|
Mouvement dans un champ uniforme |
|
![]() |
Exercices : énoncé et correction Préparation à l’ECE : Mouvement d’une balle 1)- Exercice 04 page 250 : Caractériser le champ
de pesanteur terrestre. 2)- Exercice 06 page 250 : Champ électrique dans
un condensateur plan. 3)- Exercice 08 page 251 : Représenter un
vecteur accélération. 4)- Exercice 10 page 251 : Exprimer un vecteur
accélération. 5)- Exercice 12 page 251 : Exprimer les
conditions initiales. 6)- Exercice 14 page 252 : Exprimer le vecteur
vitesse. 7)- Exercice 16 page 252 : établir l’équation de
la trajectoire. 8)- Exercice 20 page 253 : Appliquer la
conservation de l’énergie. 9)- Exercice 22 page 253 : Utiliser des
équations horaires. 10)- Exercice 30 page 253 : Service au tennis. 11)- Exercice 36 page 256 : DS 01 Service et
réception au volley (30 min). |
QCM r Des champs uniformes Le mouvement dans un champ uniforme
|
-
Un champ vectoriel uniforme est un champ qui
garde, en tout point d’une région de l’espace, la même direction, le même sens
et la même valeur.
-
Le champ de pesanteur
est assimilable au champ de gravitation
terrestre au voisinage de la Terre.
-
Il est dirigé suivant la verticale du lieu
-
Il est orienté vers le bas
-
Il a une valeur
g qui dépend de l’altitude et de la latitude du lieu considéré.
b)-
Champ de pesanteur uniforme :
-
Dans une région limitée à quelques kilomètres, on
peut admettre que le champ de pesanteur terrestre est uniforme.
-
Dans un champ de pesanteur uniforme, les forces
de pesanteur s’exerçant sur un objet de masse
m sont équivalentes à une force unique appelée poids
.
3)- Champ électrique
uniforme
.
-
Un champ électrique est dit uniforme dans une
région de l’espace si le vecteur champ
conserve
en tout point de cette région, la même direction, le même sens et la même
valeur.
-
Les lignes de champ sont des droites parallèles
entre elles.
-
Une ligne de champ vectoriel est une ligne
tangente en chacun de ses points au vecteur champ.
-
Elle est orientée par une flèche dans le même
sens que celui du champ.
-
Un condensateur est formé de deux conducteurs
métalliques appelés armatures, séparés par un isolant qui peut être de l'air ou
un diélectrique.
-
Le plus utilisé et le plus connu des
condensateurs est le condensateur plan.
-
Un condensateur plan est formé par deux plateaux
conducteurs parallèles A et
B appelés armatures, séparés par un
isolant de faible épaisseur d.
-
Charge du condensateur :
-
Pour charger un condensateur, on utilise un
générateur de courant.
-
Schéma :
-
Caractéristiques du champ électrique
entre les plaques :
|
|
Direction |
Perpendiculaire
aux plaques |
Sens |
De la plaque chargée positivement
vers la plaque chargée négativement
(sens des
potentiels décroissants) |
Valeur |
|
-
Relation :
-
Valeur du champ :
|
|
E |
Valeur du champ
électrique ( V . m–1) |
U |
Valeur de la
tension UAB (V) |
d |
Distance entre
les armatures (m) |
II-
Le mouvement dans un champ uniforme.
-
Système étudié :
S = {m,
G)
-
Référentiel d’étude : référentiel terrestre
supposé galiléen
-
Repère d’espaces lié au référentiel d’étude :
-
Bilan des forces : on se place dans le cas où le
système est uniquement soumis à son poids
.
-
Conditions initiales :
-
Au temps
t
= 0 :
-
Au temps
t
= 0 s, les coordonnées du point mobile G,
centre de masse de la bille sont :
-
-
Au temps t = 0, le vecteur vitesse
du
système est contenu dans le plan (Oxy)
-
Le vecteur vitesse
fait
un angle α avec l’axe horizontal (Ox).
