Comprendre le fonctionnement d’un condensateur :

1.  Identifier les parties conductrices et isolantes du condensateur schématisé ci-dessous :

2.  Comment la charge électrique évolue-t-elle si l’intensité du courant est positive ?

Comprendre le fonctionnement d’un condensateur :

1.  Schéma légendé d’un condensateur :

2.  Évolution de l’intensité et de la charge électrique :

-  Si l’intensité du courant est positive, la charge q_A est positive et augmente au cours du temps.

-  Le signe de l’intensité du courant est lié au sens de variation de q_A charge portée par l’armature A et

donc de celui de la tension u_C aux bornes du condensateur et inversement.

-  Relation :

-  Si :

-  La grandeur  représente la dérivée par rapport au temps de la charge q_A.

-  La charge q_A est une fonction croissante du temps car sa dérivée par rapport au temps est une grandeur positive.

Déterminer la capacité d’un condensateur :

Le graphique ci-dessous représente la charge électrique d’une armature d’un condensateur en fonction de la tension à ses bornes.

1.  Rappeler la relation liant la charge q_A et tension u_AB aux bornes du condensateur et déterminer sa capacité.

2.  Est-elle d’un ordre de grandeur usuel ?

Déterminer la capacité d’un condensateur :

-  Graphe q_A = f (u_AB) :

1.  Relation liant la charge q_A et tension u_AB et capacité du condensateur.

-  Schéma normalisé du condensateur :

-  Relations importantes :

-  La charge q_A portée proportionnelle à la tension à la tension u_AB =  u_C aux bornes du condensateur.

-  La courbe q_A = f (u_AB) est une droite qui passe par l’origine.

-  Elle est du type y = a . x

-  La capacité du condensateur et égale au coefficient directeur de la droite obtenue.

-   

2.  Ordre de grandeur de la capacité :

-  L’ordre de grandeur de la capacité du condensateur est le microfarad (μF).

-  On trouve beaucoup de condensateurs de ce type dans les circuits électroniques.

-  C’est une valeur usuelle.

Différencier charge et décharge d’un condensateur :

Associer, à chaque position 1 ou 2 de l’interrupteur du schéma ci-dessous,

le graphique représentant la tension u_C aux bornes du condensateur en fonction du temps t.

-  Schéma :

-  Graphes :

Établir une équation différentielle :

Un condensateur préalablement déchargé est placé en série avec un conducteur ohmique.

À la date t = 0 s, l’interrupteur est fermé.

Schéma du montage :

1.  Utiliser la loi des mailles pour établir une relation entre les tensions u_C, u_R et E.

2.  Remplacer la tension u_R en utilisant la loi d’Ohm.

3.  Sachant que , trouver l’équation différentielle vérifiée par la tension u_C

aux bornes du condensateur.

Résoudre une équation différentielle :

-  Relier chaque équation différentielle à sa solution.

Résoudre une équation différentielle :

-  Équation différentielle et sa solution :

-  Équation 1 :

-  y’ = 2 y + 3 avec y (0) = – 1

-  l’équation différentielle est du type :

-  y’ = a . y + b avec a ≠ 0,  

-  La solution est du type :

-  On en déduit que : a = 2 et b = 3

-  Détermination de K à partir des conditions initiales :

-   

-  Solution :

-   

-  Équation 2 :

-  y’ = 2 y avec y (0) = 5

-  l’équation différentielle est du type :

-  y’ = a . y + b avec a ≠ 0,  

-  La solution est du type :

-  On en déduit que : a = 2 et b = 0

-  Détermination de K à partir des conditions initiales :

-  y (0) = K . e ⁰ = 5 

- K = 5

-  Solution :

-  y = 5 × e ^{2 x}

-  Équation 3 :

-  y’ = 2 y + 3 avec y (0) = 3

-  L’équation différentielle est du type :

-  y’ = a . y + b avec a ≠ 0,  

-  La solution est du type :

-  On en déduit que : a = 2 et b = 3

-  Détermination de K à partir des conditions initiales :

-   

-  Solution :

-   

-  La valeur de K est bien liée aux conditions initiales.

-  La grandeur K est liée à la valeur de y (0).

Résoudre une équation différentielle :

L’équation différentielle vérifiée par la tension u_C aux bornes du condensateur chargé à l’aide de la source idéale de tension E est :

1.  Rappeler la forme des solutions d’une équation différentielle y’ = a . y + b avec a ≠ 0.

2.  Par identification, donner la forme des solutions de l’équation différentielle vérifiée par la tension u_C aux bornes du condensateur.

