Caractériser le champ de pesanteur terrestre : 

1.  Donner la direction et le sens du champ de pesanteur terrestre.

2.  Pourquoi le champ de pesanteur terrestre est-il uniforme dans une région de l’espace de faibles dimensions ?

Caractériser le champ de pesanteur terrestre  :

1.  Direction et le sens du champ de pesanteur terrestre .

-  Le champ de pesanteur  est assimilable au champ de gravitation terrestre au voisinage de la Terre.

-  Il est dirigé suivant la verticale du lieu

-  Il est orienté vers le bas

-  Il a une valeur g qui dépend de l’altitude et de la latitude du lieu considéré.

-  Schéma :

2.  Le champ de pesanteur terrestre est uniforme dans une région de l’espace de faibles dimensions.

-  Au voisinage de la Terre, le champ de pesanteur s’identifie au champ de gravitation si on néglige l’effet de la rotation de la Terre autour de l’axe des pôles

-  La valeur de g dépend de l’altitude et de la latitude

-  g = 9,81 N . kg^–1 à Paris

-  Lorsque les dimensions sont de l’ordre du kilomètre, on peut considérer que le champ de pesanteur est uniforme.

-  Sa valeur diminue d’environ 0,3 % si on s’élève de 10 km et sa direction varie d’environ 1° entre deux points distants de 100 km.

-  En conséquence, dans une région de l’espace de faibles dimensions,

-  le champ de pesanteur garde quasiment :

-  La même direction, le même sens et la même valeur.

Champs et forces (Cours première S 2010)

Interactions. Forces et Champs (Première programme 2018)

Le champ de gravitation (Cours de terminale S : année 2000)

Champ électrique dans un condensateur plan :

Entre deux plaques A et B, d’un condensateur plan, reliées à un générateur de courant continue, règne un champ électrique uniforme de valeur :

 E = 1,0 ×10⁴ N . C^–1.

Les plaques sont distantes de d = 10,0 cm

1.  Calculer la valeur absolue |U_AB| de la tension appliquée entre les plaques.

2.  Comment varie la valeur du champ électrique si la distance entre les plaques augmente ?

-  Données :

-  Valeur du champ électrique  :

Champ électrique dans un condensateur plan :

Schéma du dispositif :

1.  Valeur absolue |U_AB| de la tension appliquée entre les plaques.

-  Valeur du champ électrique  :

-   

-  Application numérique :

-   

-  Les unités :

-  (N . C^–1) = (V . m^–1)

-  Autre relation :

-   

-  La tension aux bornes du condensateur :

-  U_AB > 0

2.  Variation de la valeur du champ électrique en fonction de d :

-   

-  De cette relation, on peut déduire que :

-  Lorsque d ↑, alors la valeur du champ E ↓.

-  La valeur du champ électrique E entre les armatures du condensateur plan est inversement  proportionnelle à la distance d entre les armatures

Représenter un vecteur accélération :

Les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération d’un point matériel M dans un repère orthonormé lié au référentiel d’étude sont :

-   

1.  Représenter le vecteur accélération dans le repère choisi.

2.  Calculer la valeur a de l’accélération de M.

Exprimer un vecteur accélération :

On étudie le mouvement du centre de masse d’une bille dans un champ de pesanteur uniforme.

Le mouvement de cette bille, soumise uniquement à son poids, est étudié dans un référentiel terrestre supposé galiléen auquel on associe le repère .

1.  À l’aide de la deuxième loi de Newton, exprimer le vecteur accélération du centre de masse de la bille.

2.  Déterminer ses coordonnées cartésiennes.

-  Données : g = 9,81 m . s^–2.

Exprimer les conditions initiales :

Une athlète lance un poids, assimilé à un point matériel, dans un champ de pesanteur uniforme.

On représente ci-dessous la situation du lancer à la date t = 0 s.

