I- Rappels sur l’orientation d’un circuit.

1)- Orientation d’un circuit et d’un dipôle.

-  Pour pouvoir étudier le comportement électrique d’un dipôle électrique, il faut l’orienter le circuit ou la branche de circuit dans lequel il se trouve.

-  On choisit dans le circuit série ou la branche d’un circuit un sens d’orientation arbitraire.

-  Le dipôle est orienté de A vers B.

2)- Intensité et tension.

-  Un courant électrique résulte d’un mouvement ordonné de porteurs de charge (les électrons dans un métal et les ions d’un un électrolyte).

-  La mesure du débit de charges, exprimée en ampère (A), donne l’intensité du courant i qui est une grandeur algébrique.

-  Si le courant circule dans le sens de la flèche alors i est positif, sinon, il est négatif.

-  La tension u_AB entre les bornes A et B d’un dipôle est égale à la différence de potentiel (V_A – V_B) entre ses deux points.

-  La tension u_AB , exprimée en volt (V), est représentée par une flèche tracée hors du circuit et orientée de B vers A.

3)- Courant et tension continus et courant et tensions variables.

-  En courant continu, l’intensité du courant est constante. On la note avec une lettre Majuscule I.

-  Elle correspond à un débit de charges électriques.

-  La quantité d’électricité Q qui traverse une portion de circuit pendant la durée Δt  est donnée par la relation :

-  De même une tension continue entre deux points A et B d’un circuit se note : U_AB.

-  Les courants et les tensions sont qualifiés de variables si leurs valeurs varient au cours du temps.

-  On note ses grandeurs à l’aide de lettres minuscules : i pour l’intensité et u_AB pour la tension entre deux points A et B d’un circuit.

-  La loi d’additivité des tensions et la loi des nœuds sont vérifiées lorsque les circuits sont parcourus par des courants variables.

4)- Le conducteur ohmique : Loi d’Ohm.

-  Rappel de première : en courant continu et dans un circuit simple ne comportant qu’un générateur, le sens du courant est défini de la borne (+) vers la borne (–)

-  Par commodité, on oriente le dipôle en utilisant le sens du courant dans le circuit :

-  On peut écrire la loi d’Ohm en courant continu : U_AB = R . I

-  En courant variable, la Loi d’Ohm est toujours valable, le fait d’orienter le circuit permet de pouvoir écrire la loi d’Ohm : 

-  Dans le cas présent : u_AB = R . i

-  Remarque  : u_BA = - u_AB = – R . i 

II- Les condensateurs.

1)- Description.

-  Un condensateur est formé de deux conducteurs métalliques appelés armatures, séparés par un isolant qui peut être de l'air ou un diélectrique.

-  Le plus utilisé et le plus connu des condensateurs est le condensateur plan.

2)- Symbole d’un condensateur :

III- Charge d’un condensateur. (TP Physique N° 06)

1)- Expérience. Logiciel Condo et carte Candibus.

-  Montage 1 : E = 4,0 V  , R = 1 kΩ,  C = 1000 μF

2)- Explications.

-  Le générateur utilisé est un générateur de courant qui délivre une tension constante E. 

-  On temps t = 0 s, on bascule l'interrupteur sur la position 1 et on charge le condensateur.

-  Au cours de la charge, l'armature A se charge positivement. Elle présente un déficit d'électrons  q_A > 0. 

-  Au cours de la charge, l'armature B se charge négativement. Elle présente un excès d'électrons : q_B < 0.

-  q _A  = – q_B à chaque instant.

-  Par définition, la  quantité q_A  = – q_B représente la charge du condensateur.

-  C’est une grandeur positive. Elle s’exprime en Coulomb C.

-  On l’appelle aussi ; quantité d’électricité emmagasinée.

-  Une tension u_AB apparaît entre les plaques A et B lorsque le condensateur se charge.

-  Lorsque le condensateur est chargé, la valeur de l'intensité s'annule et la tension u_AB  prend sa valeur maximale. 

3)- Charge et intensité.

-  Le but est de rechercher la relation qu’il existe entre l’intensité du courant et les charges portées par les armatures.

-  Premier cas : 

-  considérons que le condensateur porte la charge q_A à l’instant t et que pendant l’intervalle de temps dt, le courant circule dans le sens indiqué par la flèche.

