Déterminer les coordonnées d’un vecteur accélération :

Une bille assimilée à un point B est lancée verticalement à un instant t = 0 s.

Ses positions sont repérées dans un repère lié à un  référentiel terrestre par :

avec x et y en mètre (m) et t en secondes (s).

Établir l’expression des coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse,

puis du vecteur accélération de la bille B.

Déterminer les coordonnées d’un vecteur accélération :

Une bille assimilée à un point B est lancée verticalement à un instant t = 0 s.

Le référentiel terrestre :

►  Les coordonnées cartésiennes du vecteur position de la balle B :

►  Les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse de la balle B :

-  Le vecteur vitesse d’un point mobile M :

-  Dans un référentiel R donné, le vecteur vitesse, d’un point M à l’instant t,

est égal à la dérivée, par rapport au temps, du vecteur position  à cet instant :

-  Dans le cas présent :

►  Les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération de la balle B :

-  Dans un référentiel R donné, le vecteur accélération d’un point M à l’instant t,

est égal à la dérivée , par rapport au temps, du vecteur vitesse  à cet instant :

-  Dans le cas présent :

-  Récapitulatif :

Étudier un mouvement circulaire :

Un point matériel M décrit un mouvement circulaire uniforme autour d’un point O.

1.  Reproduire le schéma, puis définir le repère de Frenet lié au point M.

2.  Exprimer les coordonnées du vecteur accélération du point M dans ce repère.

Étudier un mouvement circulaire :

1.  Repère de Frenet lié au point M.

-  Pour simplifier l’étude d’un tel mouvement et en déduire les caractéristiques, il faut utiliser le repère de Frenet :

-   

-  désigne un vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

-  désigne un vecteur unitaire perpendiculaire à et orienté vers le centre O du cercle.

-  Schéma :

-  Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au point considéré :

-  .

-  Le vecteur vitesse change de direction à chaque instant.

-  Coordonnées du vecteur vitesse dans le repère de Frenet :

-   

2.  Coordonnées du vecteur accélération  du point M dans le repère de Frenet.

-  Pour obtenir les coordonnées du vecteur accélération, il faut dériver l’expression  par rapport au temps.

-  Le vecteur accélération peut se décomposer de la façon suivante :

-   

-  En conséquence, le vecteur accélération peut être décomposé en une :

-  Accélération tangentielle  qui dépend de la variation de la valeur de la vitesse :

-  avec

-  Accélération normale  qui est liée à la variation de la direction du vecteur vitesse.

-  avec

-  Autre expression du vecteur accélération :

-   

-   

-  Dans ce cas ,

-  Le vecteur accélération est alors centripète et sa valeur a est constante.

-   

-  Le mobile parcourt des arcs égaux pendant des durées égales.

-   

-   

- à chaque instant : ( et )

Exploiter les caractéristiques du vecteur accélération.

 Des mouvements d’un point matériel dans un référentiel terrestre sont étudiés ci-dessous.

-  Relier chacun des pointages suivants aux caractéristiques du vecteur accélération  qui lui correspondent.

Tracer la trajectoire du centre de masse  d’un système :

Un mobile autoporteur est lancé sur  une table horizontale dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen.

On néglige les force de frottement.

-  Représenter la trajectoire du centre de masse G de ce mobile.

Appliquer la deuxième loi de Newton :

Une voiture de masse m = 900 kg se déplace moteur arrêté sur une route horizontale.

Elle ralentit sous l’effet des forces de frottement exercées par l’air et par la route sur les pneus.

Toutes les forces qui s’appliquent sur la voiture sont représentées en son centre de masse M sans souci d’échelle.

Le poids  du véhicule et la réaction  de la route sur les pneus se compensent.

La valeur de la force de frottement f = 300 N.

Appliquer la deuxième loi de Newton :

-  Étude préliminaire :

-  Système : S = (m, M)

-  Référentiel d’étude : La route

-  Référentiel terrestre supposé galiléen :

-  Bilan des forces :

-  les forces de frottement :

-  avec f = 300 N (force horizontale de sens opposé au mouvement)

-  le poids  de la voiture, force verticale orientée du haut vers le bas.