-
-
Schéma de la situation :
-
Le champ de pesanteur
:
-
Est toujours verticale et orienté vers le bas.
-
Coordonnées du vecteur
:
-
-
Deuxième loi de Newton :
Dans un référentiel galiléen, la somme des
vecteurs
forces
appliquées à un
système S, de masse
m et de centre de masse
G,
est égal au
produit de sa masse m par
le vecteur accélération
de son centre de
masse. |
|
Valeur des forces
F en newton (N) |
Valeur de la
masse m en kilogramme (kg) |
|
Valeur de
l’accélération aG en mètre par
seconde au carré
(m . s–2) |
-
Dans le cas présent :
-
b)-
Détermination du vecteur accélération
.
-
Coordonnées du vecteur accélération
:
|
et |
|
On tire de
l’équation (1) |
|
-
Le vecteur accélération
est vertical et orienté
vers le bas.
c)-
Détermination du vecteur vitesse.
-
-
Le vecteur accélération
est
la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse
.
-
La détermination du vecteur vitesse nécessite de
rechercher la primitive par rapport au temps de chaque coordonnée du vecteur
accélération en tenant compte des conditions initiales.
-
On cherche les primitives des équations
précédentes.
-
Il apparaît des constantes qui sont liées aux
conditions initiales.
-
Les constantes d’intégration apparues dans les
primitives sont liées aux conditions initiales : c’est-à-dire les coordonnées du
vecteur vitesse
à l’instant initial.
|
D’après les
conditions
initiales |
|
-
Au cours du mouvement du point mobile
G, la coordonnée
vz = 0.
-
Le mouvement du point
G se fait dans le plan
(Oxy) contenant le vecteur vitesse
initiale
.
-
Ce plan est appelé, plan de tir.
d)-
Détermination du vecteur position.
-
On opère de la même façon :
-
-
Le vecteur vitesse
est la dérivée par rapport au temps du vecteur position
.
-
La détermination du vecteur position nécessite de
rechercher la primitive par rapport au temps de chaque coordonnée du vecteur
vitesse en tenant compte des conditions initiales.
|
D’après les
conditions
initiales |
|
-
Remarques :
-
Le mouvement suivant l'axe
x'Ox est rectiligne uniforme.
-
Le mouvement suivant l'axe
y'Oy est rectiligne uniformément varié.
-
Le mouvement de
G est contenu dans le plan (Oxy)
appelé plan de tir.
-
Il contient le vecteur
.
e)-
Détermination de la trajectoire.
-
La trajectoire d’un point est l’ensemble des
positions successives occupées par ce point au cours du temps.
-
On élimine
le temps t pour trouver la relation
entre les coordonnées x et
y du vecteur position.
-
Comme le mouvement a lieu dans le plan (Oxy)
:
-
y =
f (x).
On en déduit
l’équation de la trajectoire |
|
-
La trajectoire de
G est une portion de parabole contenue dans un plan vertical
contenant le vecteur vitesse
.
-
Elle est liée aux conditions initiales.
-
On peut limiter l’étude des mouvements dans un
champ uniforme à une étude dans un repère à deux dimensions.
2)- Cas du champ
électrique uniforme
-
Un électron
M de masse
m, porte la
charge électrique q =
– e.
-
L’électron
M pénètre, dans le vide, avec
le vecteur vitesse
, faisant un angle α avec l’horizontale à l'intérieur
d'un condensateur plan.
-
L’électron
M coïncide avec
O à la
date t = 0 s.
-
Système
S : électron
M de masse
m et de charge
q
-
Référentiel terrestre supposé galiléen
-
Le repère d’espace choisi :
contient le vecteur vitesse
et le vecteur
.