-  Pendant la durée très courte dt, la charge varie de dq_A = q_A (t + dt) – q_A (t)

-  Le courant circule dans le sens arbitraire choisi :

-  

-  deuxième cas : 

-  considérons que le courant circule dans le sens inverse du sens indiqué par la flèche. 

-  Pendant la durée très courte dt, la charge varie de dq_A.

-  Le courant circule dans le sens inverse du sens arbitraire choisi :  

-  

-  Par définition, l’intensité du courant dans un fil conducteur correspond au débit de charges transportées :

-  On écrit que :

-  Remarque : Cette relation découle de la relation suivante Q = I . Δt valable en courant continu.

-  Si pendant la durée Δt, la variation de charge est Δq, on peut définir l’intensité moyenne comme le rapport suivant : 

-   . 

-  En courant variable, on peut définir l’intensité instantanée.

-  L’intensité instantanée est égale à la dérivée par rapport au temps de la charge transportée :

-  

IV- Charge à intensité constante. (TP Physique N° 06)

Le but est de trouver la relation qui existe entre la tension aux bornes du condensateur et la charge du condensateur.

1)- Montage :

-  Logiciel : Logiciel Condo et carte Candibus.

-  Montage 1 : I₀ = 0,26 mA, R = 1 kΩ,  C = 1000 μF et U _max = 5 V

-  Un générateur de courant délivre une intensité constante pendant la durée de la charge.

-  On mesure la valeur de la tension u_AB au cours du temps. 

-  Connaissant la valeur de l’intensité, on en déduit celle de la charge q_A de l’armature A au cours du temps car : q_A = I . Δt

2)- exploitation :

-  Courbe u _AB = f (t) : 

-  La tension u_AB est proportionnelle à la durée Δt pendant la charge du condensateur. 

-  Lorsque le condensateur est chargé, la tension u_AB ≈ 4,5 V.

-  Courbe  q_A = g (t) : 

-  La charge q_A est proportionnelle à la durée Δt pendant la charge du condensateur. 

-  Lorsque le condensateur est chargé, la charge est constante : q_A = Q ≈ 4,5 mC.

-  Remarque :

-  

-  La charge  q_A est proportionnelle à la tension u_AB :

-  q_AB  = k₁  .u_AB  

-  Courbe q_A = h (u_AB) :    

-  Le tracé du graphe représentatif de q_A en fonction de u_AB est une droite de coefficient directeur positif passant par l’origine.

-  Ceci est bien en accord avec le résultat trouvé précédemment.

-  En conséquence : 

-  La charge q_A de l’armature A du condensateur est proportionnelle à la tension u_AB entre ses armatures.

-  q_AB  = C . u_AB

-  C est appelée la capacité du condensateur.

-  Elle s’exprime en farad (F).

-  La charge q_A de l’armature A s’exprime en coulomb (C).

-  La tension u_AB s’exprime en volt (V).

-  Représentation : convention récepteur :

V- Charge d’un condensateur par un échelon de tension. (TP Physique N° 06)

1)- Dipôle (R, C) soumis à un échelon de tension.

-  Un échelon de tension E est le passage instantané d'une tension de valeur nulle à une tension de valeur constante E.

-  Représentation :

2)- Montage :

-  tension aux bornes du générateur de tension : U = E  ≈ 4,00 V.

-  Logiciel : Logiciel Condo et carte Candibus.

-  Montage 1 :  R = 1 kΩ,  C = 1000 μF et U = 4 V

  Animation CabriJava :

3)- Exploitation :

-  Courbe u_AB = f (t) : 

-  La tension u_AB augmente au cours du temps. 

-  Il existe un régime transitoire qui correspond à la charge du condensateur et un régime permanent lorsque le condensateur est chargé. 

-  Lorsque le condensateur est chargé, la tension u_AB ≈ 4 V.

-  C’est la tension délivrée par le générateur idéal de tension.

-  Courbe q_A = g (t) : 

-  La charge  q_A augmente au cours du temps. 

-  Il existe un régime transitoire qui correspond à la charge du condensateur et un régime permanent lorsque le condensateur est chargé. 

-  Lorsque le condensateur est chargé, la charge q_A ≈ 4 mC.

-  Courbe q_A = h (u_AB) :  

-  La charge q_A de l’armature A du condensateur est proportionnelle à la tension u_AB entre ses armatures.