1.  Dans quel référentiel le mouvement du poids est-il étudié ?

2.  Exprimer les coordonnées cartésiennes du vecteur position initiale  et celles du vecteur vitesse initiale  et du poids .

Exprimer les conditions initiales :

1.  Référentiel d’étude :

-  Référentiel terrestre supposé galiléen :

-   

2.  Coordonnées cartésiennes du vecteur position initiale , du vecteur vitesse initiale  et du poids .

-  Vecteur position initiale  :

-   

-  Vecteur vitesse initiale  :

-   

-  Le vecteur poids  :

-   

Exprimer le vecteur vitesse :

Les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération d’un point matériel M dans un repère orthonormé  lié au référentiel terrestre sont :

-     

1.  Déterminer les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse de M dans le cas  où le vecteur vitesse initiale a pour coordonnées :

-     

2.  Montrer que le mouvement du point M est plan.

Exprimer le vecteur vitesse :

1.  Coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse de M:

-  Coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse initiale :

-   

-  Coordonnées cartésiennes du vecteur accélération d’un point matériel M :

-   

-  Référentiel d’étude :

-  Dans un référentiel R donné, le vecteur accélération d’un point M à l’instant t,

 est égal à la dérivée , par rapport au temps, du vecteur vitesse  à cet instant :

-  La détermination du vecteur vitesse nécessite de rechercher la primitive par rapport au temps

de chaque coordonnée du vecteur accélération en tenant compte des conditions initiales.

-  On cherche les primitives des équations précédentes.

-  Il apparaît des constantes qui sont liées aux conditions initiales.

-  Les constantes d’intégration apparues dans les primitives sont liées aux conditions initiales :

c’est-à-dire les coordonnées du vecteur vitesse  à l’instant initial.

2.  Montrer que le mouvement du point M est plan.

-  Au cours du mouvement du point mobile M, la coordonnée v_x = 0.

-  Le mouvement du point M se fait dans le plan (Oyz) contenant le vecteur vitesse initiale  et le vecteur accélération .

-  Ce plan est appelé, plan de tir.

-  Schéma :

Établir l’équation de la trajectoire :

Le graphique ci-dessous représente l’abscisse x et l’ordonnée y du centre de masse G d’une balle au cours du temps.

Les équations horaires sont précisées sur le graphique.

-  Graphique :

-  Établir l’équation cartésienne de la trajectoire de G.

Établir l’équation de la trajectoire :

-  Système : S = {m, M}

-  Référentiel d’étude :

-  Coordonnées cartésiennes du point M :

-   

-  Vecteurs position, vitesse et accélération :

-  Pour connaître les coordonnées du vecteur vitesse, on dérive le vecteur position par rapport au temps.

-  Équation cartésienne de la trajectoire de G :

-  On élimine le temps t entre x et y :

-   

-   

-  Représentation graphique de la trajectoire :

-  y = – 0,293 x² + 1,20 x + 2,27.

-  Représentation graphique de v_x et v_y :

Appliquer la conservation de l’énergie :

Pour servir au tennis, un joueur placé en O lance une balle verticalement et la frappe en A à une hauteur H = 2,70 m au–dessus du sol.

La balle part avec une vitesse horizontale de valeur v₀ = 126 km . h^–1 dans un référentiel terrestre supposé galiléen.

De masse m, elle n’est soumise qu’à son poids.

Schéma :

1.  L’énergie mécanique de la balle est-elle constante ?

2.  Montrer que l’expression de la valeur v_B de la vitesse de la balle lorsqu’elle touche le sol s’écrit :

-   

3.  Calculer sa valeur.

-  Donnée :

-  Intensité de la pesanteur : g = 9,81 m . s^–2.

Utiliser des équations horaires :

Dans un référentiel supposé galiléen, l’étude du mouvement du centre de masse G d’un projectile conduit aux coordonnées cartésiennes suivantes :

-     

-     

1.  Écrire les coordonnées cartésiennes des vecteurs vitesse et position de G au temps t = 0 s.