Résoudre une équation différentielle :

-  Montage :

-  Équation différentielle :

-   

1.  Forme des solutions d’une équation différentielle y’ = a . y + b avec a ≠ 0.

-  Les solutions d’une équation différentielle y’ = a . y + b avec a ≠ 0,  sont de la forme :

-   

2.  Forme des solutions de l’équation différentielle vérifiée par la tension u_C aux bornes du condensateur.

-  Équation différentielle :

-   

-  Avec comme solution :

-   

-  On en déduit que :

-   

-  Forme de la solution :

-   

- La détermination de la graneur K est liée aux conditions initiales.

Un dipôle RC série est constitué par l’association d’un condensateur de capacité C = 47 μF et d’un conducteur ohmique de résistance R = 1,0 kΩ.

1.  Calculer le temps caractéristique de ce dipôle.

2.  À partir de la loi d’Ohm et de la relation , vérifier par une analyse dimensionnelle que l’expression du temps caractéristique est homogène.

Calculer un temps caractéristique :

-  Un dipôle RC série :

-  C = 47 μF et R = 1,0 kΩ.

-  Schéma du montage :

1.  Temps caractéristique de ce dipôle :

-  τ = R . C = 1,0 × 10³ × 47 × 10^–6

-  τ ≈ 4,7 × 10^–2 s

-  τ ≈ 47 ms

2.  Analyse dimensionnelle de l’expression du temps caractéristique.

-  Loi d’Ohm : u_R = R . i

-   

-  Notations :

-  La notation [R] représente la  grandeur physique (dans le cas présent la résistance d’un conducteur ohmique.

-  La notation (Ω) représente l’unité.

-  Ainsi l’écriture [R] = (Ω) indique que la résistance d’un conducteur ohmique s’exprime en ohm.

-  Si on considère le produit R . C :

-   

-  De la relation suivante , on tire :

-   

-  En conséquence :

-   

-  Le produit (R . C) est bien homogène à un temps.

-  Il représente bien le temps caractéristique du dipôle RC série.

Déterminer une capacité par évaluation d’un temps caractéristique :

Un condensateur de capacité C inconnue est associé à un conducteur ohmique de résistance R = 1,0 kΩ.

La courbe ci-dessous représente la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps lors de la décharge.

Graphe :

1.  Déterminer graphiquement le temps caractéristique τ de la décharge de ce dipôle.

2.  En déduire la capacité C du condensateur.

Flash d’un appareil photographique :

Un appareil photographique est équipé d’un flash alimenté par une batterie.

Il comporte un circuit électronique dont une partie est schématisée ci-dessous.

Lors de la prise d’une photographie avec flash, le condensateur emmagasine de l’énergie fournie par la batterie pendant quelques secondes,

puis la restitue dans une lampe en 0,10 s.

La lampe L émet un éclair lumineux intense.

1.  Sur quelle position faut-il placer l’interrupteur pour que le condensateur se charge ?

2.  Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension u_C aux bornes du condensateur lors de sa charge.

3.  Résoudre l’équation différentielle et montrer que  lors de la charge.

4.  Schématiser le circuit correspondant à la décharge du condensateur.

5.  Calculer la résistance de la lampe si la durée Δt nécessaire pour que le condensateur soit déchargé à 99 % est 0,10 s.

Caractéristiques d’une pile :

On associe un condensateur préalablement déchargé, de capacité C = 0,10 mF,

une pile de force électromotrice E et de résistance interne r.

Dans cette situation, la tension u_C aux bornes du condensateur en fonction du temps t est donnée par :

La représentation de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps est donnée ci-dessous.

1.  En considérant l’expression de la tension u_C d’une part, et la représentation graphique d’autre part, déterminer la force électromotrice E de la pile.

2.  Déterminer graphiquement le temps caractéristique τ de la charge de ce dipôle.

3.  En déduire la résistance interne r de la pile.

Caractéristiques d’une pile :

-  Graphe :

1.  Force électromotrice E de la pile.

-  Schéma du montage :

-  On considère la pile comme l’association série d’une source idéale de tension de force électromotrice E et

d’une résistance r (résistance interne de la pile).

-  Loi des mailles avec l’orientation choisie :

-  E = u_r + u_C

-  u_r = r . i et

-  Équation différentielle vérifiée par u_C :

-   

-  La solution est bien du type :

-  avec τ = r . C

-  Lorsque t → ∞,

-   

-  Pour connaître la valeur de la force électromotrice de la pile, on trace l’asymptote horizontale à la courbe u_C = f (t) lorsque t → ∞.

