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Modélisation de
l’écoulement
d’un fluide
|
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![]() |
2)- Origine de la
poussée d’Archimède. b)-
Pression dans l’eau et profondeur : c)-
Loi fondamentale de la statique des fluides : d)-
Forces pressantes exercées par un fluide sur un
solide immergé. |
II- La conservation du débit volumique. 1)- Régime
permanent indépendant du temps. 3)- Conservation
du débit volumique d’un fluide incompressible. |
1)- Mise en
évidence de la poussée d’Archimède.
QCM r
Modélisation de
l’écoulement d’un fluide
La Poussée
d’Archimède
La conservation
du débit volumique
La relation de
Bernoulli
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Exercices : énoncé avec correction 1)- Exercice 05 page
288 : Expression vectorielle de la poussée d’Archimède. 2)- Exercice 07 page
288 : Définir le débit volumique d’un fluide. 3)- Exercice 09 page
288 : Traduire la conservation d’un débit volumique. 4)- Exercice 11 page
289 : Décrire les grandeurs physiques de la relation e Bernoulli. 5)- Exercice 12 page
289 : Exploiter qualitativement la relation de Bernoulli. 6)- Exercice 13 page
289 : exploiter la relation de Bernoulli. 7)- Exercice 17 page
290 : Du yaourt au miel. 8)- Exercice 23 page
292 : Euréka 9)- Exercice 26 page
294 : Sonde Pitot. 10)- Exercice 27 page
296 : DS 01 (60 min) Une plongée technique. 11)- Exercice :
Préparation à ECE : La loi de Torricelli.
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QCM r
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-
Un fluide
incompressible est un fluide dont la masse volumique
ρ est constante.
-
Il s’agit d’un modèle.
-
Conditions :
-
Le fluide doit avoir
une température T
constante et homogène ;
-
Sa vitesse
d’écoulement v
est petite devant la célérité c
des ondes acoustiques qui peuvent se déplacer dans le fluide :
-
2)- Origine de la poussée d’Archimède.
-
La force pressante
résulte des chocs entre les entités, qui constituent le fluide, et les parois du
récipient.
-
Un fluide exerce une
force pressante sur les parois du récipient qui le contient :
-
Schéma :
|
Point
d’application : On choisit le
centre C de la surface pressée |
Direction :
perpendiculaire à la paroi |
|
Sens :
orienté du fluide vers la paroi |
|
Valeur :
F en newton N |
|
Force
pressante exercée par le fluide sur la membrane
élastique |
-
Remarque :
-
La valeur de la force
pressante ne dépend pas de l’orientation de la paroi (les particules se
déplacent dans toutes les directions de façon désordonnée).
-
Lorsqu’un fluide au
repos est au contact d’une paroi, il exerce sur celle-ci une force pressante
.
-
Schéma :
|
|
|
Point
d’application :
on choisit le
centre de la surface pressée |
Direction :
perpendiculaire à la paroi |
|
Sens :
orienté du fluide vers la paroi |
|
Valeur :
F en newton (N) |
-
La
valeur F
de la force pressante dépend de la pression
P du fluide et de la surface de
contact S
-
Relation :
F
= P . S |
P :
Pression en N . m–2 ou pascal (Pa) |
S :
Surface de contact en m2 |
|
F :
Force pressante en newton (N) |
b)-
Pression dans l’eau
et profondeur :
-
La pression de l’eau
augmente avec la profondeur.
-
La pression de l’eau
s’ajoute à celle de l’air.
-
On
ajoute 1 × 105 Pa tous
les 10 m.
-
Par définition,
l’unité légale de pression est le pascal de symbole Pa.
-
C’est
la pression exercée par une force pressante de 1 N sur une surface plane de 1 m2.
