Chap N° 14 Exercices 2024 : Modélisation de l’écoulement d’un fluide


Chap. N°14

Modélisation de l’écoulement d’un fluide

Exercices 2024
Cours.

Exercices


 

 
Sciences physiques sur le Web

I- Exercice :  Calculer une vitesse d’éjection de vidange.

1)- Énoncé.

2)- Correction.

II- Exercice : Trompe à eau.

1)- Énoncé.

2)- Correction.

III- Exercice : Tube de Venturi.

1)- Énoncé.

2)- Correction.

IV- Exercice : Siphon.

1)- Énoncé.

2)- Correction.

I- Exercice : Calculer une vitesse d’éjection de vidange.

1)- Énoncé.

La vidange d'un réservoir d'eau est représentée ci-dessous.

 réservoir

La section de l'ouverture de vidange s est très petite devant la surface libre S du liquide, ce qui permet en première approximation de supposer la surface libre du liquide immobile.

-  Exprimer puis calculer la vitesse d'écoulement du liquide par la section s pour h0 =1,0 m.

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2)- Correction.

-  Vitesse d'écoulement du liquide par la section s pour h0 =1,0 m.

-  Schéma :

 réservoir et légende

  Débit volumique.

-  En régime permanent, le débit volumique DV d’un fluide correspond au volume V de fluide qui traverse une section droite S pendant une durée Δt.

-  Relation :  

 Débit volumique

DV : Débit volumique (m3 . s–1)

V : Volume de fluide (m3)

Δt : durée (s)

-  Le débit volumique DV est une caractéristique de l’écoulement d’un fluide.

-  Dans le cas présent :

-  Le volume VA de fluide se déplaçant dans la canalisation de section S est identique au volume VB de fluide se déplaçant dans la canalisation de section s ceci pendant la même durée Δt.

-  VA = VB

-  En conséquence, pendant la durée Δt :

-   relation

-  DV = DVA = DVB

  Débit volumique DV et vitesse

-  Le débit volumique DV est égal au produit de la surface S de la section de tube traversée par le fluide, par la valeur v de la vitesse du fluide au niveau de cette section. 

DV = S . v

DV : Débit volumique (m3 . s–1)

S : surface de la section de tube traversée par le fluide (m2)

v : valeur de la vitesse du fluide au niveau de cette section (m . s–1)

-  Schéma :

 réservoir et légende

-  Au point A : DVA = S . vA

-  Au point B : DVB = s . vB

-  Conservation du débit volumique d’un fluide incompressible :

-  DVA = S . vA = DVB = s . vB

-  Ainsi :

-   vA

-  Comme s << S, alors s/S << 1

-  vA ≈ 0 m . s–1

  Relation de Bernoulli :

 

 Relation de Bernoulli

ρ : masse volumique du fluide  (kg . m–3 )

P : pression du fluide au point considéré (Pa)

v : vitesse du fluide au point considéré (m . s–1)

: intensité de la pesanteur :

g = 9,81 N. kg–1 ou g = 9,81 m. s–2

: altitude au point considéré (m)

Constante : (J . m–3)

-  Remarque :

-  La relation de Bernoulli est constituée de deux termes :

-  Le terme : ρ . g . z + P

-  Ce terme traduit la pression statique.

-  Il est lié à la relation fondamentale de la statique des fluides.

-  Le terme : terme

-  Ce terme traduit la pression dynamique.

-  Il est lié à la force pressante qui s’applique sur un corps maintenu immobile dans un écoulement de fluide à la vitesse v.

-  Ce terme permet de tenir compte des corrections à apporter à la loi fondamentale de la statique des fluides lorsque le fluide étudié n’est plus au repos.

  La relation de Bernoulli :

-  Elle relie en toute position du fluide d’une même ligne de courant :

-  La pression P ;

-  La valeur de la vitesse v ;

-  La coordonnée verticale z de la position.

-  Pour une même ligne de courant :

-  Relation de Bernoulli 

-  La relation de Bernoulli appliquée au schéma suivant :

 réservoir et légende

-  Au point A :

-  point A 

-  Comme vA ≈ 0 m . s1

-   (ρ . g . zA + P0 ≈ constante)

-  Au point B :

-   point B

-  En conséquence :

-  vB 

-  Application numérique :

-  vB = 4,4 m / s

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II- Exercice : Trompe à eau.

1)- Énoncé.

En travaux pratiques, on utilise une pompe à eau lors d'un séchage sur Büchner.