-  La valeur de l’ordonnée donne la force électromotrice E de la pile.

-  Lecture graphique : E ≈ 8,8 V

2.  Temps caractéristique τ de la charge de ce dipôle.

-  La durée de charge du condensateur d'un dipôle (R, C) dépend de la résistance R du conducteur ohmique et de la capacité C du condensateur.

-  τ = R . C.

-  Dans le cas présent :

-   

-  Pour déterminer graphiquement la valeur de τ, on trace la tangente à l’origine à la courbe u_C = f (t).

-  L’abscisse du point M d’intersection de la tangente avec l’asymptote horizontale donne la valeur de la constante de temps τ.

-  À partir du graphe : τ ≈ 0,70 ms

-  On peut utiliser le fait qu’au temps t = τ,

-  u_C (τ) = 0,63 E.

-  les deux méthodes donnent la même valeur : τ ≈ 0,70 ms

3.  Résistance interne r de la pile.

-  On peut déterminer la valeur de la résistance interne r de la plie à partir de la connaissance de la valeur du temps caractéristique τ.

-   

Le défibrillateur :

A.  Défibrillateur cardiaque.

Un défibrillateur cardiaque permet d’appliquer un choc électrique sur le thorax d’un patient,

dont les fibres musculaires du cœur se contractent de façon désordonnée (fibrillation).

B.  Schéma simplifié du circuit électrique d’un défibrillateur cardiaque :

-  Schéma :

Avant d’appliquer le choc électrique au patient, la source de tension charge le condensateur.

Le graphique ci-dessous représente la tension u_C aux bornes du condensateur au cours de cette charge en fonction du temps t.

1.  Montrer que l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur peut s’écrire :

2.  Montrer que la solution de cette équation différentielle est  . En déduire graphiquement E.

3.  Déterminer le temps caractéristique de cette charge.

4.   En déduire la résistance interne r de la source de tension.

5.  Le thorax du patient est assimilé à un conducteur ohmique de résistance R = 50 Ω.

Calculer l’intensité du courant circulant dans le thorax eu début de la décharge.

Le défibrillateur :

1.  Équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur:

-  Schéma du montage :

-  La loi des mailles :

-  E = u_C + u_r

-  Avec l’orientation choisie :

-  u_r = r . i et

-  On en déduit l’équation différentielle vérifiée par la tension u_C aux bornes du condensateur.

-   

-  Cette relation est bien en accord avec celle donnée dans l’énoncé.

-   

2.  Solution de cette équation différentielle.

-   

-  L’équation différentielle vérifiée par la tension u_C lors de la charge est du type :

-  y’ = a . y + b avec a ≠ 0,

-  Elle admet des solutions du type :

-   

-  La constante K est liée aux conditions initiales.

-  Les constantes a et b sont liées aux caractéristiques du circuit.

-  En utilisant la formulation précédente :

-   

-  Avec comme solution :

-   

-  On en déduit que :

-   

-  Recherche de l’expression de K :

-  Au temps t = 0 s, u_C (0) = 0 le condensateur est déchargé :

-   

-  De plus la constante de temps du circuit est donnée par la relation :

-  τ = r × C

-  On en déduit la relation suivante :

-   

-   

-  Exploitation graphique :

-  Valeur de E :

-  Lorsque t → ∞,

-   

-  Pour connaître la valeur de E, on trace l’asymptote horizontale à la courbe u_C = f (t) lorsque t → ∞.

-  La valeur de l’ordonnée donne la valeur E.

3.  Temps caractéristique de cette charge.

-  τ = r × C.

-  Dans le cas présent :

-   

-  Pour déterminer graphiquement la valeur de τ, on trace la tangente à l’origine à la courbe u_C = f (t).

-  L’abscisse du point M d’intersection de la tangente avec l’asymptote horizontale donne la valeur de la constante de temps τ.

-  À partir du graphe : τ ≈ 0,48 s

-  On peut utiliser le fait qu’au temps t = τ,

-  u_C (τ) = 0,63 E.

-  Les deux méthodes donnent la même valeur : τ ≈ 0,48 s

4.   Résistance interne r de la source de tension.

-  On peut déterminer la valeur de la résistance interne r de la plie à partir de la connaissance de la valeur du temps caractéristique τ.