-
On emploie couramment
d’autres unités :
-
Le bar
(bar) : 1 bar = 105
Pa
-
L’hectopascal : 1 hPa = 102
Pa = 1 mbar
-
Exemple : cas de l’eau
c)-
Loi fondamentale de la
statique des fluides :
-
Relation :
PB
– PA
= ρ . g . ( zA
– zB)
|
P :
pression en pascal (Pa) |
ρ
: masse volumique du fluide au repos (kg . m–3) |
g :
intensité de la pesanteur (N . kg–1) |
z :
coordonnée verticale (m) L’axe des
coordonnées verticales est orienté vers le haut |
-
Schéma :
-
Deux
points A
et B,
situés dans un même liquide au repos, de mêmes coordonnés verticales (zA = zB)
sont à la même pression (PA = PB).
-
Deux
points A
et B,
situés dans un même liquide au repos, de coordonnés verticales différentes (zA ≠ zB)
sont à des pressions différentes (PA ≠ PB).
-
Si
zA > zB,
alors PB > PA
d)-
Forces pressantes exercées
par un fluide sur un solide immergé.
-
Schéma :
-
Considérons les deux positions verticales
A
et B :
-
zA > zB,
alors PB > PA ;
on en déduit que pour une même surface
S,
FB > FA
-
Les forces pressantes
ne se compensent pas.
-
Considérons les deux positions verticales
E
et F :
-
zE = zF,
alors PE = PF ;
on en déduit que pour une même surface
S,
FE = FF
-
On remarque que les
forces horizontales se compensent deux à deux.
-
Alors que les forces
verticales ne se compensent pas.
►
Conclusion :
-
La somme des forces
pressantes exercées sur le solide immergé est de direction verticale et orientée
vers le haut.
-
Ce résultat est
général et ne dépend pas de la forme du solide immergé.
e)-
Origine de la poussée
d’Archimède :
-
Dans un fluide au
repos, la différence de pression entre les parties inférieure et supérieure d’un
solide immergé est à l’origine de la poussée d’Archimède.
-
La
résultante des forces pressantes exercées sur un corps immergé dans un fluide
incompressible au repos est appelée
poussée d’Archimède.
-
Expérience :
mise en
évidence :
|
|
3)- Expression vectorielle de la poussée d’Archimède.
-
La poussée d’Archimède
exercée
par un fluide de masse volumique
ρfluide
est égale à l’opposé du poids du fluide déplacé.
-
Pour un
corps ayant un volume immergé
Vim,
l’expression vectorielle est donnée par la relation suivante :
|
Point
d’application : centre de poussée C |
Direction :
verticale du lieu |
Sens : vers le
haut |
Valeur :
FP = ρfluide
. Vim . g
|
-
Schéma :
-
Valeur de la poussée
d’Archimède :
FP
= ρfluide . Vim . g
|
FP :
Poussée d’Archimède en newton (N) |
ρfluide
: masse volumique du fluide au repos (kg . m–3) |
|
g :
intensité de la pesanteur (N . kg–1) |
|
Vim :
volume immergé du corps en mètre cube (m3) |
-
Remarque :
-
L’existence de la
poussée d’Archimède est liée à la présence du champ de pesanteur
.
II-
La conservation du débit
volumique.
1)- Régime permanent indépendant du temps.
-
Pour décrire
l’écoulement d’un fluide incompressible, on subdivise le fluide en unités
appelées particules de fluide.
-
Une particule de
fluide est un système fermé de dimensions mésoscopiques.
-
Dimensions
mésoscopiques : elles sont de l’ordre du 0,1 µm.
-
Elles sont petites par
rapport à l’échelle macroscopique mais suffisamment grandes pour contenir un
grand nombre d’entités microscopiques.
►
Les vecteurs vitesses
des particules de fluides :
-
Ils
sont tangents en tout point à des courbes appelées
lignes de champ de vitesse
ou ligne de courant.
-
Les lignes de champ de
vitesse permettent de cartographier le champ de vitesse du fluide.
►
Régime permanent :
-
Un
fluide s’écoule en régime permanent indépendant du temps, si la valeur
v
de la vitesse en chaque position est indépendante du temps
t.
