QCM réalisé avec le logiciel Questy

Pour s’auto-évaluer

AIDE

La force de gravitation :

-     Deux corps ponctuels A et B, de masses m_A et m_B, séparés par une distance r, exercent l’un sur l’autre des forces attractives.

-     Le corps A exerce sur le corps B la force

-      

-     Le corps B exerce sur le corps A la force

-      

-     Ces deux forces ont :

-     Même direction, la droite (AB),

-     Même valeur et des sens opposés.

-     Expression de la valeur :

-      

-     Expression vectorielle :

-      

-      

-     Conséquence :

-      

-     G est appelé la constante de gravitation universelle :

-     G ≈ 6,67 × 10^–11 m³ . kg^–1 . s^–2 ou m² . kg^–2 . N

-     Unités :

-     La force F s’exprime en newton (N) et les masses en kilogramme (kg).

-     Valeur des masses m et m’ en kg.

-     Distance séparant les deux masses ponctuelles : r en m

-     Les forces se représentent par des flèches, appelées vecteurs, de même longueur, de même direction, mais de sens opposés.

-     Autre expression (en utilisant le vecteur unitaire ) :

-      

-      

Mouvement des satellites et des planètes :

-     Exemple :

-     Schéma de la situation :

-     On étudie le mouvement du centre de masse P d’un satellite, de masse m,  en orbite circulaire autour de la Terre.

-     La Terre est l’astre attracteur de masse M_T.

-     La Terre, corps à répartition sphérique de masse se comporte comme un objet ponctuel de masse M_T.

-     Le satellite est l’objet qui subit l’attraction de la Terre.

-     Référentiel d’étude : Référentiel géocentrique considéré comme galiléen.

-      

-     Comme le mouvement est circulaire, on utilise le repère de Frenet associé au référentiel géocentrique.

-     Repère de Frenet :

-     Le satellite est soumis à la force de gravitation exercée par la Terre :

-      

-     Schéma :

Ou

-     Expression de la force dans le repère de Frenet :

-      

Caractéristiques du vecteur accélération  du satellite :

-     On applique la deuxième loi de Newton au satellite : (référentiel géocentrique supposé galiléen)

-      

-     Le satellite n’est soumis qu’à la force de gravitation exercée par la Terre.

-      

-     Caractéristiques du mouvement du satellite :

-     Expression du vecteur accélération dans le repère de Frenet

-      

-      

-     Avec :

-      

-     Il découle de ceci que :

-      

-     Le mouvement du satellite est circulaire uniforme dans le référentiel géocentrique.

-     D’autre part :

-      

-     On retrouve le fait que v = cte, car G, M_T et r sont des constantes.

Expression du vecteur vitesse  du satellite :

-     Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au point considéré :

-     

-     L’application de la deuxième loi de Newton dans un repère de Frenet permet de déterminer les caractéristiques des vecteurs vitesse et accélération du centre de masse d’une planète ou d’un satellite, de masse m,  en mouvement circulaire dans un champ de gravitation.

Les lois de Kepler :

Première loi de Kepler : Loi des orbites.

-     Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont le Soleil est l’un des foyers.

-     Remarque : le cercle est une ellipse dont les deux foyers sont confondus avec le centre.

Définition d’une ellipse :

-     Une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes F et F’ (les foyers) est une constante : r₁ + r₂ = 2 a.

-     Le grand axe de l’ellipse est égal à 2 a.

-     La distance entre les deux foyers est 2 c.

-     Schéma :

Deuxième loi de Kepler : Loi des aires.

-     Le segment de droite qui relie le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

-     Il résulte de ceci que la planète se déplace plus vite lorsqu’elle se rapproche du Soleil.

-     En toute rigueur, le mouvement d’une planète n’est pas uniforme.

Troisième loi de Kepler : Loi des périodes.

-     Pour toutes les planètes, le rapport entre le cube du demi-grand axe a de la trajectoire et le carré de la période T de révolution est la même :

-     .

-     Cette constante ne dépend pas de la masse de la planète.

-     Si la trajectoire est un cercle de rayon r, on peut écrire que :

-     .

-     Cette constante peut être calculée.

Période de révolution d’une planète du système solaire :

-     La période de révolution d’une planète est la durée qu’elle met pour effectuer un tour autour du Soleil :

-     

-     En élevant cette expression au carré et en ordonnant, on peut écrire :

-      

-     La constante s’identifie à

-     En conséquence, on peut déterminer la masse du Soleil à partir de la période de révolution T et du rayon r de l’orbite d’une planète à trajectoire circulaire.

-     Période de révolution de Vénus : (1an = 3,156 × 10⁷ s et 1 jour = 86400 s)

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