DS N° 14

Modélisation de l’écoulement d’un fluide

Cours.

Exercices

Exercice 2024

Partie I : La stabilité est de rigueur

1.  Valeur de la poussée d’Archimède exercée par l’eau sur le plongeur équipé.

-  La poussée d’Archimède  exercée par un fluide de masse volumique ρ_fluide est égale à l’opposé du poids du fluide déplacé.

-  Pour un corps ayant un volume immergé V_im, l’expression vectorielle est donnée par la relation suivante :

-  Dans le cas présent :

-   

-  Volume du plongeur équipé : V = 0,088 m³

-  F_P = ρ_{eau salée} . V . g 

-  F_P = 1,03 × 10³ × 0,088 × 9,81

-  F_P ≈ 8,89 × 10² N

-  F_P ≈ 8,9 × 10² N

2.  Plongeur équipé à la profondeur de 20 m et gilet stabilisateur :

-  Le plongeur est soumis :

-  À la poussée d’Archimède :

- 

-  F_P ≈ 8,9 × 10² N

-  À son poids :

-   

-  P = m . g

-  P = 92 × 9,81

-  P ≈ 9,02 × 10² N

-  P ≈ 9,0 × 10² N

-  En conséquence :

-   

-  Les deux forces sont verticale et ont des sens opposés.

-  Comme : P > F_P

-  La résultante  est une force verticale orientée vers le bas.

-  Le plongeur n’est pas en équilibre sous l’action des deux forces  :

-  Il se déplace vers le bas.

-  Schéma de la situation :

-   

-   De plus : P > F_P

-  Le plongeur descend verticalement.

3.  Comparaison des masses volumiques du plongeur équipé et de l’eau salée.

-  Masse volumique de l’eau salée :

-  ρ_{eau salée} = 1,03 × 10³ kg . m^–3.

-  Masse volumique du plongeur équipé :

-   

-  Justification de cette affirmation :

-  Pour répondre à la question 2., il suffit de comparer les masses volumiques du plongeur équipé et de l’eau salée :

-  ρ > ρ_{eau salée}

-  le plongeur descend.

-  Or

-  P = m . g

-  P = ρ . V . g

-  D’autre part :

-  F_P = ρ_{eau salée} . V . g 

-  On tire :

-  P – F_P = ρ . V . g – ρ_{eau salée} . V . g

-  P – F_P = V . g . (ρ – ρ_{eau salée})

-  Si ρ > ρ_{eau salée} , alors P > F_P et le plongeur descend.

-  Si ρ < ρ_{eau salée} , alors P < F_P et le plongeur monte.

-  Si ρ = ρ_{eau salée} , alors P = F_P et le plongeur est en équilibre

4.  Volume d’air nécessaire pour la stabilisation :

-  Pour que le plongeur soit en équilibre, il faut que :

-   

-  Il faut donc que :

-  P = ρ . V_im . g = F_P = ρ_{eau salée} . V_im . g 

-  Il faut faire varier le volume immergé du plongeur pour que :

-  Le volume immergé V_im du plongeur doit augmenter pour faire diminuer sa masse volumique globale.

-  Ainsi

-  ρ_plongeur = ρ_{eau salée}

-  Or, la masse du plongeur ne varie pas :

-   

-  Variation de volume :

-   

-  Le plongeur doit « injecter 1,3 L d’air » dans son gilet de stabilisation (il faut tenir compte de la pression à 20 m sous l’eau).

-  Le volume du gilet de stabilisation doit augmenter de 1,3 L.

Partie II : Les courants sous-marins et les ordinateurs de plongée.

1.  Valeur v₂ de la vitesse de l’eau dans le passage de diamètre d₂ 

-  Cylindre 1 : d₁ = 6,0 m et v₁ = 0,30 m . s^–1

-  Cylindre 2 : d₂ = 3,0 m

-  Schéma de la situation :

-  L’eau est considérée comme un fluide incompressible qui s’écoule en régime permanent indépendant du temps.

►  Débit volumique D_V :

-  Le débit volumique D_V est égal au produit de la surface S de la section de tube traversée par le fluide, par la valeur v de la vitesse du fluide au niveau de cette section.

-  Dans le cas présent :

-  D_V = S₁ . v₁ = S₂ . v₂

-   

-  Application numérique :

-   

2.  Différence de pression ΔP = P₂ – P₁ entre les deux passages cylindriques de la cavité

-  Les points 1 et 2 appartiennent à la même ligne de courant :

-  On considère que la relation de Bernoulli peut s’appliquer le long d’une ligne de courant d’un fluide incompressible en écoulement permanent indépendant du temps.

-  Relation de Bernoulli :

-   

-  Le long de la ligne de courant, les points 1 et 2 sont à la même altitude :

-  z = z₁ = z₂.

-  En utilisant le fait que : z₁ = z₂ => ρ_{eau salée} . g . z₁ = ρ_{eau salée} . g .  z₂

-   

-   

-  Application numérique :

-   

-  La pression est plus faible au point 2 qu’au point 1.

3.  Différence de profondeur, entre les deux passages cylindriques de la cavité, indiquée par l’ordinateur:

-  La pression dans l’eau augmente de 1 bar lorsque la profondeur augmente de 10 m.

-  1 bar = 1,0 × 10⁵ Pa

-  La différence de pression est de 7,0 ×10² Pa

-  Loi fondamentale de la statique des fluides :

-  Relation :

-  Schéma :

-  Tableau :

-  La diminution de la pression de |ΔP| = 7,0 ×10² Pa, liée à la présence d’un courant sous-marin,

entraîne une erreur sur la mesure de la profondeur par l’ordinateur de 7,0 cm.