DS N° 01 Les Lunes de Saturne (60 min) :

En 2019, vingt lunes supplémentaires de Saturne ont été découvertes.

Ainsi, 82 satellites naturels connus à ce jour orbitent autour de cette planète.

A.  Données sur la lune S/2004 S 24

Saturne est la planète du système solaire qui détient actuellement le record du nombre de lunes.

On considère la trajectoire de la lune S/2004 S 24 comme circulaire dans le référentiel saturnocentrique.

Sa période de révolution est T = 3,54 ans.

Le rayon de son orbite est r = 2,29 × 10⁷ km.

B.  Deuxième loi de Kepler dans le référentiel héliocentrique.

-  Schéma :

Les aires et , balayées pendant des durées égales Δt, sont égales.

L’arc est donc plus long que l’arc .

Ces deux arcs étant parcourus pendant la même durée Δt, la valeur de la vitesse moyenne de la planète P

entre B et C est supérieure à celle entre D et E.

1.  La lune S/2004 S 24 :

a.  Faire le schéma de la lune S/2004 S 24 en orbite autour de Saturne.

b.  Représenter le repère de Frenet centré sur le système muni des vecteurs unitaires tangentiel  et normal .

c.  Donner l’expression de la force de gravitation exercée par Saturne (S) sur la lune (L) S/2004 S 24.

2.  Par application de la deuxième loi de Newton, déterminer le vecteur accélération  du système.

3.  Caractéristiques du mouvement :

a.  Montrer que le mouvement de la lune S/2004 S 24 autour de Saturne est uniforme.

b.  On a représenté ci-dessous l’aire balayée par le segment [SL] pendant une durée Δt.

Reproduire et compléter ce schéma afin d’illustrer la deuxième loi de Kepler dans le cas d’un mouvement circulaire.

4.  Déterminer les caractéristiques du vecteur vitesse de la lune S/2004 S 24.

5.  Période de révolution :

a.  Montrer que la période de révolution T de cette lune a pour expression :

b.  Calculer la masse de Saturne.

6.  La lune Métis a une période de révolution T_M = 0,295 j et son orbite circulaire a un rayon r_M = 128 000 km.

Métis peut-elle être une lune de Saturne ?

-  Données :

-  1an = 3,156 × 10⁷ s

-  G = 6,67 × 10^–11 N . m² . kg^–2

Correction

Préparation à l’ECE : Vérification des trois lois de Kepler

On se propose de vérifier les trois lois de Kepler dans le référentiel héliocentrique à partir de la trajectoire de Mercure et

des données astronomiques des autres planètes du système solaire.

A.  Trajectoire de Mercure dans le référentiel héliocentrique entre le 19 novembre 2019 et le 11 février 2020.

Les données ayant permis de tracer cette trajectoire sont issues du site de l’institut de mécanique céleste

et de calcul des éphémérides situé au sein de l’Observation de Paris.

-  Deux positions consécutives de la planète sont séparées de 3 jours.

-  Données :

-  1an = 3,156 × 10⁷ s

-  G = 6,67 × 10^–11 N . m² . kg^–2

Fichier Excel    :  

DS N° 01 Les Lunes de Saturne (60 min) :

1.  La lune S/2004 S 24 :

a.  Schéma de la lune S/2004 S 24 en orbite autour de Saturne.

b.  Repère de Frenet.

-  Système étudié : la lune S/2004 S 24 de centre de masse L et de masse m.

-  S = {L, m}

-  Repère de Frenet lié au référentiel saturnocentrique.

-   

-  Représentation du repère de Frenet lié au référentiel saturnocentrique à l’instant t :

c.  Expression de la force de gravitation exercée par Saturne (S) sur la lune (L) S/2004 S 24.

-  La lune S/2004 S 24 est soumise à la force de gravitation exercée par Saturne :

-   

2.  Détermination du vecteur accélération  du système.

-  L’application de la deuxième loi de Newton dans le référentiel saturnocentrique supposé galiléen permet d’écrire la relation suivante : 

-   

-  Vecteur accélération  du système :

-   

-  Comme le mouvement de la lune S/2004 S 24 est circulaire, on peut donner les coordonnées du vecteur accélération du système

dans le repère de Frenet lié au référentiel saturnocentrique :

-   

-   

3.  Caractéristiques du mouvement :

a.  Caractéristiques du mouvement de la lune S/2004 S 24 autour de Saturne.

-  À partir de la connaissance des coordonnées du vecteur accélération du système et de la relation suivante  :

-   

-  On en déduit que la composant tangentielle de l’accélération est nulle :

-   

-  Le mouvement de la lune S/2004 S 24 est circulaire uniforme dans le référentiel saturnocentrique.

b.  Aire balayée par le segment [SL] pendant une durée Δt.

-  Deuxième loi de Kepler : Loi des aires

-  Le segment de droite [SL] qui relie le centre de Saturne au centre de la lune balaie des aires égales pendant des durées égales.

-  Dans le cas où le mouvement est circulaire, les arc parcourus pendant des durées égales Δt, sont égaux.