-  q _A = C . u_AB :   C est appelée la capacité du condensateur.

-  Elle s’exprime en farad (F).

-  Courbe :  i = f₁ (t) : 

-  L’intensité est une fonction décroissante du temps.

-  La valeur maximale de i_max ≈ 4 mA.

-  L’intensité du courant décroît au cours du temps et s’annule lorsque le condensateur est chargé.

-  Il existe toujours deux phases : le régime transitoire et le régime permanent.

4)- Facteurs intervenant sur la durée de la charge.

-  Montage (‘’simulation’’ d’un échelon de tension à l’oscilloscope)  :

-  Ou simulation avec excel fichier : charge d’un condensateur u.

télécharger le fichier

-  Simulation avec Crocodile clips :  fichier : charge d’un condensateur u.

-  C = 0,5 μF, R = 1 kΩ et f = 100 Hz à 50 Hz.

-  Oscillogramme :

-  Observations : la courbe 2 représente un échelon de tension.

-  La courbe 1 montre que la tension aux bornes du condensateur augmente au cours du temps.

-  La charge du condensateur n'est pas instantanée.

-  Il existe un régime transitoire (charge du condensateur) et un régime permanent (condensateur chargé).

-  Le condensateur d’un dipôle (R, C) soumis à un échelon de tension ne se charge pas instantanément : 

-  La charge d’un condensateur est un phénomène transitoire.

-  La durée de charge du condensateur d'un dipôle (R, C) dépend de la résistance du conducteur ohmique et de la capacité du condensateur. 

-  La durée de charge du condensateur augmente avec la valeur du produit R.C.

-  On appelle constante de temps du circuit (R, C), la valeur : τ = R.C.

-  τ  constante de temps :  seconde s.

-  R résistance du conducteur ohmique ohm Ω.

-  C capacité du condensateur : farad F.

-  Analyse dimensionnelle :

-  

-  Le produit R.C est  bien homogène à un temps.

-  Remarque : 

-  Si on charge le condensateur pendant la durée Δt = τ, la charge Q_τ  portée par le condensateur est égale à 63 % de sa charge maximale Q _max.

-  On écrit :

-  Si Δt = 5 τ , alors : .

-  Exemple :R = 10 kΩ et C = 0,10 μF, τ = R.C = 1,0 ms.

-  On peut considérer qu'au bout de 5 ms, le condensateur est chargé.

-  La constante de temps τ d'un circuit (R, C) permet de connaître l'ordre de grandeur de la durée de charge d'un condensateur.

-  On reviendra sur ces résultats lors de l'étude théorique.

5)- Étude théorique.

a)-     Schéma du montage :

b)- Équation différentielle :

-  Pour trouver l'équation différentielle, il faut orienter le circuit, écrire la loi d'Ohm aux bornes de chaque dipôle et utiliser l'additivité des tensions.

-  Loi d’ohm aux bornes du conducteur ohmique  : u_DA = R . i

-  Loi d’ohm aux bornes du condensateur :

- 

-  Relation entre l’intensité i et la tension u_AB :

- 

-  Loi d’additivité des tensions :

-  

c)-     Solution :

-  On reconnaît une équation différentielle du premier ordre avec deuxième membre qui admet une solution du type :

-  u_AB (t) =  A . e ^{k. t}  +  B où A, B et k sont des constantes.

d)-     Détermination des constantes.

-  On détermine les constantes à l’aide des conditions initiales et des paramètres du circuit.

-  Première étape : on reporte l’expression de la solution dans l’équation (1).

-    

-  La solution u_AB (t) =  A . e ^{k. t}  +  B vérifie l’équation différentielle (1).

-  Expression de  :

-  On remplace   et u_AB par leur expression respective dans l’équation (1).

-  

-  La relation (2) est vérifiée à chaque instant.

-  Or E = c^te,  B = c^te  et t  et  par conséquence e ^{k. t} varient au cours du temps.

-  Il faut nécessairement que :

-  conditions initiales :  au temps t = 0 s, la tension aux bornes du condensateur est nulle : u_AB (0) = 0

-  On déduit de ceci que : A  +  B = 0  =>  A = – B = – E.

-  Il vient :

-  

-  En utilisant le fait que τ = RC constante de temps du circuit,

-  

-  vérification :

- 

-  Signification de la constante de temps τ.