Le dispositif est représenté ci-dessous.

Trompe à eau

Le rétrécissement du tube où circule l'eau provoque une dépression qui aspire l'air à travers l'ouverture C.

Le diamètre de la conduite vaut dA = 12 mm en A et dB = 5,0 mm en B.

La distance AB = 5,0 cm est assez faible pour que les effets de la gravité soient négligeables.

 

DONNÉES :

Masse volumique : ρeau = 1000 kg . m–3 

Intensité de la pesanteur g = 9,81 N . kg–1 

  

a)-  Nommer l’effet qui relie l'apparition d'une différence de pression à une variation de vitesse.

b)-  Exprimer puis calculer la dépression PAPB en fonction du débit volumique DV de l'eau, pour DV = 6,0 L . min–1.

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2)- Correction.

a)-  Effet Venturi : différence de pression et variation de vitesse.

  Écoulement d’un fluide dans un tube dont la section diminue :

-  Schéma de la situation :

Écoulement d’un fluide dans un tube dont la section diminue

-  On applique la relation de Bernoulli à l’écoulement d’un fluide incompressible dans un tube qui se resserre.

-  La section de la surface S se resserre :  SA > SB

-  Comme le fluide est incompressible et que l’écoulement s’effectue en régime permanent indépendant du temps, le débit volumique est conservé :

-  DV = DVA = DVB

-  Les deux points A et B sont à la même altitude :

-  zA = zB

-  On applique la relation de Bernoulli à cette situation :

-  relation de Bernoulli  

-  À la lecture de cette relation, on peut en déduire que :

-  vB > vA => PB < PA

-  Une valeur de la vitesse en B supérieure à la valeur de la vitesse en A, entraîne une pression plus petite en B qu’en A :

-  C’est l’effet Venturi.

b)-  Expression et calcul la dépression PAPB en fonction du débit volumique DV de l'eau.

-  Donnée : DV = 6,0 L . min–1

-  Équation de continuité :

-  Conservation du débit volumique :

-  SA . vA = SB . vB

-  En utilisant les diamètres dA et dB :

-  Dv 

-  Relation de Bernoulli aux points A et B :

-   Relation de Bernoulli

-  On considère que les effets de la gravité sont négligeables :

-  ρeau . g . (zAzB) ≈ 0

-  En conséquence :

-  PA - PB 

-  En faisant intervenir les données de l’exercice :

 trompe à vide

-  Les différents diamètres et le débit volumique :

-  vA et vB 

-  Expression de la différence de pression entre PA et PB :

-  PA - PB 

-  On développe, on réduit et on factorise :

-   PA - PB

-  Application numérique :

-  Attention : DV = 6,0 L . min–1

-  DV = 1,0 × 10–4 m–3 . s–1

-   PA - PB = 1,3 E4 Pa

-  Au niveau de la mer, la pression atmosphérique moyenne est d’environ 1013 hPa (hectopascal), ce qui équivaut à 1 atm ou 1 bar.

-  1 bar = 105 Pa

-  Dans le cas présent, la dépression est de l’ordre de 130 hPa, soit 0,13 bar environ.

-  Cette dépression crée une aspiration au point C, et ainsi au point D.

-  La trompe à eau permet de réaliser des filtrations rapides de solutions comportant une phase solide.

 Filtration sur filtre Büchner

Filtration sous filtre Büchner

Fabrication d'un savon de Marseille

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III- Exercice : Tube de Venturi.

1)- Énoncé.

Sur un tube de Venturi, un tube en U contenant du mercure Hg est branché entre deux positions 1 et 2.

De l'eau traverse le tube avec un débit volumique DV.

Dans la direction perpendiculaire à l'écoulement horizontal de l'eau dans le tube, les fluides sont statiques.

Schéma :

Tube de Venturi

DONNÉES :

Masses volumiques : ρHg = 13550 kg . m–3 ; ρeau = 1000 kg . m–3 

Intensité de la pesanteur g = 9,81 N . kg–1 

Diamètres des sections : d1 = 10 mm ; d2 = 5,0 mm 

Hauteur h = 0,30 m

a)-  Exprimer puis calculer la différence de pression entre les deux positions 1 et 2 en fonction de la différence de niveau h, puis en fonction du débit volumique du fluide DV.

b)-  Exprimer puis calculer le débit volumique DV du fluide en fonction de la différence de niveau h mesurée dans le tube en U.