2.  À quelle date t_S le vecteur vitesse est-il horizontal ?

3.  Déterminer l’altitude atteinte par G à cette date.

Service au tennis :

À l’instant t = 0 s, Ashleigh Barty frappe une balle de tennis à une hauteur h = 2,80 m.

Elle donne à cette balle une vitesse initiale orientée vers le bas, qui fait un angle α = 6,0 ° avec l’horizontale.

Le mouvement du centre de masse B de la balle de tennis est étudié dans un référentiel terrestre supposé galiléen auquel on associe le repère .

Dans l’étude qui suit, on suppose que la balle est frappée sans effet et que

toutes les actions dues à l’air sont négligées.

1.  Schématiser la situation.

2.  Établir l’expression du vecteur accélération du centre de masse B de la balle.

3.  Montrer que les équations horaires du mouvement de ce centre de masse B sont :

-   

4.  Montrer que l’équation de la trajectoire du point B s’écrit :

-   

5.  La balle passe-t-elle au-dessus du filet ?

-  Données :

-  Intensité de la pesanteur : g = 9,81 m . s^–2

-  Distance ligne de fond du court-filet : L = 11,90 m

-  Hauteur du filet : H = 0,92 m

-  Valeur de la vitesse initiale : v₀ = 47,0 m . s^–1.

Service au tennis :

 -  Conditions initiales :

-   

-   

1.  Schéma de la situation.

2.  Expression du vecteur accélération du centre de masse B de la balle.

-  Énoncé  de la deuxième loi de Newton :

-  Dans le cas présent :

-  Référentiel d’étude :

-  Système :  la bille de masse m.

-  On étudie le mouvement du centre de masse B de la balle.

-  S = {m, B}

-  La bille est soumise uniquement à son poids

-   

-  Le vecteur accélération de la bille est égal au vecteur accélération de la pesanteur .

-  Coordonnées du vecteur  :

-   

-   

3.  Équations horaires du mouvement de ce centre de masse B sont :

-  Équations horaires du vecteur vitesse  du centre de masse B :

-  Dans un référentiel R donné, le vecteur accélération d’un point M à l’instant t,

 est égal à la dérivée , par rapport au temps, du vecteur vitesse  à cet instant :

-  La détermination du vecteur vitesse nécessite de rechercher la primitive par rapport au temps

 de chaque coordonnée du vecteur accélération en tenant compte des conditions initiales.

-  On cherche les primitives des équations précédentes.

-  Il apparaît des constantes qui sont liées aux conditions initiales.

-  Les constantes d’intégration apparues dans les primitives sont liées aux conditions initiales :

 c’est-à-dire les coordonnées du vecteur vitesse  à l’instant initial.

-  On opère de la même façon :

-   

-  Le vecteur vitesse  est la dérivée par rapport au temps du vecteur position .

-  La détermination du vecteur position nécessite de rechercher la primitive par rapport au temps

 de chaque coordonnée du vecteur vitesse en tenant compte des conditions initiales.

-  Ceci est bien en accord avec les formules données dans l’énoncé.

-   

4.  Équation de la trajectoire du point B s’écrit :

-  La trajectoire d’un point est l’ensemble des positions successives occupées par ce point au cours du temps.

-  On élimine le temps t pour trouver la relation entre les coordonnées x et y du vecteur position.

-  Comme le mouvement a lieu dans le plan (Oxy) :

-  y = f (x).

-  Cette dernière relation est bien en accord avec celle donnée dans l’énoncé.

-   

5.  La balle passe-t-elle au-dessus du filet ?

-  Pour cela, il faut que pour x = 11,90 m , y_L soit supérieur à 0,92 m.

-  Schéma de la situation :

-   

-  En conséquence, y_L ≈ 1,23 m > 0,92 m

-  La balle passe au-dessus du filet.