’est une caractéristique du circuit
RC série.
-
On l’appelle la constante de temps, notée
τ :
-
τ =
R .
C
-
Le temps caractéristique
τ (ou constante de temps) de la charge ou de la décharge d’un dipôle
RC série est défini par la relation
suivante :
τ =
R . C |
|
τ |
Constante de
temps ou temps caractéristique en seconde (s) |
R |
Résistance du
conducteur ohmique en ohm (Ω) |
C |
Capacité du
condensateur en farad (F, μF, nF ou pF) |
►
Remarque :
-
Si on charge le condensateur pendant la durée
Δt = τ , la charge
Qτ
portée par le condensateur est égale à 63 % de sa charge maximale
Qmax.
-
On écrit :
-
Si
Δt = 5 τ , alors :
.
-
Si on charge le condensateur pendant la durée
Δt = τ , la tension aux bornes du condensateur est égale à 63 % de sa
tension maximale Umax
= E.
-
-
Si
Δt = 5 τ , alors :
.
►
Exemple : R
= 10 kΩ et C
= 0,10 μF,
τ =
R . C = 1,0 ms.
-
On peut considérer qu'au bout de
5,0 ms,
le condensateur est chargé.
-
La constante de temps
τ d'un circuit (R,
C) permet de connaître l'ordre de grandeur de la durée de charge d'un
condensateur.
4)-
détermination expérimentale de la constante de temps
τ.
a)- Cas de la charge d’un condensateur :
-
Montage 1 :
E = 4,0 V ,
R = 1,0 kΩ,
C = 1000 μF
-
Valeur de la constante de temps :
-
τ =
R .
C
-
τ =
1,0 × 103 × 1000 ×10–6
-
τ ≈
1,0 s
-
On peut considérer que le condensateur est chargé
au bout de 5,0 s.
-
Initialement, le condensateur est déchargé et
l’interrupteur est en position 2 : uC = 0 V
-
À la date
t = 0 s, on bascule
l’interrupteur sur la position 1.
-
Recherche de l’expression littérale de :
-
Avec :
-
Loi des mailles :
-
E = uR + uC
-
-
Au temps
t = 0 s :
-
-
-
Pour déterminer graphiquement la valeur de
τ,
on trace la tangente à l’origine à la courbe
uC = f (t).
-
L’abscisse du point M d’intersection de la
tangente
-
À partir du graphe :
τ ≈ 1,0 s
-
Montage 1 :
E = 4,0 V ,
R = 1,0 kΩ,
C = 1000 μF
-
Initialement, le
condensateur est chargé et l’interrupteur est en position 1 :
uC
= E = 4,0 V
-
À la date
t = 0 s, on bascule
l’interrupteur sur la position 2.
-
On obtient
l’enregistrement suivant :
-
L’équation
différentielle :
-
-
Solution de l’équation
différentielle :
-
-
Dans ce cas :
-
-
Pour déterminer
graphiquement la valeur de
τ,
on trace la tangente à l’origine à la courbe uC = f (t).
►
Autre méthode (plus
précise)
-
On
détermine la valeur de la constante de temps
τ
par linéarisation :
-
-
On
représente la fonction ln (uC)
= g (t) :
-
On
obtient une fonction affine du type
y
= a
. t
+ b
-
La
grandeur τ
= R
. C est égale à l’opposé de
l’inverse du coefficient directeur
a
de la droite ln (uC) = g
(t).
-
Graphe :
-
Coefficient
directeur :
-
1)- Charge et décharge
d’un condensateur.
-
Le circuit (R, C) (CASSY
LAB).
QCM r
Dynamique du dipôle RC L’intensité du courant électrique Le condensateur Le modèle du circuit RC série |
Exercices : énoncé avec correction Préparation à l'ECE : Capteur d'humidité. 1)- Exercice 04 page 436 : Comprendre le
fonctionnement d’un condensateur. 2)- Exercice 08 page 437 : Déterminer la
capacité d’un condensateur. 3)- Exercice 10 page 437 : Différencier charge
et décharge d’un condensateur. 4)- Exercice 12 page 437 : Établir une équation
différentielle. 5)- Exercice 14 page 437 : Résoudre une équation
différentielle. 6)- Exercice 15 page 438 : Résoudre une équation
différentielle. 7)- Exercice 17 page 438 : Calculer un temps
caractéristique. 8)- Exercice 18 page 438 : Déterminer une
capacité par évaluation d’un temps caractéristique. 9)- Exercice 19 page 438 : Flash d’un appareil
photographique. 10)- Exercice 21 page 439 : Caractéristiques
d’une pile. 11)- Exercice 22 page 439 : Le défibrillateur. 12)- Exercice 27 page 441 : Capteur capacitif de
pression. 13)- DS N° 01 (40 min) : Airbag et
condensateur : exercice 30 page 442. 14)- Préparation à l’ECE : Capteur d’humidité.
|
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