Expression vectorielle de la poussée d’Archimède :

Un iceberg immobile de volume V_ice flotte à la surface de l’eau.

Son volume immergé est V_im.

1.  Représenter les deux forces exercées sur l’iceberg.

2.  Écrire l’expression vectorielle de ces deux forces en utilisant les notations du texte et calculer leurs valeurs.

-  Données :

-  Volumes :

-  V_ice = 7,0 × 10⁴ m³ ; V_im = 6,3 × 10⁴ m³ 

-  Masses volumiques :

-  ρ_ice = 9,2 × 10² kg . m^–3 ; ρ_eau = 1,02 × 10³ kg . m^–3 

-  Intensité de la pesanteur : g = 9,81 N . kg^–1.

Expression vectorielle de la poussée d’Archimède :

1.  Représentation des deux forces exercées sur l’iceberg.

-  Schéma 01 :

-  Schéma 02 : on peut représenter les forces à partir du point G

-  Principe de l’Inertie :

-  Énoncé : Principe d’Inertie :

-  Autre formulation :

-  Réciproque du principe d’Inertie :

-  Dans le cas présent, l’iceberg flotte et il est immobile.

-   

-  Les deux forces ont :

-  Même direction, des sens opposés et la même valeur.

2.  Expression vectorielle de ces deux forces.

-  Poids de l’iceberg :

-  Poussée d'Archimède :

-  Calcul des valeurs

-  Poids de l’iceberg :

-  P = ρ_ice . V_ice . g = 9,2 × 10² × 7,0 × 10⁴ × 9,81 

-  P ≈ 6,31 × 10⁸ N

-  P ≈ 6,3 × 10⁸ N

-  Poussée d’Archimède :

-  F_P = ρ_eau . V_im . g = 1,02 × 10³ × 6,3 × 10⁴ × 9,81 

-  F_P ≈ 6,30 × 10⁸ N

-  F_P ≈ 6,3 × 10⁸ N

-  Le résultat est en accord avec le principe de l’Inertie.

-  L’iceberg est bien en équilibre.

Définir le débit volumique d’un fluide :

1.  Quand dit-on qu’un fluide s’écoule en régime permanent indépendant du temps ?

2.  Définir le débit volumique d’un fluide.

Définir le débit volumique d’un fluide :

1.  Fluide en régime permanent indépendant du temps :

-  Un fluide s’écoule en régime permanent indépendant du temps, si la valeur v de la vitesse en chaque position est indépendante du temps t.

-  En régime permanent, la valeur v de la vitesse d’écoulement en tout point ne varie pas au cours du temps t.

-  En régime permanent, en tout point

-  Ainsi, en régime permanent,  au point M₁ du fluide, la valeur de la vitesse v₁ ne change pas au cours du temps.

-  De même au point M₂ du fluide la valeur de la vitesse v₂ ne change pas au cours du temps.

2.  Définition du débit volumique d’un fluide.

-  En régime permanent, le débit volumique D_V d’un fluide correspond au volume V de fluide qui traverse une section droite S pendant une durée Δt.

-  Relation :

-  Le débit volumique D_V est une caractéristique de l’écoulement d’un fluide.

-  Conséquence :

-  Pendant la durée Δt :

-  Le fluide traverse une section de surface S ;

-  Le fluide parcourt la distance ℓ avec la vitesse d’écoulement v :

-   ℓ = v . Δt

-  On en déduit l’expression du volume V de fluide écoulé à travers la section S :

-  V = S . ℓ

-  V = S . v . Δt

-  Schéma :

-  On en déduit la relation suivante :

-   

►  Débit volumique D_V :

-  Le débit volumique D_V est égal au produit de la surface S de la section de tube traversée par le fluide, par la valeur v de la vitesse du fluide au niveau de cette section.

Traduire la conservation d’un débit volumique :

De l’eau liquide, fluide incompressible, s’écoule en régime permanent indépendant du temps dans une canalisation.

L’eau qui traverse la section de surface S₁ parcourt la distance ℓ₁ pendant la durée Δt.

L’eau qui traverse la section de surface S₂, pendant la même durée Δt, parcourt la distance ℓ₂.

1.  Comparer les débits volumiques aux deux extrémités du tube schématisées ci-dessus.

2.  Exprimer la valeur v₂ de la vitesse en fonction de v₁, S₁ et S₂. La calculer.

-  Données :

-  Surface des sections : S₁ =30 cm² ; S₂ =10 cm² 

-  Valeur de la vitesse d’écoulement du fluide : v₁ = 2,2 m s^–1.

Décrire les grandeurs physiques de la relation de Bernoulli :

1.  Décrire chaque grandeur qui intervient dans la relation de Bernoulli. Préciser les unités.

2.  À l’aide de cette relation, écrire une égalité faisant intervenir des grandeurs physiques en deux positions A et B d’une ligne de courant horizontale d’un fluide.