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2)- Correction.

a)-  Expression et calcul de la différence de pression entre les 2 positions 1 et 2 en fonction de la différence de niveau h, puis en fonction du débit volumique du fluide DV.

-  Schéma :

 tube de Venturi

-  Relation de Bernoulli appliquée aux points 1 et 2 :

-  Relation de Bernoulli  

-  Avec z1 = z2 = 0

-  Relation de Bernoulli 

-  Maintenant, considérons les points A1 et A2 , situés sur une ligne de courant infiniment proche de la partie inférieure du tube de Venturi.

-  Relation de Bernoulli appliquée aux points A1 et A2 :

Relation de Bernoulli

-  Avec :

-  ZA1 et zA2 

-  Relation de Bernoulli 

-  On tire l’expression suivante :

-  expression PA1 - PA2 

  La partie statique :

-  Dans la direction perpendiculaire à l'écoulement horizontal de l'eau dans le tube, les fluides sont statiques.

-  Loi fondamentale de la statique des fluides :

-  Relation :

PB – PA = ρ . g . ( zA – zB)

P : pression en pascal (Pa)

ρ : masse volumique du fluide au repos (kg . m–3)

g : intensité de la pesanteur (N . kg–1)

: coordonnée verticale (m)

L’axe des coordonnées verticales est orienté vers le haut

-  Schéma :

 pression et profondeur

-  Considérons les points A1 et B1 :

 tube de Venturi

-  PB1 – PA1 = ρeau . g . ( zA1 – zB1)

-  PB1 – PA1 = ρeau . g . A1B1 

-  Considérons les points A2 et B2 :

-  PB2 – PA2 = ρeau . g . ( zA2 – zB2)

-  PB2 – PA2 = ρeau . g . A2B2 

-  Différence de pression entre les points B1 et B2 :

-  PB1 = PA1 + ρeau . g . A1B1 et PB2 = PA2 + ρeau . g . A2B2

-  PB1 – PB2 = PA1– PA2 + ρeau . g . (A1B1 – A2B2)

-  Étude de l’expression (A1B1 – A2B2)

-  Il faut relier cette expression à la grandeur h :

-  L’étude du schéma permet d’écrire la relation suivante :

-   relation

-  Et :

-   PA1 - PA2

-  En conséquence :

-   PB1 - PB2

-  Du point de vue du mercure, on peut écrire la relation suivante :

-  PB1 – PB2 = ρHg . g . h

-  Différence de pression entre P1 et P2 :

-  P1 - P2 

-  Or :

P1 - P2

-  Application numérique :

-   P1 - P2 = 3,7 E4 Pa

b)-  Expression et calcul du débit volumique DV du fluide en fonction de la différence de niveau h mesurée dans le tube en U.

-  L’équation de continuité permet d’écrire la relation suivante :

-  S1 . v1 = S2 . v2

-  En utilisant les diamètres d1 et d2 :

-   Dv

-   v1 et v2

-  D’autre part :

-  PB1 – PB2 = ρHg . g . h

-  et :

PB1 - PB2 

-  relation

En utilisant les expressions de v1 et v2 en fonction de Dv 

expression 

-  On va exprimer Dv en fonction des autres paramètres :

-  Dv au carré 

-  Et enfin :

-  Dv 

-  Application numérique :

-  Dv = 0,17 L / s ou 10 L / min 

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IV- Exercice : Siphon.

1)- Énoncé.

Pour vider partiellement un réservoir parallélépipédique contenant de l'eau, on utilise un siphon qui est un tube de section d'aire constante s.

Note Ʃ l'aire de la section du réservoir.

Soient A le point d'entrée du siphon, B le point le plus haut du siphon, C un point à la sortie du siphon et D un point de la surface libre dans le réservoir.

La surface libre dans le réservoir et l'extrémité C du siphon sont à la pression atmosphérique Pa.

L'origine des ordonnées est prise au fond du réservoir.

réservoir et siphon  

DONNÉES :

zA = 5,0 cm ; zB = 70 cm ; zC = – 10 cm ; à l’instant initial : zD = 60 cm.

Intensité de la pesanteur g = 9,81 N . kg–1 

ρeau = 1000 kg . m–3 

Pa = 1013 hPa

Ʃ = 1,0 m2.

s = 1,0 cm2

a)-  En considérant s << Ʃ, comparer les vitesses d'écoulement de l'eau au point D et au point C.

b)-  Calculer la vitesse d'écoulement de l'eau à la sortie du siphon. En déduire une condition pour que le fluide s'écoule.

c)-  Calculer les pressions PA et PB dans l'eau aux points A et B.

d)-  En déduire ce qu'il faut faire pour amorcer le siphon. La hauteur du point B peut-elle être quelconque ?

