I- Le mouvement des satellites et des planètes.

1)- Force et champ de gravitation.

a)-  La force de gravitation.

Interactions,. Forces et Champs  (Cours de Première)

►  La Loi de Gravitation universelle.

-  Loi de Newton : 1687

-  Énoncé :

-  Deux corps ponctuels A et B, de masses m_A et m_B, séparés par une distance r, exercent l’un sur l’autre des forces attractives.

-  Le corps A exerce sur le corps B la force

-   

-  Le corps B exerce sur le corps A la force

-   

-  Ces deux forces ont :

-  Même direction, la droite (AB),

-  Même valeur et des sens opposés.

-  Expression de la valeur :

-   

-  Expression vectorielle :

-   

-   

-  Conséquence :

-   

-  G est appelé la constante de gravitation universelle :

-  G ≈ 6,67 × 10^–11 m³ . kg^–1 . s^–2 ou m² . kg^–2 . N

-  Unités :

-  La force F s’exprime en newton (N) et les masses en kilogramme (kg).

-  Valeur des masses m et m’ en kg.

-  Distance séparant les deux masses ponctuelles : r en m

-  Les forces se représentent par des flèches, appelées vecteurs, de même longueur, de même direction, mais de sens opposés.

-  Autre expression (en utilisant le vecteur unitaire)  :

-   

-   

►  Application :

-  Calculer la valeur des forces d’attraction Terre – Lune et Lune – Terre.

-  Faire un schéma.

-  Pourquoi une seule de ces actions est perceptible ? Laquelle ?

►  Correction :

-  Dans le cas de l’interaction gravitationnelle entre la Terre et la Lune, la valeur de la force exercée par la Terre sur la Lune est donnée par l’expression :

-   

-  M_T : masse de la Terre : M_T = 5,98 x 10²⁴ kg.

-  M_L : masse de la Lune : M_L = 7,34 x 10²² kg.

-  d : distance entre le centre de la Terre et le centre de la Lune :

-  d = 3,84 × 10⁵ km.

-  Calculer la valeur de F et représenter le vecteur force F :

-  Échelle : 1 cm ↔ 1,00 × 10²⁰ N

-   

-  Schéma :

-  Cette force F retient la Lune sur son orbite autour de la Terre.

-  Cette force due à l’interaction gravitationnelle est une force attractive représentée

par le vecteur , appliqué au centre de la Lune et dirigé vers le centre de la Terre.

►  Additif :

-  La portée de l’interaction gravitationnelle est infinie mais diminue rapidement.

-  Elle est inversement proportionnelle au carré de la distance.

-  Comme elles sont toujours attractives, elles cumulent leurs effets et se manifestent

   à des distances astronomiques.

b)-  Champ de gravitation.

2)- Mouvement des satellites et des planètes.

a)-  Application : Satellite Artificiel de la Terre à trajectoire circulaire

-  Schéma de la situation :

-  On étudie le mouvement du centre de masse P d’un satellite, de masse m,  en orbite circulaire autour de la Terre.

-  La Terre est l’astre attracteur de masse M_T.

-  La Terre, corps à répartition sphérique de masse se comporte comme un objet ponctuel de masse M_T.

-  Le satellite est l’objet qui subit l’attraction de la Terre.

-  Référentiel d’étude : Référentiel géocentrique considéré comme galiléen.

-   

-  Comme le mouvement est circulaire, on utilise le repère de Frenet associé au référentiel géocentrique.

-  Repère de Frenet :

-  Le satellite est soumis à la force de gravitation exercée par la Terre :

-   

-  Schéma :

Ou

-  Expression de la force dans le repère de Frenet :

-   

-  Le champ de gravitation créé par la Terre au point P de l’espace :

-   

-  En conséquence :

►  Caractéristiques du vecteur accélération  du satellite :

-  On applique la deuxième loi de Newton au satellite :

-   

- Dans le cas présent :

-  Le satellite n’est soumis qu’à la force de gravitation exercée par la Terre.

-   

-  Le vecteur accélération  du satellite a même direction, même sens et même valeur que le vecteur champ de gravitation .

-   =

►  Caractéristiques du mouvement du satellite :

-  Expression du vecteur accélération dans le repère de Frenet

-   

-   

-  Avec :

-   

-  Il découle de ceci que :

-   

-  Le mouvement du satellite est circulaire uniforme dans le référentiel géocentrique.

-  D’autre part :

-   

-  On retrouve le fait que v = cte, car G, M_T et r sont des constantes.

►  Expression du vecteur vitesse du satellite :

-  Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au point considéré :

-   

b)-  Conclusion.

II- Les lois de Kepler.

Applications des lois de Newton et de Kepler (Terminale S programme 2010)

1)- Introduction.

-  Pour Ptolémée (II^e siècle), la Terre autour de laquelle tourne le Soleil est le centre du Monde.

-  Copernic est à l’origine du système héliocentrique (1543).

-  Dans ce référentiel, les huit planètes (2006) du système solaire ont des trajectoires quasi circulaires dont le centre est le Soleil.

-  Kepler (1571 – 1630) utilisant les travaux de son maître Tycho Brahe (1546 – 1601) formule les trois lois qui décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil.

2)- Première loi de Kepler : Loi des orbites.

-  Remarque : le cercle est une ellipse dont les deux foyers sont confondus avec le centre.

-  Définition d’une ellipse :

-  Une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes F et F’ (les foyers) est une constante : r₁ + r₂ = 2 a.

-  Le grand axe de l’ellipse est égal à 2 a.

-  La distance entre les deux foyers est 2 c.

-  Schéma :

3)- Deuxième loi de Kepler : Loi des aires.

-  Le segment de droite qui relie le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

-  Il résulte de ceci que la planète se déplace plus vite lorsqu’elle se rapproche du Soleil.

-  En toute rigueur, le mouvement d’une planète n’est pas uniforme.

4)- Troisième loi de Kepler : Loi des périodes.

-  Cette constante ne dépend pas de la masse de la planète.

-  Si la trajectoire est un cercle de rayon r, on peut écrire que :

-  Cette constante peut être calculée.

-  Exemple :

-  Dans le cas du système solaire, on peut donner l’expression de la période de révolution d’une planète du système solaire :

-  La période de révolution d’une planète est la durée qu’elle met pour effectuer un tour autour du Soleil :

-   

-  En élevant cette expression au carré et en ordonnant, on peut écrire :

-   

-  La constante s’identifie à

-  En conséquence, on peut déterminer la masse du Soleil à partir de la période de révolution T et du rayon r de l’orbite d’une planète à trajectoire circulaire.

-  Mesure de la constante de gravitation par Cavendish (1798)

5)- Généralisation.

-  Les trois lois de Kepler, relatives aux planètes en orbite autour du Soleil, peuvent être généralisées à tout satellite ou planète en orbite autour d’un astre de masse M.

-  Elles permettent de prévoir les caractéristiques de leur mouvement.

III- Applications.

1)- Satellite géostationnaire.

2)- QCM.

3)- Exercices.