-  Donnée :

-  On considère que la relation de Bernoulli peut s’appliquer le long d’une ligne de courant d’un fluide incompressible en écoulement permanent indépendant du temps

-  Elle s’écrit :

-   

Exploiter qualitativement la relation de Bernoulli :

À l’aide de la relation de Bernoulli, compléter les phrases suivantes, les positions A et B étant situées sur une même ligne de courant.

a.  Si v_A > v_B et si z_A = z_B, alors la pression P_A à la position A …

b.  Si v_A < v_B et si P_A = P_B, alors la coordonnée verticale z_A est …

c.  Si v_A = v_B et si z_A < z_B, alors la pression P_A à la position A est …

-  Donnée :

-  On considère que la relation de Bernoulli peut s’appliquer le long d’une ligne de courant d’un fluide incompressible en écoulement permanent indépendant du temps

-  Elle s’écrit :

-   

Exploiter qualitativement la relation de Bernoulli :

-  Relation de Bernoulli :

-   

-  Le long d’une ligne de courant d’un fluide incompressible en écoulement permanent indépendant du temps :

-   

a.  Si v_A > v_B et si z_A = z_B, alors la pression P_A à la position A est inférieure à la pression P_B à la position B.

-   

-  v_A > v_B => P_B – P_A > 0 => P_B > P_A 

b.  Si v_A < v_B et si P_A = P_B, alors la coordonnée verticale z_A est supérieure à la coordonnée verticale z_B.

-   

-  v_A < v_B et si P_A = P_B => z_B – z_A < 0  => z_B < z_A

c.  Si v_A = v_B et si z_A < z_B, alors la pression P_A à la position A est supérieure à la pression P_B à la position B.

-   

-  v_A = v_B et z_A < z_B => z_A – z_B < 0 =>  P_B – P_A < 0 => P_B < P_A

Exploiter la relation de Bernoulli :

Un écoulement de lait est schématisé ci-dessous.

-  Calculer la pression P_B en B.

-  Donnée :

-  On considère que la relation de Bernoulli peut s’appliquer le long d’une ligne de courant d’un fluide incompressible en écoulement permanent indépendant du temps.

-  Elle s’écrit :

-   

Exploiter la relation de Bernoulli :

-  Relation de Bernoulli :

-   

-  On considère que le lait est un fluide incompressible en écoulement permanent indépendant du temps.

-  Le long de la ligne de courant, les points A et B sont à la même altitude :

-  z = z_A = z_B.

-  On peut utiliser la relation de Bernoulli :

-  En utilisant le fait que : z_A = z_B => ρ . g . z_A = ρ . g .  z_B

-   

-  Valeur de la pression P_B en B.

-   

-  Remarque : P_B < P_A

Du yaourt au miel :

Dans une laiterie, afin d’aromatiser des yaourts, du miel s’écoule d’un réservoir dans une cuve contenant du lait à travers un tuyau de diamètre

d = 12,5 mm, suivant le schéma ci-dessous.

Le miel est considéré comme un fluide incompressible dont on néglige la viscosité.

Le réservoir est parallélépipédique et de grandes dimensions par rapport à celles de la cuve.

1.  La durée de remplissage de la cuve d’un volume V = 41 L de miel est Δt = 2,0 min.

Calculer le débit volumique D_V d’écoulement du miel dans la cuve en m³ . s^–1.

2.  Calculer la valeur v_S de la vitesse d’écoulement du miel dans le tuyau.

3.  La valeur de la vitesse du miel en A est considérée comme négligeable devant la valeur de la vitesse du miel dans le tuyau.

Exprimer puis calculer la coordonnée verticale z_A de la position A.

-  Données :

-  Masse volumique du miel : ρ_miel = 1042 kg . m^–3.

-  Intensité de la pesanteur : g = 9,81 N . kg^–1.

-  On considère que la relation de Bernoulli peut s’appliquer le long d’une ligne de courant d’un fluide incompressible en écoulement permanent indépendant du temps.

-  Elle s’écrit :

-   

Du yaourt au miel :

1.  Débit volumique D_V d’écoulement du miel dans la cuve en m³ . s^–1.

-  La durée de remplissage de la cuve : Δt = 2,0 min.

-  Cuve d’un volume V = 41 L

-  En régime permanent, le débit volumique D_V d’un fluide correspond au volume V de fluide qui traverse une section droite S pendant une durée Δt.

-  Relation :

-  Le débit volumique D_V est une caractéristique de l’écoulement d’un fluide.

-  Dans le cas présent :

-   

2.  Valeur v_S de la vitesse d’écoulement du miel dans le tuyau.

-  Tuyau de diamètre d = 12,5 mm

-  Surface S de la section du tuyau

-   

►  Autre expression du débit volumique D_V :

-  Le débit volumique D_V est égal au produit de la surface S de la section de tube traversée par le fluide, par la valeur v_S de la vitesse du fluide au niveau de cette section.

-   

3.  . Expression de la coordonnée verticale z_A de la position A.

-  Le miel est considéré comme un fluide incompressible dont on néglige la viscosité.

-  Les deux points A et S appartiennent à la même ligne de courant.