4.  Caractéristiques du vecteur vitesse de la lune S/2004 S 24.

-  En exploitant l’accélération normale : 

-   

-  On peut donner les coordonnées du vecteur vitesse dans le repère de Frenet lié au référentiel saturnocentrique :

-  Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire dans la position considérée et orienté dans le sens du mouvement :

-   

-  Schéma de la situation à l’instant t :

5.  Période de révolution :

a.  Expression de la période de révolution T de cette lune :

-  Le mouvement de la lune S/2004 S 24 dans le référentiel saturnocentrique est circulaire uniforme.

-  La lune S/2004 S 24 se déplace à la vitesse :

-  La période T de révolution de la lune S/2004 S 24 est la durée qu’elle met pour effectuer un tour autour de Saturne :

-   

-  On retrouve bien la relation donnée dans l’énoncé.

-   

b.  Masse de Saturne.

-  De la relation précédente, on peut tirer la valeur de la masse de Saturne :

-  On élève cette expression au carré et on ordonne :

-   

-  Application numérique :

-   

6.  La lune Métis et Saturne :

-  Métis :

-  Période de révolution T_M = 0,295 j et son

-  Orbite circulaire de rayon r_M = 128 000 km

-  Si Métis est une lune de Saturne, alors d’après la troisième loi de Kepler :

-   

-  Pour Métis :

-   

-  Pour la lune S/2004 S 24

-   

-  On remarque que :

-   

-  Métis n’est pas un satellite de Saturne.

Vérification des trois lois de Kepler :

PARTIE I : Vérification de la première loi de Kepler

-  Caractéristiques de la trajectoire de Mercure :

-  On remarque que le mouvement de Mercure est quasi circulaire dans le référentiel héliocentrique.

-  Un cercle est une ellipse dont les deux foyers F₁ et F₂ sont confondus.

-  Dans le cas présent, F₁ et F₂ sont très proches l’un de l’autre car la trajectoire de mercure est quasi circulaire dans le référentiel héliocentrique

-   Le centre de masse S du Soleil est situé au foyer F₁ de l’ellipse

-  F₂ est le symétrique de F₁ par rapport au centre C du grand axe P₄P’₄.

-  On va vérifier sur la trajectoire de mercure dans le référentiel héliocentrique que :

-  P_iF₁ + P_iF₂ = 2 a

-  Pour pouvoir travailler avec les mesures sur le schéma, on divise l’expression précédente par 2 a :

-  Il vient :

-   

-  On vérifie la valeur de ce rapport pour quelques positions choisies :

-  On va réaliser les mesures avec le logiciel PhotoFiltre muni de  l’Outil Mesures :

-  Mesure de la valeur de la longueur 2 a :

-  2 a ≈ 43,61 cm

-  Tableau de valeurs :

-  On réalise les autres mesures en utilisant la même méthode :

-  Aux erreurs de mesures près, la trajectoire de Mercure dans le référentiel héliocentrique est quasiment une ellipse.

PARTIE II : Deuxième loi de Kepler

1.  Tracé des secteurs elliptiques SP₁P₂ puis SP₃P₄.

-  Schéma :

2.  Évaluation de l’aire des surfaces ainsi délimitées.

-  On fait l’approximation suivante :

-  On assimile l’aire d’un secteur à celle du triangle correspondant :

-  Pour le secteur elliptiques F₁P₁P₂ , on choisit le triangle F₁P₁P₂.

-  Pour le secteur elliptiques F₁P₃P₄ , on choisit le triangle F₁P₃P₄.

-  L’aire d’un triangle est donnée par la formule suivante :

-   

-  Mesures :

-  Aux erreurs de mesures près, on remarque que la valeur de l’aire du triangle F₁P₁P₂ est proche de celle du triangle F₁P₃P₄.

3.  La deuxième loi de Kepler est vérifiée :

-  Les aires parcourues pendant des durées égales (6 jours) sont quasiment égales

PARTIE III : Troisième loi de Kepler

1.  Exploitation du graphique : 

-  La courbe représentative de la fonction T² = f (r³) est une droite passant pratiquement par l’origine.

-  Ce que confirme l’étude statistique :

-  On en déduit que : T² = k . r³ pour les planètes du système solaire.

-    avec k ≈ 3,01 × 10^–19 s² . m^–3.

-  k est le coefficient directeur de la droite moyenne tracée :

-   

-   

-  La troisième loi de Kepler est vérifiée.

-  Remarque :

-  Résultat pour les 8 planètes du système solaire :

-  Graphe :

-  On en déduit que : T² = k . r³ pour les planètes du système solaire.

-   avec k ≈ 2,96 × 10^–19 s² . m^–3.

-  Si on exprime k avec deux chiffres significatifs :

-  k ≈ 3,0 × 10^–19 s² . m^–3

2.  L’astéroïde Cérès :

-  Diamètre de l’astéroïde Cérès : D =  950 km,

-  Période de révolution autour du Soleil T_C = 4,5 ans.

-  En utilisant la troisème loi de Kepler, on peut déterminer la valeur du rayon r_C de l’orbite de l’astéroïde Cérès :

-  Comme l’astéroïde Cérès gravite autour du Soleil :

-   

-  Application numérique :

-