-
En
régime permanent, la valeur
v de la vitesse d’écoulement en tout
point ne varie pas au cours du temps
t.
-
En régime permanent,
en tout point
-
Ainsi, en régime
permanent,
au point
M1
du fluide, la valeur de la vitesse
v1
ne change pas au cours du temps.
-
De même
au point M2
du fluide la valeur de la vitesse
v2 ne
change pas au cours du temps.
-
En
régime permanent, le débit volumique
DV
d’un fluide correspond au volume
V de fluide qui traverse une section
droite S
pendant une durée
Δt.
-
Relation :
|
DV :
Débit volumique (m3 . s–1) |
V :
Volume de fluide (m3) |
|
Δt
: durée (s) |
-
Le
débit volumique DV
est une caractéristique de l’écoulement d’un fluide.
-
Conséquence :
-
Pendant
la durée Δt :
-
Le
fluide traverse une section de surface
S ;
-
Le
fluide parcourt la distance
ℓ avec la vitesse d’écoulement
v :
-
ℓ
= v
. Δt
-
On en
déduit l’expression du volume
V de fluide écoulé à travers la section
S :
-
V
= S
. ℓ
-
V
= S
. v .
Δt
-
Schéma :
-
On en déduit la
relation suivante :
-
►
Débit volumique DV
:
-
Le
débit volumique DV
est égal au produit de la surface
S de la section de tube traversée par
le fluide, par la valeur
v de la vitesse du fluide au niveau de
cette section.
DV
= S . v |
DV :
Débit volumique (m3 . s–1) |
S :
surface de la section de tube traversée par le fluide (m2) |
|
v
: valeur de la vitesse du fluide au niveau de cette section (m . s–1) |
3)- Conservation du débit volumique d’un fluide
incompressible.
-
Un fluide
incompressible s’écoule en régime permanent dans une canalisation constituée de
deux tubes de sections différentes.
-
Schéma de la
situation :
-
Le
volume VA
de fluide se déplaçant dans la canalisation de section
SA
est identique au volume VB
de fluide se déplaçant dans la canalisation de section
SB
ceci pendant la même durée
Δt.
-
VA
= VB
-
En
conséquence, pendant la durée
Δt :
-
-
DV
= DVA =
DVB
-
Le débit volumique est
donc constant :
-
D’autre part ,
-
DV
= SA
. vA
= SB
. vB
-
Comme
SA
> SB,
alors vA
< vB
►
Conclusions :
-
Au cours d’un
écoulement en régime permanent, le débit volumique d’un fluide incompressible se
conserve. Il ne varie pas.
-
Pour un
fluide incompressible, le débit volumique
DV
est le même en tout point du fluide.
-
Si la
surface S ↓ de fluide traversée
diminue, la valeur de la vitesse
v ↑ d’écoulement du fluide augmente.
-
Lorsqu’un fluide s’écoule, la trajectoire d’une particule de fluide est appelée
lignes de champ de
vitesse ou
ligne de
courant.
-
Une ligne de courant
est orientée dans le sens de déplacement du fluide.
-
L’ensemble des lignes
de courant d’un fluide constitue un tube de courant dans lequel le fluide
s’écoule.
2)- Énoncé de la relation de Bernoulli.
-
On considère :
-
Un fluide
incompressible qui s’écoule en régime permanent indépendant du temps.
-
Que les frottements
sont négligeables
-
Que les forces
pressantes sont
les seules forces non conservatives qui s’exercent sur un élément de fluide se
déplaçant le long d’une ligne de courant d’une position
A
à une position B :
-
Schéma de la
situation :
-
On admet que le
travail de ces forces pressantes est donné par la relation :
-
-
Relation :
|
|
P :
pression du fluide au point considéré (Pa) |
V
: Volume d’un élément de fluide à la position considérée (m3) |
-
On
considère que l’élément du fluide a une masse
m :
-
On peut en déduire la
variation de l’énergie mécanique de cet élément de fluide :
-
-
Avec :
-
-
En remplaçant dans
l’expression suivante :
-
-
Que l’on peut écrire
aussi sous la forme suivante :
-
►
Conclusion :
-
On remarque que le
long d’une ligne de courant le fluide incompressible en régime permanent vérifie
la relation suivante :
-
-
Sachant
que pour un fluide incompressible ,
m
= ρ .
