Exploiter les coordonnées du vecteur accélération :

Le centre de masse de Phobos, satellite naturel de la planète Mars, est en mouvement circulaire autour de cette planète.

1.  Déterminer les coordonnées du vecteur accélération du centre de masse de Phobos dans le repère de Frenet lié au référentiel « marsocentrique ».

2.  Montrer que le mouvement de P est uniforme.

Exploiter les coordonnées du vecteur accélération :

1.  Coordonnées du vecteur accélération du centre de masse de Phobos dans le repère de Frenet lié au référentiel « marsocentrique ».

-  Schéma de la situation :

Ou

-  Mars, corps à répartition sphérique de masse, se comporte comme un objet ponctuel de masse M_M.

-  Phobos est l’objet qui subit l’attraction de Mars.

-  Référentiel d’étude : Référentiel marsocentrique considéré comme galiléen.

-   

-  Comme le mouvement est circulaire, on utilise le repère de Frenet associé au référentiel marsocentrique.

-  Repère de Frenet :

-  Phobos est soumis à la force de gravitation exercée par Mars :

-   

-  Expression de la force dans le repère de Frenet :

-   

-  Le champ de gravitation créé par la Marsau point P de l’espace :

-   

-  En conséquence :

►  Caractéristiques du vecteur accélération  du satellite :

-  On applique la deuxième loi de Newton au satellite Phobos:

-   

-  Phobos n’est soumis qu’à la force de gravitation exercée par Mars (on néglige les autres actions mécaniques).

-   

-  Le vecteur accélération  du satellite Phobos a même direction, même sens et même valeur que le vecteur champ de gravitation .

-    =

2.  Caractéristiques du mouvement de P :

-  Expression du vecteur accélération dans le repère de Frenet

-   

-   

-  Avec :

-   

-  Il découle de ceci que :

-   

-  Le mouvement du satellite Phobos est circulaire uniforme dans le référentiel marsocentrique.

-  D’autre part :

-   

-  On retrouve le fait que v = cte, car G, M_M et r sont des constantes.

►  Expression du vecteur vitesse du satellite :

-  Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au point considéré :

-   

Déterminer les caractéristiques d’une vitesse :

Le télescope spatial Hubble a permis de nombreuses découvertes dans le domaine de l’astrophysique.

Il est placé sur une orbite quasiment circulaire à l’altitude h = 600 km par rapport à la surface de la Terre.

1.  Par application de la deuxième loi de Newton, déterminer les coordonnées du vecteur accélération du centre de masse H de Hubble

dans le repère de Frenet lié au référentiel géocentrique.

2.  Déterminer les coordonnées du vecteur vitesse de Hubble dans le repère de Frenet.

3.  Calculer la valeur de la vitesse de Hubble dans le référentiel géocentrique.

-  Données :

-  Masse de la Terre : M_T = 5,97 × 10²⁴ kg

-  Rayon de la Terre : R_T = 6,37 × 10³ km

-  G = 6,67 × 10^–11 N . m² . kg^–2

-  Hubble et la Terre :

-  Télescope Hubble

-  HST

Vidéo

Déterminer les caractéristiques d’une vitesse :

Référentiel géocentrique :

Système étudié : Le satellite Hubble de centre de masse H et de masse m.

S = {H, m}

La Terre est l’astre attracteur de masse M_T

La Terre est située à la distance r = h + R_T du satellite Hubble.

1.  Coordonnées du vecteur accélération du centre de masse H de Hubble dans

le repère de Frenet lié au référentiel géocentrique.

-  Deuxième loi de Newton :

-  Énoncé.

-  Schéma de la situation :

-  Dans le cas présent, le télescope Hubble, de masse m, est soumis à l’attraction de la Terre :

-  Force exercée par la Terre sur le satellite Hubble :

-   

-  Dans le cas présent, la deuxième loi de Newton permet d’écrire la relation suivante :

-   

-  En utilisant le repère de Frenet lié au référentiel géocentrique :

-   

-   

-  On en déduit les coordonnées du vecteur accélération dans le repère de Frenet.