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2)- Correction.

a)-  Comparaison des vitesses d'écoulement de l'eau au point D et au point C.

-  On considère que :  s << Ʃ 

-  Schéma :

 réservoir et siphon

-  Équation de continuité :

-  Conservation du débit volumique : aux points D et A

-  s . vA = Ʃ . vD

-  D’autre part :

-  Conservation du débit volumique : aux points A et C

-  s . vA = s . vC

-  Conséquence :

-  s . vC = Ʃ . vD

-  vD 

-  Comme s << Ʃ, alors relation <<1

-  vD ≈ 0 m . s–1

b)-  Vitesse d'écoulement de l'eau à la sortie du siphon.

-  Schéma :

 réservoir et siphon

-  Relation de Bernoulli appliquée entre les points C et D :

-  relation de Bernoulli 

-  Or vD ≈ 0 m . s–1 et PD = Pa = PC

-  vC 

-  Condition pour que le fluide s'écoule :

-  Pour que le fluide s’écoule, il faut que zD > zC.

-  Vitesse d’écoulement de l’eau au point C :

-   vC = 3,7 m / s

c)-  Valeurs des pressions PA et PB dans l'eau aux points A et B.

-  Relation de Bernoulli appliquée entre les points A et B :

-  Relation de Bernoulli 

-  Conservation du débit volumique : aux points A et B

-  s . vA = s . vB = s . vC

-  Conséquence :

-  PA 

-  Relation de Bernoulli appliquée entre les points C et B :

-   Relation de Bernoulli

-  Conservation du débit volumique : aux points A et B

-  s . vA = s . vB = s . vC

-  et Pa = PC

-   PB

-  Valeur de la pression au point B (à l’état initial):

-  PB = Pa + ρeau . g . (zCzB)

-  PB = 1,013 × 105 + 10000×9,81 × ( – 0,10 – 0,70)

-  PB ≈ 9,34 × 104 Pa

-  PB ≈ 9,3 × 104 Pa

-  Valeur de la pression au point A (à l’état initial):

-  PA = PB + ρeau . g . (zBzA)

-  PA = Pa + ρeau . g . (zCzB) + ρeau . g . (zBzA)

-  PA = Pa + ρeau . g . (zCzA)

-  Application numérique :

-  PA = Pa + ρeau . g . (zCzA)

-  PA = 1,013 × 105 + 10000×9,81 × ( – 0,10 – 0,050)

-  PA ≈ 9,98 × 104 Pa

-  PA ≈ 1,0 × 105 Pa

d)-  Amorçage du siphon.

-  Retour sur l’expression de la pression au point B :

-   PB = Pa + ρeau . g . (zC - zB)

-  Pour que le siphon fonctionne, il faut que la valeur de la pression au point B soit positive.

-  Il faut que le point D soit au-dessus du point C et que le point B soit au-dessus du point D.

-  On peut écrire la relation précédente sous une autre forme :

-  PB = Pa + ρeau . g . (zCzB)

-  PB = Paρeau . g . (zBzC)

-   zB - zC

-  Application numérique :

-   zB - zC < 10,3 m

-  C'est la même valeur que celle de la hauteur maximale pour une colonne d'eau trouvée par Torricelli.

-  La hauteur du point B ne peut être quelconque.

-  Pour amorcer un siphon, il faut suivre ces étapes générales :

-  Remplir le siphon de liquide, soit avant la mise en place, soit par un amorçage qui consiste à créer une dépression (par aspiration) pour permettre au liquide du réservoir de s'engager dans le tuyau.

-  Placer l'extrémité d'entrée du siphon dans le récipient supérieur contenant le liquide.

-  Amorcer le siphon en aspirant doucement sur l'extrémité d'entrée pour créer une dépression et faire entrer le liquide dans le siphon.

-  Une fois que le liquide commence à couler, il est important de maintenir la pression pour éviter que de l'air n'intervienne et ne désamorce le siphon.

-  Il est également essentiel de vérifier que l'extrémité de sortie du siphon est à un niveau inférieur au niveau du réservoir pour que le mouvement se poursuive.

    Vase de Tantale :

Vase de Tantale

vase de Tantale

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