I- Vecteur position, vitesse et accélération.

1)- Introduction.

-  Avant de décrire le mouvement d’un objet, il faut préciser :

-  Le système S étudié

-  Et le référentiel R d’étude.

-  l'objet dont on étudie le mouvement est appelé le mobile et l'objet de référence est appelé le référentiel.

-  Un référentiel est un solide par rapport auquel on étudie le mouvement d'un mobile.

-  Pour décrire le mouvement d'un mobile, il faut indiquer le référentiel d'étude.

-  Un point matériel représente soit un objet de petite taille (particule, petite bille), soit un objet de grande taille dont on néglige les effets de rotation sur lui-même.

-  Généralement, on appelle cet objet le mobile.

-  Le système est modélisé par un point unique (c’est le centre de masse G du système), on parle du modèle du point matériel de masse m.

-  Lorsqu’on étudie le système S de masse m et de centre de masse G, on utilise la notation :

-  S = {m, G}

-  Pour simplifier les écritures, l’étude est limitée aux mouvements à deux dimensions, mais peut être généralisée aux espaces à trois dimensions.

2)- Vecteur position.

-  On travaille dans le repère orthonormé  lié au référentiel choisi.

-  L’association du repère avec le référentiel d’étude est notée :

-  Le point M (x, y) est repéré grâce à ses coordonnées :

-  ,

-  Les vecteurs sont des vecteurs unitaires constants, .

-   

-  x (t) et y (t) , ou plus simplement x et y, sont les coordonnées du point M à l’instant t.

-  Unités : les coordonnées, x et y s’expriment en mètres (m).

-  Les expressions x (t) et y (t) sont appelées les équations horaires du mouvement.

-   

-  Pour simplifier et alléger les notations, on peut écrire :

-  Tout en sachant que x et y sont des fonctions du temps t.

-  Valeur du vecteur position :

-  Repère :

3)- Vecteur vitesse.

a)-  Le vecteur vitesse moyenne.

-  Expression du vecteur vitesse moyenne :

-   

-  Que l’on peut aussi écrire en utilisant le vecteur position :

-   

-  Il représente les variations du vecteur position pendant l’intervalle de temps Δt.

b)-  Le vecteur vitesse d’un point.

-  Le vecteur vitesse d’un point en position M_i est la limite de :

-  lorsque Δt tend vers zéro.

-  On écrit :

-   

-  C’est la dérivée par rapport au temps du vecteur position :

-   

►  Définition :

Dans un référentiel R donné, le vecteur vitesse , d’un point M à l’instant t, est égal à la dérivée, par rapport au temps, du vecteur position  à cet instant

►  Coordonnées du vecteur vitesse :

-  Pour connaître les coordonnées du vecteur vitesse, on dérive le vecteur position par rapport au temps :

►  Caractéristiques du vecteur vitesse.

-  Origine : position occupée par le point mobile à l'instant considéré t.

-  Direction : tangente à la trajectoire au point considéré.

-  Sens : celui du mouvement à cet instant.

-  Valeur : celle de la vitesse instantanée à cet instant.

►  Représentation du vecteur vitesse.

-  On représente le vecteur vitesse par un segment fléché :

-  Pour tracer ce vecteur vitesse :

4)- Vecteur accélération.

a)-  Le vecteur variation de vitesse.

-  Lors d’un mouvement, le vecteur vitesse  d’un système peut varier en direction, en sens ou en valeur.

-  Le vecteur variation de vitesse  n’est alors pas égal au vecteur nul.

-   Le vecteur variation de vitesse  d’un système en mouvement entre deux positions M_i et M_j est défini par :

-   

►  Tracé du vecteur variation de vitesse

Échelle : Échelle pour la vitesse : 1 cm ↔ 0,1 m . s^–1

-  Enregistrement : intervalle de temps entre deux mesures : Δt = τ = 40 ms

-  Schéma :

-  L’origine du vecteur est le point B.

-  Longueur du représentant de  :

-  ℓ_Δv ≈ 1,4 cm

-  Valeur du vecteur variation de vitesse  :

-  (Δv)_A→B ≈ 0,14 m . s^–1

-  Par analogie avec le vecteur vitesse, on peut déterminer le vecteur accélération à un instant t_i+1 :

-  avec A qui représente i et B qui représente i + 1

-   

-  Valeur de l’accélération :

-   

-  Longueur du représentant ℓ_a :

-  Une échelle de représentation est indispensable.

-  Elle associe la longueur du segment fléché à la valeur de l’accélération.

-  Échelle : 1 cm ↔ 1 m . s^–2.

-  Longueur du représentant : ℓ_aB ≈ 3,5 cm

-  Caractéristiques du vecteur accélération :

-  Origine :  le point B (point d’indice (i + 1))

-  Direction et sens :

-  Valeur :

-  Longueur avec l’échelle choisie : ℓ_aB ≈ 3,5 cm

-  Représentation :

-  Le vecteur accélération traduit les variations du vecteur vitesse.

b)-  Définition.