-   

-  Avec : r = h + R_T

-   

2.  Coordonnées du vecteur vitesse de Hubble dans le repère de Frenet.

-  On connait les coordonnées du vecteur accélération.

-  D’autre part :

-   

-  Comme la composant tangentielle de l’accélération est nulle :

-   

-  Le mouvement du satellite Hubble est circulaire uniforme dans le référentiel géocentrique.

-  En exploitant l’accélération normale : 

-   

-  Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire dans la position considérée :

-   

3.  Valeur de la vitesse de Hubble dans le référentiel géocentrique.

-   

Établir la troisième loi de Kepler :

Europe est un satellite de Jupiter, de masse M_J.

Son orbite, de rayon r, est supposée circulaire.

Sa vitesse a pour valeur :

1.  Établir l’expression de sa période de révolution T.

2.  En déduire la valeur du rapport .

3.  Énoncer la troisième loi de Kepler dans le référentiel « jupiterocentrique ».

 Données :

-  Masse de Jupiter : M_J = 1,898 × 10²⁷ kg

-  G = 6,67 × 10^–11 N . m² . kg^–2

Exploiter la troisième loi de Kepler :

Les gros satellites de Jupiter, encore appelés satellites galiléens, ont été découverts par Galilée.

On donne les périodes de révolution T et le rayon r de la trajectoire quasi circulaire de deux de ces satellites :

1.  Énoncer la troisième loi de Kepler dans le référentiel « jupiterocentrique ».

2.  Montrer que les données du tableau confirment que ces deux satellites sont en orbite autour de Jupiter.

-  Données :

-  Masse de Jupiter : M_J = 1,898 × 10²⁷ kg

-  G = 6,67 × 10^–11 N . m² . kg^–2

Satellite CFOSAT :

Le 29 octobre 2018, le satellite CFOSAT, de masse m, a été mis en orbite circulaire

autour de la Terre à une altitude de h = 519 km par le CNES et son homologue chinois le CNSA, pour cartographier les vents et les vagues à la surface des océans.

1.  Schématiser la situation et représenter la force de gravitation exercée par Terre sur le satellite.

2.  Montrer que le mouvement du centre de masse C du satellite CFOSAT est uniforme dans le référentiel géocentrique.

3. Donner les caractéristiques du vecteur vitesse du centre de masse dans ce référentiel.

4.  Déterminer la période de révolution T du satellite.

-  Données :

-  Masse de la Terre : M_T = 6,0 × 10²⁴ kg

-  Rayon de la Terre : R_T = 6,4 × 10³ km

-  G = 6,67 × 10^–11 N . m² . kg^–2

Satellite CFOSAT :

1.  Schéma de la situation avec la force de gravitation exercée par Terre sur le satellite.

-  Schéma de la situation à l’instant t :

2.  Caractéristique du mouvement du centre de masse C du satellite CFOSAT dans le référentiel géocentrique.

-  Référentiel d’étude : Référentiel géocentrique considéré comme galiléen.

-   

-  Comme le mouvement est circulaire, on utilise le repère de Frenet associé au référentiel géocentrique.

-  Repère de Frenet :

-  Le satellite est soumis à la force de gravitation exercée par la Terre :

-   

-  Deuxième loi de Newton :

-  Énoncé.

-  Dans le cas présent, la deuxième loi de Newton permet d’écrire la relation suivante :

-   

-  Avec r = R_T + h

-   

-  En utilisant le repère de Frenet lié au référentiel géocentrique :

-   

-   

-  On en déduit les coordonnées du vecteur accélération dans le repère de Frenet.

-   

-  Coordonnées du vecteur vitesse du satellite CFOSAT dans le repère de Frenet.

-  On connait les coordonnées du vecteur accélération.

-  D’autre part :

-   

-  Comme la composant tangentielle de l’accélération est nulle :

-   

-  Le mouvement du satellite CFOSAT est circulaire uniforme dans le référentiel géocentrique.