V
-
En
divisant, la relation précédente par le volume
V
de l’élément de fluide, on obtient la relation suivante :
-
-
On obtient ainsi la
relation de Bernoulli.
-
Relation de
Bernoulli :
|
ρ :
masse volumique du fluide
(kg . m–3 ) |
P :
pression du fluide au point considéré (Pa) |
v
: vitesse du fluide au point considéré (m . s–1) |
g : intensité de la pesanteur :
g
= 9,81 N. kg–1 ou g = 9,81 m. s–2 |
z :
altitude au point considéré (m) |
Constante : (J
. m–3) |
-
Remarque :
-
La relation de
Bernoulli est constituée de deux termes :
-
Le
terme : ρ .
g
. z
+ P
-
Ce
terme traduit la pression statique.
-
Il est lié à la
relation fondamentale de la statique des fluides.
-
Le terme :
-
Ce
terme traduit la pression dynamique.
-
Il est
lié à la force pressante qui s’applique sur un corps maintenu immobile dans un
écoulement de fluide à la vitesse
v.
-
Ce terme permet de
tenir compte des corrections à apporter à la loi fondamentale de la statique des
fluides lorsque le fluide étudié n’est plus au repos.
►
La relation de
Bernoulli :
-
Elle relie en toute
position du fluide d’une même ligne de courant :
-
La
pression P ;
-
La
valeur de la vitesse v ;
-
La
coordonnée verticale z de la position.
-
Pour une même ligne de
courant :
-
►
Écoulement d’un fluide
dans un tube dont la section diminue :
-
Schéma de la
situation :
-
On applique la
relation de Bernoulli à l’écoulement d’un fluide incompressible dans un tube qui
se resserre.
-
La
section de la surface S se resserre :
SA
> SB
-
Comme le fluide est
incompressible et que l’écoulement s’effectue en régime permanent indépendant du
temps, le débit volumique est conservé :
-
DV
= DVA =
DVB
-
Les
deux points A et
B
sont à la même altitude :
-
zA =
zB
-
On applique la
relation de Bernoulli à cette situation :
-
-
À la lecture de cette
relation, on peut en déduire que :
-
vB
> vA
=> PB
< PA
-
Une
valeur de la vitesse en B supérieure à la valeur de la
vitesse en A, entraîne une pression plus
petite en B qu’en
A :
-
C’est l’effet Venturi.
1)-
Mise en évidence de la poussée d’Archimède.
QCM r
Modélisation de
l’écoulement d’un fluide
La Poussée
d’Archimède
La conservation
du débit volumique
La relation de
Bernoulli |
Exercices : énoncé avec correction 1)- Exercice 05 page
288 : Expression vectorielle de la poussée d’Archimède. 2)- Exercice 07 page
288 : Définir le débit volumique d’un fluide. 3)- Exercice 09 page
288 : Traduire la conservation d’un débit volumique. 4)- Exercice 11 page
289 : Décrire les grandeurs physiques de la relation e Bernoulli. 5)- Exercice 12 page
289 : Exploiter qualitativement la relation de Bernoulli. 6)- Exercice 13 page
289 : exploiter la relation de Bernoulli. 7)- Exercice 17 page
290 : Du yaourt au miel. 8)- Exercice 23 page
292 : Euréka 9)- Exercice 26 page
294 : Sonde Pitot. 10)- Exercice 27 page
296 : DS 01 (60 min) Une plongée technique. 11)- Exercice :
Préparation à ECE : La loi de Torricelli.
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