-  la réaction du support , force verticale orientée du bas vers le haut

-  avec

1.  Énoncé de la deuxième loi de Newton.

-  Énoncé :

-  Dans le cas présent :

-   

2.  Les caractéristiques du vecteur accélération de M.

-  Coordonnées des différents vecteurs dans le repère :

Sens du mouvement

←

-   

-  La deuxième loi de Newton appliquée à la voiture dans le repère R :

-   

-  Coordonnées du vecteur accélération :

-   

-  Le vecteur accélération :

-  A même direction et même sens que le vecteur

-  (sens opposé à celui du mouvement)

-  Et pour valeur a_M ≈ 0,333 m . s^–2

Virage d’un avion :

On s’intéresse au mouvement du centre de masse G d’un avion de 50 tonnes qui entame un virage contenu dans le plan horizontal.

Lors du virage, la trajectoire de G est une portion de cercle de rayon R = 10 000 m, et sa vitesse a une valeur constante v = 800 km . h^–1.

1.  Déterminer la valeur a_G de l’accélération du centre de masse de l’avion au cours du virage.

2.  Déterminer la valeur Σ F de la somme des forces qui s’appliquent sur l’avion dans cette situation.

Virage d’un avion :

1.  Valeur a_G de l’accélération du centre de masse de l’avion au cours du virage.

-  Lors du virage, la trajectoire de G est une portion de cercle de rayon R = 10 000 m,

et sa vitesse a une valeur constante v = 800 km . h^–1

-  L’avion est animé d’un mouvement circulaire uniforme :

-  Repère de Frenet :

-   

-  : désigne un vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

-  : désigne un vecteur unitaire perpendiculaire à et orienté vers  le centre O du cercle.

-  Avion (vue de dessus) :

-   

-  En conséquence, le vecteur accélération peut être décomposé en une :

-  Accélération tangentielle  qui dépend de la variation de la valeur de la vitesse :

-  avec

-  Accélération normale  qui est liée à la variation de la direction du vecteur vitesse.

-  avec

-  Autre expression du vecteur accélération :

-   

-  Dans un référentiel donné, un système est animé d’un mouvement circulaire uniforme

si sa trajectoire est une portion de cercle de rayon R et

si la valeur de sa vitesse v est constante.

-  Comme , la composante tangentielle de l’accélération est nulle.

-  Dans le cas présent :

-   

2.  Valeur Σ F de la somme des forces qui s’appliquent sur l’avion dans cette situation.

-  Lorsqu’une aile d’avion est en mouvement avec une vitesse  relative à l’air, celui-ci exerce sur l’aile une force .

-  On appelle portance  , la composante verticale de  et trainée  la composante horizontale.

-  Système : {Avion} = (m, G)

-  Référentiel terrestre supposé galiléen :

►  Deuxième loi de Newton.

-  Énoncé :

-  Dans le cas présent :

-   

-  Le vecteur  a même direction et même sens que le vecteur .

-  Sa valeur Σ F :

-   

-  Lors du mouvement circulaire uniforme :

-   

-  Le vecteur  a même direction et même sens que le vecteur .

-  Σ F = T ≈ 2,47 × 10⁵ N

Saut au-dessus du canal de Corinthe :

En avril 2010, le pilote de moto Robbie MADDISON a pris son élan pour franchir le canal de Corinthe.

Le mouvement du centre de masse G du système {R. MADDISON et sa moto} est étudié dans un référentiel terrestre supposé galiléen.

À l’instant t = 0 s, il se trouve à l’origine du repère et quitte le tremplin.

Son vecteur vitesse  fait un angle α = 33 ° avec l’horizontale et a pour valeur 125 km . h^–1.

1.  Exploitation de la chronophotographie :

a.  Utiliser la chronophotographie ci-dessous pour montrer que le mouvement suivant l’axe (Ox) est uniforme.

b.  Montrer que si le poids est la seule force qui s’applique sur le système, le vecteur accélération est vertical.

c.  Vérifier que les réponses aux deux questions précédentes sont cohérentes entre elles.