3.  Caractéristiques du vecteur vitesse  du centre de masse dans ce référentiel.

-  En exploitant l’accélération normale : 

-   

-  Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire dans la position considérée et orienté dans le sens du mouvement :

-   

-  Schéma de la situation à l'instant t :

4.  Période de révolution T du satellite.

-  La période T de révolution du satellite est la durée qu’il met pour effectuer un tour autour de la Terre :

- Le mouvement est uniforme. La valeur de la vitesse v est constante.

-   

-  Application numérique :

-   

Balance cosmique :

Le tableau ci-dessous donne la période de révolution de quelques planètes du système solaire,

ainsi que le rayon de leur orbite assimilable à un cercle dans le référentiel héliocentrique.

1.  Établir l’expression de la valeur de la vitesse du centre de masse d’une de ces planètes dans le référentiel héliocentrique.

2.  En déduire l’expression de sa période de révolution en fonction de G, r et M_S (masse du Soleil).

3.  Donner l’expression du rapport  dans le référentiel héliocentrique.

La troisième loi de Kepler est-elle vérifiée ?

4.  Déterminer la masse M_S du Soleil.

5.  Justifier en quoi la troisième loi de Kepler est une « balance cosmique ».

-  Données :

-  1an = 3,156 × 10⁷ s

-  G = 6,67 × 10^–11 N . m² . kg^–2

Balance cosmique :

1.  Expression de la valeur de la vitesse du centre de masse d’une de ces planètes dans le référentiel héliocentrique.

-  On choisit la planète Mars :

-  Schéma de la situation :

-  Référentiel d’étude : Référentiel héliocentrique considéré comme galiléen.

-   

-  Comme le mouvement est circulaire, on utilise le repère de Frenet associé au référentiel héliocentrique.

-  Repère de Frenet :

-  La planète Mars est soumise à la force de gravitation exercée par le Soleil :

-   

-  L’application de la deuxième loi de Newton dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen permet d’écrire la relation suivante : 

-   

-  En utilisant le repère de Frenet lié au référentiel héliocentrique :

-   

-   

-  On en déduit les coordonnées du vecteur accélération de Mars dans le repère de Frenet.

-   

-  Coordonnées du vecteur vitesse de Mars dans le repère de Frenet.

-  On connait les coordonnées du vecteur accélération.

-  D’autre part :

-   

-  Comme la composant tangentielle de l’accélération est nulle :

-   

-  Le mouvement de Mars est circulaire uniforme dans le référentiel héliocentrique.

-  En exploitant l’accélération normale : 

-   

-  Pour Jupiter, on obtient la formule suivante :

-   

-  Et pour Saturne :

-   

2.  Expression de sa période de révolution en fonction de G, r et M_S (masse du Soleil).

-  La période T de révolution du satellite Mars est la durée qu’il met pour effectuer un tour autour du Soleil :

-   

-  Relation pour Jupiter :

-   

-  Relation pour Saturne :

-   

3.  Expression du rapport  dans le référentiel héliocentrique.

-  On élève chaque expression précédente au carré et on ordonne :

-   

-  Vérification de la troisième loi de Kepler :

-  On calcule la valeur de la constante k pour chaque planète :

-  En conséquence, à partir des différentes mesures, on montre que :

-   

-  On vérifie ainsi la troisième loi de Kepler.

4.  Détermination la masse M_S du Soleil.

-  À partir de la relation :

-   

-   

5.  Troisième loi de Kepler et « balance cosmique ».

-  À partir de la connaissance de la période T et du rayon r de l’orbite des satellites d’un Astre,

   on peut déterminer la valeur de la masse M de l’astre attracteur en utilisant la troisième loi de Kepler.

-   

-  La troisième loi de Kepler joue le rôle de « balance cosmique ».

-  Mesure de G.

-  J’ai pesé la Terre

-  Mesure de la masse du Soleil