-
Référentiel d’étude : référentiel terrestre
supposé galiléen
- Repère d’espaces lié au référentiel d’étude :
-
Conditions initiales :
-
Position et vitesse du mobile au temps
t =
0 s
|
|
-
Schéma de la situation :
-
Données :
-
Masse :
m = 9,1 × 10–31 kg ; Charge : q = – e = – 1,6 × 10–19 C
-
E = 4,7 × 103 V / m ; g = 9,81 N . kg–1
-
Bilan des forces : Inventaire des forces
extérieures exercées sur l’électron.
-
Son poids
.
-
La force électrostatique
-
L’électron se déplace dans le vide, il n’y a pas d’interaction avec l’air.
-
Comparaison de Fe
et P.
-
Fe
= e . E
≈ 1,6 × 10–19 × 4,7 × 103
-
Fe
≈ 7,5 × 10–19 N
-
P = m . g
≈
9,1 × 10–31
× 9,81
-
P ≈
8,9 × 10–30
N
-
-
En conséquence,
P <<
Fe,
on peut négliger les effets du poids devant celui de la force électrostatique
Fe.
-
En conséquence, l’électron n’est soumis qu’à la
force électrostatique
.
-
Coordonnées des différentes forces et vecteurs
dans le repère choisi :
|
|
-
Application de la deuxième loi de Newton :
-
Dans le cas présent :
-
-
D’où :
-
b)-
Détermination du vecteur accélération.
-
On peut donner les coordonnées du vecteur
accélération dans le repère d’étude :
|
et |
|
De
l’équation
(1),
on tire |
|
-
Ainsi par recherche des primitives, on retrouve
les coordonnées du vecteur vitesse et du vecteur position.
c)-
Détermination du vecteur vitesse.
|
D’après
les
conditions
initiales |
|
d)-
Détermination du vecteur position.
|
D’après
les
conditions
initiales |
|
e)-
Détermination de la trajectoire.
-
Équation de la trajectoire :
-
On élimine le temps
t entre
x
et y pour
exprimer y
= f (x).
-
-
La trajectoire de l’électron est une portion de
parabole.
-
Déviation d’un faisceau d’électrons
(oscilloscope)
-
Une force est conservative si le travail de cette
force est indépendant du chemin suivi, c’est-à-dire s’il ne dépend que des
positions du point de départ A et du
point d’arrivée B.
-
Le poids est une force conservative.
-
De même la force électrique
est une force
conservative.
-
Lors du mouvement d’un système dans un champ de
pesanteur ou électrique uniforme, en l’absence de forces non conservatives,
l’énergie mécanique du système se conserve.
-
Son énergie cinétique est totalement convertie en
énergie potentielle, et inversement.
-
Le théorème de l’énergie cinétique permet de
calculer des valeurs de vitesse ou la coordonnée verticale du système selon les
données disponibles.
2)- Exemple : Cas de la chute libre.
Expérience :
-
On filme, à l’aide d’une WebCam, la chute d’une
balle de golf de masse m = 44 g.
-
Tableau de valeurs et pointages :
-
On réalise les pointages à l’aide du logiciel
AVIMECA 2.7.
|
|
-
Les propriétés du clip sont les suivantes :
-
Pour connaître la valeur de la vitesse à chaque
instant à l’aide du tableur, on calcule la vitesse moyenne pendant un intervalle
de temps très court (ici 80 ms) encadrant l’instant considéré :
-
On utilise la colonne
E pour l’étude de la
vitesse da bille.
-
On prend modèle sur les autres colonnes pour la
mise en forme.
-
La vitesse initiale (au temps
t = 0 s) :
on lâche la balle sans vitesse
initiale : la vitesse initiale est nulle.
-
Pour calculer la valeur de la vitesse du point N°
2, on utilise la méthode déjà utilisée :
-
On calcule la vitesse moyenne pendant un
intervalle de temps très court encadrant l’instant considéré :
-
On tape la formule suivante dans la cellule
E8 : =
ABS (D9 – D7) / 0,08
-
Le signe égale : pour signifier à Excel que l’on
tape une formule
-
ABS () car on calcule la valeur de la
vitesse qui est une grandeur positive
-
L’intervalle de temps vaut : 2
t = 80 ms.
