ECE. N° 14

Modélisation de l’écoulement d’un fluide

Cours.

Exercices

Exercice 2024

Chap N° 14  Modélisation de l'écoulement d'un fluide. Cours

Partie I : Première phase de vidange : h > H

Schéma de la situation :

1.  Valeur v_A de la vitesse en A.

-  Exploitation du graphique :

-  On relève la hauteur h d’eau dans le vase cylindrique à chaque instant t jusqu’à la vidange :

-  La courbe obtenue : h = f (t)

-  Les points sont sensiblement alignés.

-  La courbe obtenue est du type : h = a . t + b

-  La grandeur h est une fonction affine décroissante du temps t.

-  On peut obtenir l’équation de cette droite en réalisant une étude statistique avec le tableur Excel ou en traçant la droite moyenne.

-  Traduction :

-  h ≈ – 0,079 t + 60

-  Le coefficient de détermination :

-  R² = 0,9985 ≈ 1

-  Le modèle choisi est en accord avec les mesures de l’expérience réalisée.

-  Que représente le coefficient directeur de la droite moyenne tracée ?

-   a = – 0,079 cm . s^–1

-  Détermination graphique :

-   

-  Le coefficient directeur de la droite tracée représente, en valeur absolue, la valeur v_A de la vitesse d’écoulement de l’eau au point A.

-  Cette valeur est constante au cours du temps .

-  On pose : a = – v_A

-  On obtient :

-  h ≈ – v_A . t + 60

-  v_A ≈ 0,078 cm . s^–1

-  v_A ≈ 7,8 × 10^–4 m . s^–1

-  L’ordonnée à l’origine :

-  b ≈ 60 cm, c’est la hauteur h₀ de l’eau à l’instant initial, au temps t = 0 s.

2.  Vitesse de déplacement du fluide :

a.  Valeur v_A de la vitesse en A et le débit volumique D_V.

►  Débit volumique D_V :

-  Le débit volumique D_V est égal au produit de la surface S de la section de tube  traversée par le fluide, par la valeur v de la vitesse du fluide au niveau de cette section.

-  Dans le cas présent :

-  La valeur v_A de la vitesse au point A est constante

-  De même la valeur du diamètre D de la section du tuyau est constante.

-   

-  Or :

-  On considère l’eau comme un liquide incompressible et elle s’écoule en régime

   permanent indépendant du temps :

-  En conséquence le débit volumique se conserve D_V.

-  D_V = D_VA = D_VC 

-  Valeur du débit volumique :

-   

b.  Valeur v_C de de la vitesse de sortie de l’eau en C.

-  D_V = D_VA = D_VC 

-  Avec :

-   

-  Comme le tube d’écoulement est plus petit, la vitesse d’écoulement du fluide au point C est plus grande que celle au point A.

c.   Protocole expérimental :

-  Montage :

-  On choisit une durée d’écoulement de l’eau :

-  Dans le cas présent, la valeur choisie Δt = 40 s.

-  Remarque :

-  On peut choisir la durée Δt et mesurer le volume V ou on peut choisir le volume V et mesurer la durée Δt.

-  À l’aide de l’éprouvette graduée, on mesure le volume V correspondant à cette durée.

-  Ainsi, on en déduit la valeur D_V du débit volumique :

-  En régime permanent, le débit volumique D_V d’un fluide correspond au volume V de fluide qui traverse une section droite S pendant une durée Δt.

-  Relation :

-  Le débit volumique D_V est une caractéristique de l’écoulement d’un fluide.

3.  Loi de Torricelli :

a.  Valeur v_{C Torr} de la vitesse prévue par la loi de Torricelli en C.

-  Expression de la loi de Torricelli :

-   

-  Application numérique :

-   

b.  La valeur trouvée à la question 2. b. et celle obtenue par cette loi :

-  La valeur trouvée à la question 2. b. est en accord avec celle obtenue par la loi de Torricelli.

Partie II Deuxième phase de vidange :  h < H

-  Évolution du débit volumique en C lorsque h < H

-  Exploitation du graphique :

-  On relève la hauteur h d’eau dans le vase cylindrique à chaque instant t jusqu’à la vidange :

-  La courbe obtenue : h = f (t)

-  Les points ne sont pas alignés.

-  La courbe obtenue n’est pas du type : h = a . t + b

-  La hauteur h est une fonction décroissante du temps

-  La hauteur de fluide décroit de moins en moins vite au cours du temps.

-  Pour des intervalles de temps égaux, la variation de hauteur de liquide écoulé Δh est de plus en plus faible.

-  En conséquence, la vitesse d’écoulement du fluide au point C diminue au cours du temps.

-  Il découle de ceci que le débit volumique de l’eau diminue au cours du temps.

-  Le débit volumique n’est plus constant lorsque h < H.

-  On peut faire une étude statistique avec le tableur Excel :

-  Le modèle choisi : « Polynomiale » : Degré 2

-  Traduction du résultat :

-  h ≈ a . t² + b . x + c

-  h ≈ 7,76 × 10-5 t² – 0,156 t + 78,5 pour 0 < h < 20 cm

-  Le coefficient de détermination :

-  Le coefficient de détermination :

-  R² = 0,9996 ≈ 1

-  Le modèle choisi est en accord avec les mesures de l’expérience réalisée  avec l’intervalle d’étude.

-  Pour affiner l’étude , il faut :

-  Plus de mesures et un intervalle de temps Δt plus court entre deux mesures.

-  Dans le cas présent, l’intervalle de temps Δt = 40 s

-  La durée de l’expérience est de 400 s

-  Il faut faire en sorte que Δt << 400 s.

-  On peut choisir Δt = 5,0 s ou même Δt = 2,0 s.

-  Si la mesure de la hauteur h est trop difficile, on peut mesurer la masse m d’eau qui s’écoule pendant la durée Δt.

-  Graphique complet :

- Tableau de valeurs :