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Modélisation de l’écoulement d’un fluide
Exercices 2024 |
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Exercice :
Calculer une vitesse d’éjection de vidange. |
Exercice : Trompe à eau. |
Exercice :
Tube de Venturi. |
Exercice :
Siphon. |
La vidange d'un réservoir d'eau est
représentée ci-dessous.
La section de l'ouverture de vidange s est très
petite devant la surface libre S du liquide, ce qui permet en première
approximation de supposer la surface libre du liquide immobile.
- Exprimer puis calculer la vitesse d'écoulement du liquide par la section s pour h0 =1,0 m.
-
Vitesse d'écoulement
du liquide par la section
s pour
h0
=1,0 m.
-
Schéma :
►
Débit volumique.
-
En régime permanent,
le débit volumique
DV
d’un fluide correspond au volume
V de fluide qui
traverse une section droite
S pendant une
durée
Δt.
-
Relation :
|
DV :
Débit volumique (m3 . s–1) |
V :
Volume de fluide (m3) |
|
Δt
: durée (s) |
-
Le débit volumique
DV
est une caractéristique de l’écoulement d’un fluide.
-
Dans le cas présent :
-
Le volume
VA
de fluide se déplaçant dans la canalisation de section
S
est identique au volume
VB
de fluide se déplaçant dans la canalisation de section
s
ceci pendant la même durée
Δt.
-
VA
= VB
-
En conséquence,
pendant la durée
Δt :
-
-
DV
= DVA =
DVB
►
Débit volumique DV
et vitesse
-
Le débit volumique
DV
est égal au produit de la surface
S
de la section de tube traversée par le fluide, par la valeur
v
de la vitesse du fluide au niveau de cette section.
DV
= S . v |
DV :
Débit volumique (m3 . s–1) |
S :
surface de la section de tube traversée par le fluide (m2) |
|
v
: valeur de la vitesse du fluide au niveau de cette section (m . s–1) |
-
Schéma :
-
Au point
A :
DVA
= S .
vA
-
Au point
B :
DVB
= s .
vB
-
Conservation du débit
volumique d’un fluide incompressible :
-
DVA
= S .
vA
= DVB
= s .
vB
-
Ainsi :
-
-
Comme
s
<< S,
alors
-
vA
≈ 0 m . s–1
►
Relation de
Bernoulli :
|
ρ :
masse volumique du fluide
(kg . m–3 ) |
P :
pression du fluide au point considéré (Pa) |
v
: vitesse du fluide au point considéré (m . s–1) |
g : intensité de la pesanteur :
g
= 9,81 N. kg–1 ou g = 9,81 m. s–2 |
z :
altitude au point considéré (m) |
Constante : (J
. m–3) |
-
Remarque :
-
La relation de
Bernoulli est constituée de deux termes :
-
Le terme :
ρ
. g
. z
+ P
-
Ce terme traduit la
pression statique.
-
Il est lié à la
relation fondamentale de la statique des fluides.
-
Le terme :
-
Ce terme traduit la
pression dynamique.
-
Il est lié à la force
pressante qui s’applique sur un corps maintenu immobile dans un écoulement de
fluide à la vitesse
v.
-
Ce terme permet de
tenir compte des corrections à apporter à la loi fondamentale de la statique des
fluides lorsque le fluide étudié n’est plus au repos.
►
La relation de
Bernoulli :
-
Elle relie en toute
position du fluide d’une même ligne de courant :
-
La pression
P ;
-
La valeur de la
vitesse
v ;
-
La coordonnée
verticale
z de la
position.
-
Pour une même ligne de
courant :
-
-
La relation de
Bernoulli appliquée au schéma suivant :
-
Au point
A :
-
-
Comme
vA
≈ 0 m . s–1
-
(ρ
. g
. zA
+ P0
≈ constante)
-
Au point
B :
-
-
En conséquence :
-
-
Application
numérique :
-
En travaux pratiques, on utilise une pompe à eau lors
d'un séchage sur Büchner.
Le dispositif est représenté ci-dessous.
Le rétrécissement du tube où circule l'eau provoque une dépression qui aspire
l'air à travers l'ouverture C.