-  Comme pour le vecteur vitesse :

-   

-  Dans un référentiel R donné, le vecteur accélération d’un point M à l’instant t, est égal à la dérivée , par rapport au temps, du vecteur vitesse  à cet instant :

c)-  Coordonnées du vecteur accélération.

-  Pour connaître les coordonnées du vecteur accélération, on dérive le vecteur vitesse par rapport au temps :

-  Remarque :

d)-  Caractéristiques du vecteur accélération.

-  Expression approchée du vecteur accélération :

-   

-  Considérons le vecteur accélération :

-   

-  Origine :  le point M₄

-  Direction et sens : le vecteur accélération est colinéaire et de même sens que le vecteur variation de vitesse

-  Valeur :

-  Longueur avec l’échelle choisie : ℓ_a4 ≈ 3,5 cm

Cinématique et dynamique newtonienne

e)-  Application :

-  Récapitulatif :

-  On donne les équations paramétriques horaires du mouvement d’un point M dans le repère : 

-   

-  Donner l’expression des coordonnées du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point mobile M dans le repère R.

-  Remarque :

-  La valeur de l’accélération est reliée aux coordonnées du vecteur accélération a_x et a_y par la relation de Pythagore :

-   

-  Les coordonnées et la valeur du vecteur accélération dépendent du temps et dépendent comme le vecteur vitesse du référentiel d’étude.

II- Exemples de mouvements.

1)- Mouvements rectilignes.

a)-  Définition.

-  Un point mobile M est animé d’un mouvement rectiligne si sa trajectoire est une portion de droite.

b)-  Caractéristiques graphiques du mouvement rectiligne uniforme.

c)-  Les mouvements rectilignes uniformément variés.

-  Dans un référentiel donné, un système est animé d’un mouvement rectiligne uniformément varié si son vecteur accélération a toujours la même direction, le même sens et la même valeur.

-  Le vecteur accélération est un vecteur constant au cours du temps :

-  La trajectoire est une portion de droite

-  La valeur de l’accélération est constante au cours du temps.

-  Le vecteur position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération ont même direction.

-  La valeur de la vitesse est une fonction affine du temps : v_x = a _x0 . t + v_0x

►  Caractéristiques graphiques du mouvement rectiligne uniformément varié.

Chronophotographie du mouvement
Représentation graphique de la coordonnée x de la position en fonction du temps
Représentation graphique de la coordonnée vx de la vitesse en fonction du temps
Représentation graphique de l’accélération ax en fonction du temps

-  Les équations horaires :

2)- Mouvements circulaires.

a)-  Définition.

-  Un point mobile M est animé d’un mouvement circulaire si sa trajectoire est une portion de cercle.

b)-  Repère de Frenet.

-  Ce repère est bien utile pour l’étude des mouvements circulaires (uniformes)

-  Considérons un point mobile M animé d’un mouvement circulaire uniforme.

-  La trajectoire est un cercle de centre O et de rayon R  et la valeur de la vitesse ne change pas au cours du temps.

-  Pour simplifier l’étude d’un tel mouvement et en déduire les caractéristiques, il faut utiliser le repère de Frenet :

-   

-  : désigne un vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

-  : désigne un vecteur unitaire perpendiculaire à et orienté vers le centre O du cercle.

-  Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au point considéré .

-  Le vecteur vitesse change de direction à chaque instant.

-  Pour obtenir les coordonnées du vecteur accélération, il faut dériver cette expression par rapport au temps.

-  (1) ceci se dérive comme un produit.

-  Le vecteur accélération peut se décomposer de la façon suivante :

-   

-  En conséquence, le vecteur accélération peut être décomposé en une :

-  Accélération tangentielle  qui dépend de la variation de la valeur de la vitesse :

-  avec

-  Accélération normale  qui est liée à la variation de la direction du vecteur vitesse.

-  avec

-  Autre expression du vecteur accélération :

-   

►  Remarque :

-  À ce niveau, on peut donner une petite explication :

-  Le vecteur est un vecteur unitaire :

-  Étude de la dérivée par rapport au temps de  :

-   

3)- Cas du mouvement circulaire uniforme.

a)-  Définition.

-  Dans un référentiel donné, un système est animé d’un mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire est une portion de cercle de rayon R et si la valeur de sa vitesse v est constante.

b)-  Conséquences :

-  Le vecteur accélération est alors centripète et sa valeur a est constante.

-   

-  Le mobile parcourt des arcs égaux pendant des durées égales.

-  Exemple :

Enregistrement :

Vidéo

-  Le vecteur vitesse est à chaque instant perpendiculaire au vecteur accélération.

-  Le vecteur vitesse et le vecteur accélération changent de direction à chaque instant.

►  Récapitulatif :

4)- Les mouvements circulaires non uniformes.

a)-  Exemple : Mouvement d’un pendule simple.

-  Un pendule simple est constitué d’un objet sphérique de masse m suspendu à un fil inextensible de longueur ℓ.

-  Remarque : la masse du fil est négligeable devant celle de l’objet.

-  La longueur ℓ est grande devant celle de l’objet.

-  Dans le cas contraire, on dit que le pendule est pesant.

-  On écarte le solide de sa position d’équilibre d’un angle θ₀ < 10°.