Un saut de 95 mètres () de haut et de 85 mètres de long

Canal de Corinthe : largeur 25 m, longueur 6,343 km

Hauteur : 79 m

2.  Exploitation de la courbe v_y = f (t) :

a.  En utilisant l’allure de la courbe ci-dessous, justifier que le mouvement suivant l’axe vertical est uniformément varié.

b.  Quelle position particulière de la trajectoire est occupée par G à la date pour laquelle v_y = 0 ?

Quelle est alors la valeur de la vitesse ?

-  Donnée : intensité de la pesanteur : g = 9,82 N . kg^–1 ou m . s^–2

Saut au-dessus du canal de Corinthe :

-  Travail préparatoire :

-  Conditions initiales :

-  Système d’étude : {R. MADDISON et sa moto} :  S = (m, G)

-  Référentiel d’étude (terrestre supposé galiléen) :

-  t = 0 s :

-  Vitesse initiale :

-   

-   

-  Avec :

1.  Exploitation de la chronophotographie :

a.  Caractéristique du mouvement suivant l’axe (Ox).

-  Projection du mouvement du centre de masse G sur l’axe (Ox).

-  Dans la partie centrale :

-  Le point mobile G parcourt des distances sensiblement égales pendant des durées égales.

-  Elles ne sont pas exactement égales car la vitesse de départ est élevée et les forces frottement dues à l’air ne sont pas totalement négligeables.

-  Le mouvement de G sur l’axe (Ox) est quasi uniforme.

b.  Caractéristiques du vecteur accélération.

-  On considère que le poids est la seule force qui s’applique sur le système S = (m, G)

►   Deuxième loi de Newton.

-  Énoncé :

-  Dans le cas présent :

-   

-  Le vecteur accélération a :

-  même direction,

-  même sens et

-  même valeur que le vecteur  accélération de la pesanteur.

-  Le vecteur accélération est vertical et orienté vers le bas..

►  Coordonnées du vecteur accélération :

-   

c.  Vérification des réponses aux deux questions précédentes.

-  La coordonnée v_x est une primitive de a_x : avec a_x = 0

-  La primitive est connue à une constante près.

-  Cette constante que l'on note v_ox est liée aux conditions initiales.

-  Elle représente la composante de la vitesse du mobile suivant l'axe x'Ox au temps t = 0.

-  En conséquence, les constantes qui apparaissent sont liées aux conditions initiales et parfaitement connues à partir des conditions initiales

-  Comme a_x = 0, alors v_x = cte = v_0x = 29,1 m . s^–1

-  Comme, v_0x = 29,1 m . s^–1 = cte, le mouvement est rectiligne uniforme suivant l’axe (Ox).

-  De même : a_y = – g = – 9,82 m . s^–2 , alors v_y = – g . t +  v_0y

-  v_y = – g . t +  v_0y

-  v_y = – 9,82 × t +  18,9 (m . s^–1)

-  La valeur de la vitesse v_y dépend du temps t.

-   

2.  Exploitation de la courbe v_y = f (t) :

a.  Caractéristiques du mouvement suivant l’axe vertical.

-  Courbe :

-  Le système S est animé d’un mouvement rectiligne uniformément varié car son vecteur accélération a toujours la même direction, le même sens et la même valeur.

-  Le vecteur accélération est un vecteur constant au cours du temps :

-  La valeur de la vitesse v_y est une fonction affine du temps : v_y = a_Oy . t + v_0y

-  Le mouvement de G possède 2 phases :

-  Première phase :  

-  La valeur de la vitesse v_y diminue, et s’annule lorsque G atteint sa hauteur maximale

-  Le mouvement de G sur l’axe (Oy) est rectiligne uniformément retardé.

-  Deuxième phase :

-  La valeur de la vitesse v_y augmente

-  Le mouvement de G sur l’axe (Oy) est rectiligne uniformément accéléré.

b.  Position particulière de la trajectoire est occupée par G à la date pour laquelle v_y = 0 

-  À la date pour laquelle v_y = 0, le point G occupe le sommet de la trajectoire.