Le diamètre de la conduite vaut dA = 12 mm en A et
dB = 5,0 mm en B.
La distance AB = 5,0 cm est assez faible pour que les effets de la
gravité soient négligeables.
DONNÉES :
Masse volumique : ρeau = 1000 kg . m–3
Intensité de la pesanteur g = 9,81 N . kg–1
a)-
Nommer l’effet qui relie
l'apparition d'une différence de pression à une variation de vitesse.
b)-
Exprimer puis calculer la dépression
PA –
PB en fonction du débit
volumique DV de l'eau,
pour DV = 6,0 L . min–1.
a)-
Effet Venturi :
différence de pression et variation de vitesse.
►
Écoulement d’un fluide
dans un tube dont la section diminue :
-
Schéma de la
situation :
-
On applique la
relation de Bernoulli à l’écoulement d’un fluide incompressible dans un tube qui
se resserre.
-
La
section de la surface S se resserre :
SA
> SB
-
Comme le fluide est
incompressible et que l’écoulement s’effectue en régime permanent indépendant du
temps, le débit volumique est conservé :
-
DV
= DVA =
DVB
-
Les
deux points A et
B
sont à la même altitude :
-
zA =
zB
-
On applique la
relation de Bernoulli à cette situation :
-
-
À la lecture de cette
relation, on peut en déduire que :
-
vB
> vA
=> PB
< PA
-
Une
valeur de la vitesse en B supérieure à la valeur de la
vitesse en A, entraîne une pression plus
petite en B qu’en
A :
-
C’est l’effet Venturi.
b)-
Expression et calcul
la dépression PA –
PB en fonction du débit
volumique DV de l'eau.
-
Donnée : DV = 6,0 L . min–1
-
Équation de
continuité :
-
Conservation du débit
volumique :
-
SA
. vA =
SB .
vB
-
En utilisant les
diamètres dA et dB :
-
-
Relation de
Bernoulli aux points A et
B :
-
-
On considère que les
effets de la gravité sont négligeables :
-
ρeau
. g . (zA – zB)
≈ 0
-
En conséquence :
-
-
En faisant intervenir les données de l’exercice :
-
Les différents
diamètres et le débit volumique :
-
-
Expression de la
différence de pression entre PA
et PB :
-
-
On développe, on
réduit et on factorise :
-
-
Application
numérique :
-
Attention :
DV = 6,0 L . min–1
-
DV = 1,0
× 10–4 m–3 . s–1
-
-
Au niveau de la mer,
la pression atmosphérique moyenne est d’environ 1013 hPa (hectopascal), ce qui
équivaut à 1 atm ou 1 bar.
-
1 bar = 105
Pa
-
Dans le cas présent,
la dépression est de l’ordre de 130 hPa, soit 0,13 bar environ.
-
Cette dépression crée
une aspiration au point C, et ainsi
au point
D.
-
La trompe à eau permet de réaliser des filtrations rapides de solutions comportant une phase solide.Filtration sous filtre Büchner
III- Exercice :
Tube de Venturi.
Sur un tube de Venturi, un tube en U contenant du
mercure Hg est branché entre deux positions 1 et 2.
De l'eau traverse le tube avec un débit volumique DV.
Dans la direction perpendiculaire à l'écoulement horizontal de l'eau dans le
tube, les fluides sont statiques.
Schéma :
DONNÉES :
Masses volumiques : ρHg = 13550 kg . m–3 ; ρeau
= 1000 kg . m–3
Intensité de la pesanteur g = 9,81 N . kg–1
Diamètres des sections : d1 = 10 mm ; d2
= 5,0 mm
Hauteur h = 0,30 m
a)-
Exprimer puis calculer la différence
de pression entre les deux positions 1 et 2 en fonction de la différence de
niveau h, puis en fonction du débit
volumique du fluide DV.
b)-
Exprimer puis calculer le débit volumique
DV du fluide en fonction
de la différence de niveau h mesurée dans le tube en
U.
a)-
Expression et calcul de la différence de
pression entre les 2 positions 1 et 2 en fonction de la différence de niveau
h, puis en fonction du débit
volumique du fluide DV.
