DS. N° 21 Dynamique du dipôle RC série

DS N° 21

Dynamique du dipôle RC série.

Cours.

DS N° 01 (40 min) : Airbag et condensateur

Préparation de L'ECE :

QCM réalisé avec le logiciel Questy

Pour s'auto-évaluer

Dynamique du dipôle RC

L’intensité du courant électrique

Le condensateur

Le modèle du circuit RC série

Sous forme de tableau

DS N° 01 (40 min) : Airbag et condensateur

Les accéléromètres sont utilisés dans les voitures pour détecter des variations brutales de la vitesse liées aux chocs et déclencher des airbags.

Un accéléromètre capacitif est constitué de deux pièces en forme de peignes, sans contact entre elles (Schéma A).

A. Fonctionnement de l’accéléromètre et déclenchement d’un airbag.

Les deux pièces face à face forment

un condensateur.

B. Circuit permettant l’étude du principe du capteur.

Un condensateur de capacité C = 100 pF, initialement déchargé, est associé à une source de tension et à un conducteur ohmique de résistance R.

C. Grandeurs électriques après fermeture de l’interrupteur K du circuit B à t = 0 s.

D. Rapprochement des armatures lors d’un choc.

PARTIE I : Comportement en l’absence de choc.

La mise sous tension de l’accéléromètre revient à fermer l’interrupteur K du circuit B.

Le condensateur est déchargé avant cette fermeture.

À l’instant t = 0 s, on ferme l’interrupteur K.

1. Le condensateur du circuit B possède-t-il une capacité usuelle ?

2. Sur le graphique C, identifier, en justifiant qualitativement, la courbe correspondant à la tension u_C et celle correspondant à l’intensité i.

3. :

a. Déterminer graphiquement le temps caractéristique de la charge du dipôle RC.

b. Comparer ce temps à la durée d’un choc de l’ordre de 200 ms.

4. Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur lors de sa charge.

5. La résoudre en faisant apparaître le temps caractéristique.

6. En déduire un ordre de grandeur de la valeur de la résistance R.

7. Montrer que le graphique du document C permet de retrouver cet ordre de grandeur.

PARTIE II : Comportement en cas de choc.

Le rapprochement des deux armatures provoqué par un choc entraîne une augmentation de la capacité du condensateur (schéma D).

1. Parmi les deux propositions suivantes, choisir en justifiant celle qui peut convenir :

(a)	(b)
C = k × d

2. Rappeler l’expression de la tension électrique u_C aux bornes du condensateur et de la charge q du condensateur avant le choc,

en fonction de E (on pourra s’aider d’un schéma du circuit).

3. Montrer que lors d’un choc, des charges électriques sont mises en mouvement dans le circuit électrique, et identifier le sens du déplacement.

Correction

PARTIE I : Comportement en l’absence de choc.

1. Condensateur et capacité usuelle :

- C = 100 pF

- L’ordre de grandeur est de la centaine de picofarad (pF).

- C’est une grandeur usuelle pour les condensateurs.

2. Étude du graphique C.

- La courbe correspondant à la tension u_C = f (t) : Courbe (a)

- Au départ, t = 0 s, le condensateur est déchargé la tension u_C (0) = 0 V

- Puis le condensateur se charge et la tension u_C augmente.

- L’intensité diminue dans le circuit et la tension tend vers une valeur limite.

- On obtient une asymptote horizontale.

- Lorsque le condensateur est chargé, la tension aux bornes du condensateur est égale à la tension délivrée par le générateur de courant.

- u_C (∞) = E

- Lorsque le condensateur est chargé, l’intensité s’annule

- La courbe correspondant à l’intensité i : Courbe (b)

- Au départ, t = 0 s, le condensateur est déchargé, la tension u_C (0) = 0 V

- Le condensateur se charge et l’intensité est maximale (t = 0 s).

- Puis au fur et à mesure que le condensateur se charge, la valeur de l’intensité diminue pour s’annuler lorsque le condensateur est chargé.

3. :

a. Temps caractéristique de la charge du dipôle RC.

- Pour déterminer graphiquement la valeur de τ, on trace la tangente à l’origine à la courbe u_C = f (t).

- L’abscisse du point M d’intersection de la tangente avec l’asymptote horizontale donne la valeur

de la constante de temps τ.

