DS N° 21

-  C = 100 pF

-  L’ordre de grandeur est de la centaine de picofarad (pF).

-  C’est une grandeur usuelle pour les condensateurs.

2.  Étude du graphique C.

-  La courbe correspondant à la tension u_C = f (t) : Courbe (a)

-  Au départ,  t = 0 s, le condensateur est déchargé la tension u_C (0) = 0 V

-  Puis le condensateur se charge et la tension u_C augmente.

-  L’intensité diminue dans le circuit et la tension tend vers une valeur limite.

-  On obtient une asymptote horizontale.

-  Lorsque le condensateur est chargé, la tension aux bornes du condensateur est égale à la tension délivrée par le générateur de courant.

-  u_C (∞) = E

-  Lorsque le condensateur est chargé, l’intensité s’annule

-  La courbe correspondant à l’intensité i : Courbe (b)

-  Au départ, t = 0 s, le condensateur est déchargé, la tension u_C (0) = 0 V

-  Le condensateur se charge et l’intensité est maximale (t = 0 s).

-  Puis au fur et à mesure que le condensateur se charge, la valeur de l’intensité diminue pour s’annuler lorsque le condensateur est chargé.

3.   :

a.  Temps caractéristique de la charge du dipôle RC.

-  Pour déterminer graphiquement la valeur de τ, on trace la tangente à l’origine à la courbe u_C = f (t).

-  L’abscisse du point M d’intersection de la tangente avec l’asymptote horizontale donne la valeur

de la constante de temps τ.

-  À partir du graphe : τ ≈ 1,0 ns

-  On peut utiliser le fait qu’au temps t = τ,

-  u_C (τ) = 0,63 E.

-  Les deux méthodes donnent la même valeur : τ ≈ 1,0 ns

b.  Comparaison de ce temps à la durée d’un choc de l’ordre de 200 ms.

-  Durée d’un choc de l’ordre de :

-  Δt = 200 ms

-  Temps caractéristique de la charge :

-  τ ≈ 1,0 ns

-  τ << Δt

-  La valeur du temps caractéristique τ est très petite devant la durée d’un choc Δt.

-  Le condensateur à largement le temps de se charger et l’airbag de se déclencher pendant le choc.

4.  Équation différentielle vérifiée par la tension u_C lors de sa charge.

-  Schéma :

-  Loi des mailles avec l’orientation choisie :

-  E = u_R + u_C

-  u_R = R . i et

-  Équation différentielle vérifiée par u_C :

-   

5.  Solution de l’équation différentielle :

-  Les solutions d’une équation différentielle y’ = a . y + b avec a ≠ 0,  sont de la forme :

-   

-  La constante K est liée aux conditions initiales.

-  Les constantes a et b sont liées aux caractéristiques du circuit.

-  En utilisant la formulation précédente :

-   

-  Avec comme solution :

-   

-  On en déduit que :

-   

-  Recherche de l’expression de K :

-  Au temps t = 0 s, u_C (0) = 0 le condensateur est déchargé :

-   

-  Solution de l’équation différentielle :

-   

-   avec τ = R . C

-  Le temps caractéristique : τ = R . C

6.  Ordre de grandeur de la valeur de la résistance R.

-   

-  Ordre de grandeur : la dizaine d’ohms.

7.  Exploitation du graphique du document C.

-   

-  On utilise la relation suivante :

-   

-   

-  On peut déterminer la valeur de l’intensité du courant dans le circuit au temps t = 0 s.

-   

-  On peut déterminer la valeur de l’intensité du courant dans le circuit )à l’instant initial :

-  La lecture graphique donne :

Avec des couleurs différentes pour mieux voir :

-  i (0) ≈ 0,50 A

-  Valeur de la résistance R :

-   

-  On retrouve le même ordre de grandeur pour la valeur de la résistance R.

PARTIE II : Comportement en cas de choc.

1.  La bonne proposition :

-  Le rapprochement des deux armatures provoqué par un choc entraîne une augmentation

de la capacité du condensateur (schéma D).

-  Schéma :

-  En conséquence, lorsque la distance d entre les armatures diminue, la capacité C du condensateur augmente.

-  La bonne proposition est la proposition (b)

-  La capacité d’un condensateur plan est inversement proportionnelle à son épaisseur d.

-  Si l’épaisseur d ⸔ diminue, la capacité du condensateur C ⸕ augmente.

-  On est en présence d’un condensateur plan :

►  Capacité d'un condensateur plan :

-  Pour se charger à 99 %, le condensateur met la durée suivante :

-  Δt’ = 5 × τ

-  Δt’ ≈ 5 ns

-  Comme la durée Δt’ est très courte, on peut considérer que la charge du condensateur est instantanée.

-  Cette durée est très petite devant la durée du choc.

-  Schéma lorsque le condensateur est chargé :

-  Avant le choc, le condensateur étant chargé, l’intensité dans le circuit est nulle et

la tension aux bornes du condensateur u_C (5 τ) = E tension délivrée par la source de tension.

-   

-  q = C × E

3.  Mouvement des charges électriques dans le circuit électrique lors d’un choc.

-  Sens du déplacement des charges électriques :

-  Au cours du choc, la capacité C du condensateur augmente alors que la force électromotrice E

du générateur de tension reste constante.

-  Or : q = C × E

-  Comme la capacité C ⸕ augmente, la charge q ⸕ portée par le condensateur augmente.

-  Le condensateur continue à se charger.

-  Cette variation de charge Δq > 0 pendant la durée Δt entraîne le passage d’un courant d’intensité moyenne :

-   

-  Ce courant est de même sens que le courant lors de la charge du condensateur.

-  La détection de ce courant entraîne le déclenchement de l’airbag.