-
Schéma :
-
Relation de Bernoulli
appliquée aux points 1 et 2 :
-
-
Avec
z1 =
z2 = 0
-
-
Maintenant,
considérons les points A1
et A2 , situés sur une ligne de courant infiniment proche de
la partie inférieure du tube de Venturi.
-
Relation de Bernoulli
appliquée aux points A1 et
A2 :
-
Avec :
-
-
-
On tire l’expression
suivante :
-
►
La partie statique :
-
Dans la direction
perpendiculaire à l'écoulement horizontal de l'eau dans le tube, les fluides
sont statiques.
-
Loi fondamentale de la
statique des fluides :
-
Relation :
PB
– PA
= ρ . g . ( zA
– zB)
|
P :
pression en pascal (Pa) |
ρ
: masse volumique du fluide au repos (kg . m–3) |
g :
intensité de la pesanteur (N . kg–1) |
z :
coordonnée verticale (m) L’axe des
coordonnées verticales est orienté vers le haut |
-
Schéma :
-
Considérons les points
A1 et B1 :
-
PB1 –
PA1 =
ρeau . g . ( zA1 –
zB1)
-
PB1 –
PA1 =
ρeau . g . A1B1
-
Considérons les points
A2 et B2 :
-
PB2 –
PA2 =
ρeau . g . ( zA2 –
zB2)
-
PB2 –
PA2 =
ρeau . g . A2B2
-
Différence de pression
entre les points B1 et
B2 :
-
PB1 =
PA1 +
ρeau . g . A1B1 et
PB2 =
PA2 +
ρeau . g . A2B2
-
PB1 –
PB2 =
PA1–
PA2 +
ρeau . g . (A1B1 –
A2B2)
-
Étude de l’expression
(A1B1 – A2B2)
-
Il faut relier cette
expression à la grandeur h :
-
L’étude du schéma
permet d’écrire la relation suivante :
-
-
Et :
-
-
En conséquence :
-
-
Du point de vue du
mercure, on peut écrire la relation suivante :
-
PB1 –
PB2 =
ρHg
. g . h
-
Différence de pression
entre P1 et
P2 :
-
-
-
Application
numérique :
-
b)-
Expression et calcul du débit
volumique DV du fluide en
fonction de la différence de niveau h mesurée dans le tube en
U.
-
L’équation de
continuité permet d’écrire la relation suivante :
-
S1
. v1 =
S2 .
v2
-
En utilisant les
diamètres d1 et d2 :
-
-
-
D’autre part :
-
PB1 –
PB2 =
ρHg
. g . h
- et :
-
-
- En utilisant les expressions de v1 et v2 en fonction de Dv
-
-
On va exprimer
Dv en fonction des autres paramètres :
-
-
Et enfin :
-
-
Application
numérique :
-
Pour vider partiellement un réservoir
parallélépipédique contenant de l'eau, on utilise un siphon qui est un tube de
section d'aire constante s.
Note Ʃ l'aire de la section du réservoir.
Soient A le point d'entrée du siphon, B le point le plus haut
du siphon, C un point à la sortie du siphon et D un point de la
surface libre dans le réservoir.
La surface libre dans le réservoir et l'extrémité C du siphon sont à
la pression atmosphérique Pa.
L'origine des ordonnées est prise au fond du réservoir.
DONNÉES :
zA = 5,0 cm ; zB = 70 cm ; zC
= – 10 cm ; à l’instant initial : zD = 60 cm.
Intensité de la pesanteur g = 9,81 N . kg–1
ρeau = 1000 kg . m–3
Pa = 1013 hPa
Ʃ = 1,0 m2.
s = 1,0 cm2
a)-
En considérant
s <<
Ʃ, comparer les vitesses d'écoulement
de l'eau au point D et au point
C.
b)-
Calculer la vitesse d'écoulement de l'eau à la sortie
du siphon. En déduire une condition pour que le fluide s'écoule.
c)-
Calculer les pressions
PA et
PB dans l'eau aux points
A et
B.
d)-
En déduire ce qu'il
faut faire pour amorcer le siphon. La hauteur du point
B peut-elle être quelconque ?
a)-
Comparaison des
vitesses d'écoulement de l'eau au point D et au point
C.