-  Remarque :

-  on charge le condensateur pendant la durée Δt = τ, donner l’expression de u_AB en fonction de E.

-  

-  On en déduit qu’ au bout du temps τ :

-  

-  Si Δt = 5 τ ,

-  

-  alors, au bout du temps 5 τ  :

-   

-  Le condensateur est chargé à plus de  99 %.

-  Intensité de charge :

-  

6)- détermination expérimentale de la constante de temps τ.

-  On trace la tangente à la courbe au point d'abscisse t = 0 s et l'asymptote horizontale.

-  La constante de temps τ est donnée par l'abscisse de leur point d'intersection.

-  Démonstration : 

-  Expression littérale de  : sachant que 

-  additivité des tensions  E = u_DA + u_AB = R . I + u_AB   (1)

-  

-  Au temps t = 0 s :  

-  

- 

-  Remarque : on peut utiliser le fait que : ou .

VI- Décharge d’un condensateur.

1)- Étude expérimentale.

a)- Montage :

-  Première étape : on charge le condensateur :  Interrupteur sur la position 1

-  Deuxième étape : on décharge le condensateur :Interrupteur sur la position 2

-  Le condensateur est déchargé.

télécharger le fichier

b)- Les courbes q_A = f (t) et i = g (t).

c)- Interprétation.

-  La tension u_DA = R.i, positive lors de la charge, est négative  lors de la décharge. 

-  L'intensité du courant positive lors de la charge est négative lors de la décharge.

-  Le courant circule dans le sens inverse du sens positif choisi.

-  Le courant a changé de sens lors de la décharge.

-  L’armature B perd des électrons et l’armature A, initialement chargée positivement gagne des électrons et sa charge diminue.

-  La tension u_AB  positive lors de la charge reste positive lors de la décharge et diminue progressivement pour s’annuler en même temps que le courant.

-  Le passage du courant lors de la décharge correspond à un régime transitoire.

-  La tension aux bornes du condensateur ne subit pas de discontinuité alors que l’intensité du courant subit une discontinuité.

2)- Étude théorique.

-  Loi d’ohm aux bornes du conducteur ohmique u_DA = R.i

-  Loi d’ohm aux bornes du condensateur :

-  Relation entre l’intensité et la tension u _AB :

-  

-  La solution de cette équation différentielle est de la forme générale : u_AB (t) =  A . e ^{k . t}

-  Dans le cas présent, on trouve que la solution est :

- 

-  expression de l’intensité de décharge :

-  

-      Avec l’orientation choisie pour le circuit, l’intensité est négative au cours de la décharge.

VII- Énergie emmagasinée dans un condensateur.

1)- Mise en évidence.

-      Montage  :

-  On charge un condensateur de capacité C = 4700 μF puis on le décharge dans un moteur électrique. 

-  Le moteur tourne lors de la décharge du condensateur et fait remonter une charge de masse m.

-  Au cours de la charge, un condensateur emmagasine de l'énergie. Cette énergie est restituée lors de la décharge.

2)- Expression de l'énergie.

-  Un condensateur de capacité C chargé sous la tension u emmagasine l’énergie :

-    

-  E_C : énergie en joule J

-  C capacité en farad F

-  u tension aux bornes du condensateur en volt V.

-  C’est de l'énergie potentielle électrostatique :

-  Remarque : le transfert d’énergie ne peut pas se faire instantanément. 

-  La constante de temps τ donne un ordre de grandeur de cette durée.

-  L’énergie n’évolue pas brutalement comme la tension.

VIII- Applications. Exercices : 5, 11, 17, 18, 22, 24 pages 166 – 169.

1)- Énergie d'un condensateur.

-  On charge un condensateur (voir montage 5).

-  On donne C = 10 μF et U = 100 V.

-  Calculer l'énergie emmagasinée par le condensateur.

-  On décharge le condensateur.

-  On convertit intégralement cette énergie en énergie mécanique pour faire fonctionner un moteur.

-  De quelle hauteur h peut-on faire monter une charge de masse m = 20 g.

-  On considère que les pertes d’énergie sont négligeables.

2)- Exercices : 5, 11, 17, 18, 22, 24 pages 166 – 169.

3)- Devoir  : Le condensateur.

-  Le condensateur : Énoncé (Word zip)

IX- Visualisations à l’oscilloscope.