- À partir du graphe : τ ≈ 1,0 ns

- On peut utiliser le fait qu’au temps t = τ,

- u_C (τ) = 0,63 E.

- Les deux méthodes donnent la même valeur : τ ≈ 1,0 ns

b. Comparaison de ce temps à la durée d’un choc de l’ordre de 200 ms.

- Durée d’un choc de l’ordre de :

- Δt = 200 ms

- Temps caractéristique de la charge :

- τ ≈ 1,0 ns

- τ << Δt

- La valeur du temps caractéristique τ est très petite devant la durée d’un choc Δt.

- Le condensateur à largement le temps de se charger et l’airbag de se déclencher pendant le choc.

4. Équation différentielle vérifiée par la tension u_C lors de sa charge.

- Schéma :

- Loi des mailles avec l’orientation choisie :

- E = u_R + u_C

- u_R = R . i et

- Équation différentielle vérifiée par u_C :

5. Solution de l’équation différentielle :

- Les solutions d’une équation différentielle y’ = a . y + b avec a ≠ 0, sont de la forme :

- La constante K est liée aux conditions initiales.

- Les constantes a et b sont liées aux caractéristiques du circuit.

- En utilisant la formulation précédente :

- Avec comme solution :

- On en déduit que :

- Recherche de l’expression de K :

- Au temps t = 0 s, u_C (0) = 0 le condensateur est déchargé :

- Solution de l’équation différentielle :

- avec τ = R . C

- Le temps caractéristique : τ = R . C

6. Ordre de grandeur de la valeur de la résistance R.

- Ordre de grandeur : la dizaine d’ohms.

7. Exploitation du graphique du document C.

- On utilise la relation suivante :

- On peut déterminer la valeur de l’intensité du courant dans le circuit au temps t = 0 s.

- On peut déterminer la valeur de l’intensité du courant dans le circuit )à l’instant initial :

- La lecture graphique donne :

Avec des couleurs différentes pour mieux voir :

- i (0) ≈ 0,50 A

- Valeur de la résistance R :

- On retrouve le même ordre de grandeur pour la valeur de la résistance R.

PARTIE II : Comportement en cas de choc.

1. La bonne proposition :

(a)	(b)
C = k × d

- Le rapprochement des deux armatures provoqué par un choc entraîne une augmentation

de la capacité du condensateur (schéma D).

- Schéma :

- En conséquence, lorsque la distance d entre les armatures diminue, la capacité C du condensateur augmente.

- La bonne proposition est la proposition (b)

- La capacité d’un condensateur plan est inversement proportionnelle à son épaisseur d.

- Si l’épaisseur d ⸔ diminue, la capacité du condensateur C ⸕ augmente.

- On est en présence d’un condensateur plan :

► Capacité d'un condensateur plan :


S	Surface des armatures en regard en mètre carré (m²)
d	Distance entre les armatures en mètre (m)
C	Capacité du condensateur en farad (F, μF, nF ou pF)
ε	Permittivité du diélectrique : Permittivité du vide : ε₀ = 8,85418782 × 10^–12 m^-3 kg^–1 s⁴ A² Permittivité relative : ε_r sans unité

2. Expression de la tension électrique u_C et charge q du condensateur avant le choc

- Pour se charger à 99 %, le condensateur met la durée suivante :

- Δt’ = 5 × τ

- Δt’ ≈ 5 ns

- Comme la durée Δt’ est très courte, on peut considérer que la charge du condensateur est instantanée.

- Cette durée est très petite devant la durée du choc.

- Schéma lorsque le condensateur est chargé :

- Avant le choc, le condensateur étant chargé, l’intensité dans le circuit est nulle et

la tension aux bornes du condensateur u_C (5 τ) = E tension délivrée par la source de tension.

- q = C × E

3. Mouvement des charges électriques dans le circuit électrique lors d’un choc.

- Sens du déplacement des charges électriques :

- Au cours du choc, la capacité C du condensateur augmente alors que la force électromotrice E

du générateur de tension reste constante.

- Or : q = C × E

- Comme la capacité C ⸕ augmente, la charge q ⸕ portée par le condensateur augmente.

- Le condensateur continue à se charger.

- Cette variation de charge Δq > 0 pendant la durée Δt entraîne le passage d’un courant d’intensité moyenne :

- Ce courant est de même sens que le courant lors de la charge du condensateur.

- La détection de ce courant entraîne le déclenchement de l’airbag.