-
On recopie cette formule vers le bas autant que
nécessaire avec la souris (copier – glisser)
-
On représente sur un même graphe, les variations
de l’énergie cinétique, de l’énergie potentielle et le l’énergie mécanique en
fonction du temps.
-
On choisit comme origine de l’énergie potentielle
la position initiale de la balle.
-
Tableau de valeurs :
t |
x |
y |
v |
EC |
EP |
Em |
s |
m |
m |
m |
J |
J |
J |
0 |
-4,80E-03 |
4,80E-03 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,04 |
0,00E+00 |
4,80E-03 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,08 |
0,00E+00 |
4,80E-03 |
0,06 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,12 |
0,00E+00 |
0,00E+00 |
0,48 |
0,01 |
0,00 |
0,01 |
0,16 |
4,80E-03 |
-3,36E-02 |
0,90 |
0,02 |
-0,01 |
0,00 |
0,2 |
4,80E-03 |
-7,20E-02 |
1,21 |
0,03 |
-0,03 |
0,00 |
0,24 |
0,00E+00 |
-1,30E-01 |
1,63 |
0,06 |
-0,06 |
0,00 |
0,28 |
4,80E-03 |
-2,02E-01 |
2,10 |
0,10 |
-0,09 |
0,01 |
0,32 |
0,00E+00 |
-2,98E-01 |
2,45 |
0,13 |
-0,13 |
0,00 |
0,36 |
-4,80E-03 |
-3,98E-01 |
2,88 |
0,18 |
-0,17 |
0,01 |
0,4 |
-4,80E-03 |
-5,28E-01 |
3,25 |
0,23 |
-0,23 |
0,00 |
0,44 |
-9,60E-03 |
-6,58E-01 |
3,66 |
0,30 |
-0,28 |
0,01 |
0,48 |
-9,60E-03 |
-8,21E-01 |
4,14 |
0,38 |
-0,35 |
0,02 |
0,52 |
-9,60E-03 |
-9,89E-01 |
4,36 |
0,42 |
-0,43 |
-0,01 |
0,56 |
-4,80E-03 |
-1,17E+00 |
4,76 |
0,50 |
-0,51 |
-0,01 |
0,6 |
-4,80E-03 |
-1,37E+00 |
5,13 |
0,58 |
-0,59 |
-0,01 |
0,64 |
-4,80E-03 |
-1,58E+00 |
5,63 |
0,70 |
-0,68 |
0,01 |
0,68 |
-4,80E-03 |
-1,82E+00 |
6,13 |
0,83 |
-0,79 |
0,04 |
0,72 |
-4,80E-03 |
-2,07E+00 |
6,38 |
0,89 |
-0,89 |
0,00 |
0,76 |
-9,60E-03 |
-2,33E+00 |
|
|
|
|
-
Graphe 1 :
E =
f (t)
-
Remarque :
-
L’énergie cinétique augmente au cours du temps,
l’énergie potentielle diminue au cours du temps, alors que l’énergie mécanique
se conserve au cours du temps.
-
Conclusion :
-
Le système
S, au cours de la chute, est
soumis à son poids
.
-
Les forces de frottements sont négligeables dans
les conditions de l’expérience (balle de petite dimension et hauteur de chute de
faible dimension)
-
L’énergie mécanique d’un système
S soumis
à des forces conservatives est constante, elle se conserve.
-
Au cours du mouvement, la variation de l’énergie
mécanique : ΔEm = 0
-
ΔEC +
ΔEP = 0
=>
ΔEC = –
ΔEP
-
Lorsqu’il y a conservation de l’énergie
mécanique, il y a transfert total de l’énergie potentielle en énergie cinétique.