-   

5.  Intensité du courant circulant dans le thorax eu début de la décharge.

-  Le thorax du patient est assimilé à un conducteur ohmique de résistance :

-   R = 50 Ω

-  Au temps t = 0 s, le condensateur est chargé et u_C (0) ≈ 1,5 ×10³ V

-  On ferme l’interrupteur :

-  Schéma équivalent avec l’orientation pour i dans le circuit :

-  Loi des mailles :

-  u_C + u_R = 0

-  Avec l’orientation choisie :

-  u_R = R . i et

-  On en déduit l’équation différentielle vérifiée par la tension u_C aux bornes du condensateur.

-   

-  On en déduit l’équation différentielle vérifiée par la tension u_C lors de la décharge :

-   

-  Les solutions d’une équation différentielle y’ = a . y + b avec a ≠ 0,  sont de la forme :

-   

-  La constante K est liée aux conditions initiales.

-  Les constantes a et b sont liées aux caractéristiques du circuit.

-  En utilisant la formulation précédente :

-   

-  Avec comme solution :

-   

-  On en déduit que :

-   

-  Recherche de l’expression de K :

-  Au temps t = 0 s, u_C (0) = E :  le condensateur est chargé :

-  K = E

-  Solution de l’équation différentielle :

-   

►  Expression de l’intensité du courant lors de la décharge du condensateur :

-  avec

-   

-   

-  On remarque que lors de la décharge, le courant i circule dans le sens opposé à celui choisi lors de l’orientation du circuit.

-  Au temps t = 0, l’intensité dans le circuit est maximale en valeur absolue.

-   

-  À l’instant initial, l’intensité du courant, en valeur absolue, est voisine de 30 A.

Capteur capacitif de pression :

Les capteurs capacitifs de pression sont utilisés dans de nombreux dispositifs industriels visant à déterminer, par exemple, le taux de remplissage d’une cuve fermée hermétiquement.

A.  Capteur capacitif de pression relative.

Un capteur capacitif de pression relative est constitué de deux armatures métalliques, l’une fixe et rigide, l’autre souple, placées face à face.

Ce capteur capacitif permet de mesurer une pression relative ΔP par rapport à la pression atmosphérique P_atm :

ΔP = P – P_atm :

Schémas :

B.  Capacité d’un condensateur plan.

La capacité C (en F) d’un condensateur plan de surface S (en m²) et dont le diélectrique, d’épaisseur e (en m), est constitué d’air, est donnée par la relation suivante :

1.  Quelle est la pression relative mesurée par le capteur capacitif lorsque la pression P est égale à la pression atmosphérique ?

2.  Ce capteur peut-il être assimilé à un condensateur plan ?

3.  Comment la capacité de ce capteur évolue-t-elle lorsque la pression augmente du côté de l’armature souple ?

4.  Le capteur présenté est caractérisé par des armatures de diamètre D = 10 cm et d’épaisseur e = 1,0 mm.

a.  Calculer la capacité C de ce capteur.

b.  Son ordre de grandeur est-il usuel ?

Capteur capacitif de pression :

-   

1.  Pression relative mesurée par le capteur capacitif lorsque la pression P est égale à la pression atmosphérique :

-  Ce capteur capacitif permet de mesurer une pression relative ΔP par rapport à la pression atmosphérique P_atm :

-  ΔP = P – P_atm 

-  Si P = P_atm 

-  Alors : ΔP = 0

-  La pression relative mesurée est nulle.

2.  Capteur capacitif et condensateur plan :

-  Schéma :

-  Le dispositif est constitué de deux armatures métalliques séparées par un diélectrique, l’air.

-  On est bien en présence d’un condensateur plan.

-  Vue de profil :

3.  Évolution de la capacité :

-  Lorsque la pression augmente du côté de l’armature souple, l’armature souple se déforme légèrement et l’épaisseur e diminue.

-  Comme pour le condensateur plan :

-  La capacité du condensateur est proportionnelle à la surface S des armatures en regard.

-  La capacité d’un condensateur plan est inversement proportionnelle à son épaisseur e.

-  Si l’épaisseur e ⸔ diminue, la capacité du condensateur C ⸕ augmente.

4.   Capaciré du condensateur plan :

a.  Capacité C de ce capteur.

-  Armatures de diamètre :

-  D = 10 cm

-  Épaisseur :

-  e = 1,0 mm

-   

b.  Ordre de grandeur de la capacité :

-  L’ordre de grandeur est de la centaine de picofarad.

-  C’est une grandeur usuelle.