-
On considère que :
s
<< Ʃ
-
Schéma :
-
Équation de
continuité :
-
Conservation du débit
volumique : aux points D et
A
-
s
. vA =
Ʃ . vD
-
D’autre part :
-
Conservation du débit
volumique : aux points A et
C
-
s
. vA =
s . vC
-
Conséquence :
-
s
. vC =
Ʃ . vD
-
-
Comme
s <<
Ʃ, alors
- v
D ≈ 0 m . s–1
b)-
Vitesse d'écoulement de l'eau
à la sortie du siphon.
-
Schéma :
-
Relation de Bernoulli
appliquée entre les points C et
D :
-
-
Or vD ≈ 0 m . s–1
et PD = Pa
= PC
-
-
Condition pour que le
fluide s'écoule :
-
Pour que le fluide
s’écoule, il faut que zD > zC.
-
Vitesse d’écoulement
de l’eau au point C :
-
c)-
Valeurs des pressions
PA et
PB dans l'eau aux points
A et
B.
-
Relation de Bernoulli
appliquée entre les points A et
B :
-
-
Conservation du débit
volumique : aux points A et
B
-
s
. vA =
s . vB =
s . vC
-
Conséquence :
-
-
Relation de Bernoulli
appliquée entre les points C et
B :
-
-
Conservation du débit
volumique : aux points A et
B
-
s
. vA =
s . vB =
s . vC
-
et
Pa =
PC
-
-
Valeur de la pression
au point B (à l’état initial):
-
PB
= Pa +
ρeau .
g . (zC –
zB)
-
PB
= 1,013 × 105 + 10000×9,81 × ( – 0,10 – 0,70)
-
PB
≈ 9,34 × 104 Pa
- PB ≈ 9,3 × 104 Pa
- Valeur de la pression au point A (à l’état initial):
-
PA
= PB +
ρeau .
g . (zB –
zA)
-
PA
= Pa +
ρeau .
g . (zC –
zB) +
ρeau . g . (zB
– zA)
-
PA
= Pa +
ρeau .
g . (zC –
zA)
-
Application
numérique :
-
PA
= Pa +
ρeau .
g . (zC –
zA)
-
PA =
1,013 × 105 + 10000×9,81 × ( – 0,10 – 0,050)
-
PA ≈ 9,98
× 104 Pa
-
PA ≈ 1,0 × 105 Pa
d)-
Amorçage du siphon.
-
Retour sur
l’expression de la pression au point B :
-
-
Pour que le siphon
fonctionne, il faut que la valeur de la pression au point
B soit positive.
-
Il faut que le point
D soit au-dessus du point C
et que le point B soit au-dessus du
point D.
-
On peut écrire la
relation précédente sous une autre forme :
-
PB
= Pa +
ρeau .
g . (zC –
zB)
-
PB
= Pa –
ρeau .
g . (zB –
zC)
-
-
Application
numérique :
-
-
C'est la même valeur
que celle de la hauteur maximale pour une colonne d'eau trouvée par Torricelli.
-
La hauteur du point
B ne peut être quelconque.
-
Pour amorcer un
siphon, il faut suivre ces étapes générales :
-
Remplir le siphon de
liquide, soit avant la mise en place, soit par un amorçage qui consiste à créer
une dépression (par aspiration) pour permettre au liquide du réservoir de
s'engager dans le tuyau.
-
Placer l'extrémité
d'entrée du siphon dans le récipient supérieur contenant le liquide.
-
Amorcer le siphon en
aspirant doucement sur l'extrémité d'entrée pour créer une dépression et faire
entrer le liquide dans le siphon.
-
Une fois que le
liquide commence à couler, il est important de maintenir la pression pour éviter
que de l'air n'intervienne et ne désamorce le siphon.
-
Il est également
essentiel de vérifier que l'extrémité de sortie du siphon est à un niveau
inférieur au niveau du réservoir pour que le mouvement se poursuive.
►
Vase
de Tantale :