3)- Principe de
fonctionnement d’un accélérateur linéaire de particules.
Le canon à électrons : - Un canon à électrons est constitué d’un filament qui, lorsqu’il est porté à haute température,
émet des
électrons de vitesse initiale négligeable. - Ces électrons sont ensuite accélérés à l’intérieur d’un condensateur plan dont les armatures A et B sont verticales
et entre lesquelles règne un champ
électrostatique uniforme de valeur E.
-
Schéma : - On néglige le poids de l’électron devant la force électrostatique. Le référentiel est supposé
galiléen. 1)-
Déterminer l’expression du travail de la force
électrostatique entre les
positions A et B (voir schéma). 2)- Montrer, en appliquant le théorème de l’énergie cinétique, que l’expression de la valeur de la vitesse en B
est :
-
-
Calculer la valeur de
vB. 3)-
Accélération et vitesse : une autre méthode a)-
Déterminer les
coordonnées du vecteur accélération
On choisira le repère
b)-
En déduire
l’expression de la valeur de sa vitesse à chaque instant. 4)-
Établir les équations horaires de son mouvement. 5)-
Expression et valeur de la vitesse : a)-
Montrer que
l’expression de la vitesse de l’électron lorsqu’il parvient à la
plaque B du condensateur est :
- b)-
Calculer la
valeur vB de cette vitesse.
-
Données :
-
e
= 1,60 × 10–19 C ; me = 9,11 × 10–31
kg ;
-
AB
= d = 3,00 cm ; E
= 6,00 × 104 V . m–1. |
Le canon à électrons :
-
Étude préliminaire :
-
On néglige le poids de l’électron
devant la force électrostatique.
-
Le référentiel est supposé galiléen :
-
La force électrostatique
-
-
Dans le cas d’un électron :
q = –
e
-
Les vecteurs
-
Signe et valeur de la tension
UAB :
-
-
UBA > 0
=> UAB <
0
- 1)-
Expression du travail de la force électrostatique
-
-
Comme la tension
UBA > 0, le travail de la force électrostatique est
moteur. 2)- Montrer, en appliquant le théorème de l’énergie cinétique, que l’expression de la valeur de la vitesse en B
est :
-
Les unités :
-
Dans le cas présent, seulement la
force électrostatique travaille :
-
-
Or la valeur de la vitesse
vA est
négligeable :
-
-
Or :
-
-
Application numérique :
-
-
Le canon à électrons permet
d’accélérer les électrons.
-
Remarque :
-
Le travail des forces appliquées au
système S peut faire
varier l’énergie cinétique du système.
-
On dit que le travail mécanique est
un mode de transfert de l’énergie.
-
Si 3)- Accélération et vitesse : une autre méthode
-
Données :
-
e = 1,60
x
10–19 C ; me = 9,11
x
10–31 kg ;
-
AB
= d = 3,00 cm ; E
= 6,00 x 104 V . m–1.
|
QCM r Des champs uniformes Le mouvement dans un champ uniforme
|
Exercices : énoncé et correction Préparation à l’ECE : Mouvement d’une balle 1)- Exercice 04
page 250 : Caractériser le champ de pesanteur terrestre. 2)- Exercice 06
page 250 : Champ électrique dans un condensateur plan. 3)- Exercice 08
page 251 : Représenter un vecteur accélération. 4)- Exercice 10
page 251 : Exprimer un vecteur accélération. 5)- Exercice 12
page 251 : Exprimer les conditions initiales. 6)- Exercice 14
page 252 : Exprimer le vecteur vitesse. 7)- Exercice 16
page 252 : établir l’équation de la trajectoire. 8)- Exercice 20
page 253 : Appliquer la conservation de l’énergie. 9)- Exercice 22
page 253 : Utiliser des équations horaires. 10)- Exercice 30
page 253 : Service au tennis. 11)- Exercice 36
page 256 : DS 01 Service et
réception au volley (30 min). |
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