-  On laisse le pendule osciller librement et on fait une représentation à un temps t quelconque.

- Vidéo :   Vidéo (Forces ) et   Vidéo (Accélération et vitesse)

b)-  Définition :

-  Dans un référentiel donné, un système est animé d’un mouvement circulaire non uniforme,

-  Si sa trajectoire est une portion de cercle de rayon R

-  Et si la valeur de l’accélération n’est pas constante.

-  À chaque instant, le vecteur accélération  se décompose en deux vecteurs :

-   

Vecteur accélération		Le vecteur accélération  tangentielle	Le vecteur  accélération normale
	Direction	Tangent à la trajectoire au point considéré	Centripète
	Sens	Orienté dans le sens du mouvement	Orienté vers le centre du cercle
	Valeur	C’est la dérivée par rapport au temps de la valeur de la vitesse v

►  Récapitulatif :

►  Remarque :

-  Si l’accélération tangentielle est nulle, alors , donc la vitesse v = constante et le mouvement est circulaire uniforme.

III- Deuxième loi de Newton.

1)- Référentiel Galiléen.

►  Définition :

-  Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe de l’inertie est vérifié.

Les référentiels

►  Le référentiel terrestre ou référentiel du laboratoire.

-  On utilise, le plus souvent, comme repère lié au référentiel terrestre, deux axes horizontaux et un axe vertical.

-  Ce référentiel est bien commode pour l’étude du mouvement des objets dans une salle de classe, pour tous les mouvements qui s’effectuent au voisinage de la terre.

-  Si l’expérience est suffisamment courte, on peut considérer que ce référentiel est galiléen avec une bonne approximation (précision de l’ordre de 10^–2 à 10^–3).

►  Le référentiel géocentrique.

-  L’origine du repère lié au référentiel Géocentrique est située au centre de la Terre.

-  L’axe z’Oz est orienté vers une étoile lointaine : on peut choisir l’étoile polaire.

-  Les axes x’Ox et y’Oy sont situés dans le plan équatorial et ils sont orientés vers des étoiles lointaines supposées fixes.

-  Ce référentiel est commode pour l’étude des satellites de la Terre.

-  Ce référentiel n’est pas entraîné dans le mouvement de rotation de la Terre.

-  Dans ce référentiel, la Terre est animée d’un mouvement de rotation uniforme de l’ouest vers l’est, autour de l’axe des pôles.

 -  On peut considérer que ce référentiel est galiléen avec une bonne approximation ( précision de l’ordre de 10^–3 à 10^–4)

►  Le référentiel héliocentrique ou de Copernic.

-  L’origine du repère lié au référentiel Héliocentrique est située au centre du Soleil.

-  Les axes z’Oz, x’Ox et y’Oy sont orthogonaux et ils sont orientés vers des étoiles lointaines supposées fixes.

-  Ce référentiel est commode pour l’étude des satellites du Soleil.

-  Dans ce référentiel, la Terre décrit une orbite elliptique autour du Soleil en une année.

-  On peut considérer que ce référentiel est galiléen avec une très bonne approximation (précision de l’ordre de 10^–10)

2)- Centre de masse G d’un système.

-  Le centre de masse G d’un système est l’unique point de ce système où peut toujours s’appliquer le principe d’inertie.

-  On ramène l’étude du mouvement d’un système à celle de son centre de masse G.

-  On considère que toute la masse m  du système est concentrée en G.

- L'étude du mouvement du système est plus simple.

►  Exemple : mouvement d’un palet autoporteur sur une table horizontale :

Vidéo

-  Un mobile autoporteur est lancé sur une table horizontale.

-  Il est muni de deux dispositifs de marquage :

-  Le premier sur son centre de masse G

-  Le second coïncidant avec le point A à la périphérie du mobile.

-  On enregistre les positions successives des points G et A à intervalles de temps τ = 20 ms.

-  On obtient l’enregistrement suivant.

 Vidéo

-  Autre Vidéo :

Triangle

3)- Énoncé de la deuxième loi de Newton.

a)-  Relation  approchée (classe de première) :

-  Ces deux vecteurs sont colinéaires.

-  La somme vectorielle des forces qui s’exercent sur un système  est également appelée résultante des forces notée :

-   

-  Plus la masse d’un système est grande et plus il est difficile de modifier le mouvement de ce système.

-  Si Δt → 0, et la relation devient :

-   

b)-  Énoncé.

-  Schéma :

-  La deuxième loi de Newton permet de déterminer le vecteur accélération  du centre de masse à partir des forces appliquées au système ou inversement.

c)-  Cas d’un système immobile.

-  Cas particulier du système immobile :

-  Il découle de ceci que :

-  Ceci traduit le Principe d’inertie (première loi de Newton).

-  Le principe d’inertie apparaît comme un cas particulier de la deuxième loi de Newton.

IV- Applications.

1)- Chronophotographie du mouvement d’une balle.

Vidéo 1

Vidéo 2

 Chute d'une balle avec vitesse initiale

TP Physique  N ° 12 : Mouvement de projectiles

2)- QCM

3)- Exercices