-  On peut utiliser la relation de Bernoulli :

-   

-  Relation que l’on applique aux deux points considérés :

-   

-  Expression de la coordonnée verticale z_A de la position A :

-   

-  Application numérique :

-  On remarque que : P_A = P_S = P_atm => P_A – P_S = 0

-  D’autre part :

-  La valeur de la vitesse du miel en A est considérée comme négligeable devant la valeur de la vitesse du miel dans le tuyau.

- 

-  Valeur de la coordonnée verticale z_A de la position A

-   

Euréka :

Le roi Hiéron II, tyran de Syracuse au III^e siècle avant notre ère, soupçonne l’orfèvre  qui a fabriqué sa couronne, censée être en or massif, d’y avoir mis un mélange d’or et d’argent.

La couronne a bien la même masse que l’or fourni à l’orfèvre pour la réalisation, mais le roi demande tout de même à Archimède de vérifier s’il y a tromperie, sans abîmer la couronne.

Alors qu’Archimède, aux bains publics, se plonge dans un bain chaud et le fait déborder, il s’écrie soudainement : « Eurêka, Eurêka ! » (« j’ai trouvé ! »)

Il court nu - dit la légende -, jusqu’à son habitation pour énoncer :

« Un corps plongé dans un liquide déplace un volume de ce liquide égal à son propre volume »

Par comparaison des volumes d’eau déplacée par la couronne et par le volume équivalent d’or, il pourra trancher.

1.  Les volumes :

a.  Calculer le volume V₁ d’une couronne en or massif de masse m = 2,00 kg.

b.  Montrer que le volume V₂ de cette couronne est 1,12 × 10^–1 L si l’orfèvre a substitué 10 % en masse d’or par de l’argent.

c.  Justifier qu’il est peu probable qu’Archimède ait pu conclure en réalisant l’expérience qu’il imagine.

2.  Expérience :

a.  On conçoit une autre expérience en immergeant complétement la couronne dans un récipient contenant de l’eau.

Indiquer les caractéristiques de la poussée d’Archimède exercée par l’eau sur la couronne si elle est en or massif.

b.  Répondre à la même question si l’orfèvre a substitué 10 % de la masse d’or par de l’argent.

3.  Calculer la valeur du poids de la couronne en or massif de masse m.

4.  Lors de l’expérience schématisée ci-dessous, prévoir de quel côté penche le fléau de la balance lorsque des deux objets, de même masse, sont immergés.

-  Données :

-  Masses volumiques :

-  ρ_argent = 1,050 × 10⁴ kg . m^–3 ;

-  ρ_or = 1,930 × 10⁴ kg . m^–3 ;

-  ρ_eau = 1,000 × 10³ kg . m^–3 ;

-  intensité de la pesanteur : g = 9,81 N . kg^–1.

Sonde Pitot :

Un hors-bord est équipé notamment d’une sonde Pilot qui permet de déterminer la valeur v de sa vitesse.

Cette sonde, placée sur la coque du bateau, est immergée.

L’eau est considérée comme un liquide incompressible.

A.  Applications des sondes Pitot.

Une sonde de Pilot (Henri Pitot, 1665-1771) sert à mesurer la valeur de la vitesse d’un écoulement de fluide. Inventée en 1732,

elle a été ensuite améliorée par Henry Darcy, puis Ludwig Prandtl.

Actuellement les sondes de Pitot sont fréquemment utilisées pour mesurer la valeur de la vitesse d’un avion ou d’un bateau.

B.  Schéma de principe d’une sonde de Pitot.

Dans un référentiel lié au bateau, l’eau se déplace à une vitesse de valeur v.

Son vecteur vitesse représenté sur le schéma est orienté vers la droite.

Dans un référentiel lié à l’eau supposée immobile, le bateau se déplace à une vitesse de même valeur v.

Le vecteur vitesse du bateau est, lui,  orienté vers la gauche.

La différence de coordonnées verticales entre O et O’, ou entre

A et B est négligeable.

1.  Vitesse et pression :

a.  Justifier que les pressions en O’ et B sont identiques.

b.  La position A est appelée point d’arrêt : la valeur de la vitesse du fluide y est nulle. Le long de la ligne de courant 2, justifier que

P_A est supérieure à P_O.

c.  En déduire que la valeur v de la vitesse en O est :

2.  La différence de pression mesurée par le manomètre différentiel est ΔP = 3,30 × 10³ Pa.

Calculer la valeur v de la vitesse du hors-bord.

3.  La limitation de vitesse dans la zone de navigation est 5 nœuds.

Le hors-bord est-il en infraction ?

-  Données :

-  Masse volumique de l'eau : ρ_eau = 1,000 × 10³ kg . m^–3.

-  Intensité de la pesanteur : g = 9,81 N . kg^–1.

-  1 nœud = 1 mile marin par heure = 1,852 km . h^–1

-  On considère que la relation de Bernoulli peut s’appliquer le long d’une ligne de courant d’un fluide incompressible

en écoulement permanent indépendant du temps.

-  Elle s’écrit :

-