-  Date à laquelle v_y = 0 :

-   

-  Au temps t ≈ 1,92 s, le vecteur vitesse à les coordonnées suivantes :

-   

-  La composante verticale est nulle, v_y = 0

-  La composante horizontale : v_x ≈ 29,1 m. s^–1

-  Valeur de la vitesse :

-   

►  Coordonnées du vecteur position .

-   

-  La coordonnée x est une primitive de v_x :

-  Comme v_x = 29,1 m . s^–1, alors x = (29,1) × t + x₀

-  Avec x₀ =  0 m ,

-  x = 29,1 × t  (m)

-  De même :

-  La coordonnée y est une primitive de v_y :

-  Comme v_y = – 9,82 × t +  18,9 (m . s^–1) , alors

-  y = – 4,91 × t² + 18,9 × t + y₀

-  Avec y₀ = – 0 m,

-  y = – 4,91 × t² + 18,9 × t

-   

►  Récapitulatif :

-  Les différentes courbes :

-  Équation de la trajectoire :

-  y = f (x) :

-   

-  On élimine le temps t pour exprimer y en fonction de x.

-   

►  Portée horizontale :

-  Portée horizontale : il faut déterminer la valeur de la longueur OC,

-  En conséquence il faut trouver l'abscisse x_C du point C tel que :

-   

-  Il faut résoudre l’équation :

-  On rejette la solution x_C = 0

-   

►  Flèche : c’est l’altitude maximale atteinte.

-   

-   

-  Valeur de y_M :

- 

Vidéo du Saut

-  Le  canal de Corinthe est situé en Grèce. Il a été creusé pour relier la mer Égée et la  mer Ionienne.

-  Les parois rocheuses sont très hautes et l'eau s'écoule à 79 m au-dessous du niveau du sol.

-  l’Australien Robbie Maddison a réalisé l’exploit de franchir le canal de Corinthe à moto en avril 2010.

-  Il a pris son élan pour accélérer sa moto et atteindre la vitesse de 125  km . h ^–1 . 

-  Il  a ensuite emprunté une rampe qui lui a permis de franchir le canal, avant d'atterrir de l’autre côté.

-  Le point le plus haut de son vol a dépassé les 95 mètres au-dessus du niveau de l’eau.

-  À l’instant de date t = 0, Maddison et sa moto se trouvent à l’origine du repère et quittent le tremplin.

-  Le vecteur vitesse  du pilote et de sa moto fait alors un angle α = 33 °avec l’axe horizontal (Ox) comme indiqué sur la chronophotographie

-  Le niveau de l'eau du canal de Corinthe est situé à 79 m au-dessous du niveau du sol.

-  Le point de sortie du tremplin se situe à 5,7 m au-dessus du niveau du sol.

-  l'Australien a atteint sa rampe d'élan qui l'a propulsé 85 mètres plus loin.

►  Caractéristiques du saut :

-  Longueur du saut : c’est la portée horizontale : ℓ = 85 m

-  Hauteur du saut : c’est la flèche :

-  H = 95 – 79 – 5,7

-  H ≈ 10 m

-  Les valeurs trouvées sans prendre en compte les forces de frottement :

-  La portée horizontale : x_C ≈ 112 m et la flèche : y_M ≈ 18,2 m

-  Les différences montrent qu’il est nécessaire de prendre en compte les forces de frottement.

-  Je pense que le pilote a tenu compte des forces de frottement.

Le mouvement de Vénus :

Vénus, deuxième des huit planètes du système solaire en partant du Soleil,

est la sixième par masse ou par taille décroissante.

La distance Vénus-Soleil est voisine de 0,72 ua.

Sa trajectoire autour du Soleil est quasi circulaire.

Le site de l’institut de mécanique céleste et le calcul des éphémérides permet d’obtenir,

pour une durée au choix, la trajectoire de Vénus dans un référentiel donné.

Ci-dessous sont représentées les positions de Vénus tous les 15 jours entre

le 1^ier septembre 2019 (V₁) et le 29 mars 2020 (V₁₅).

1.  Référentiel d’étude :

a.  Dans quel référentiel le mouvement de Vénus est-il étudié ?

b.  Utiliser le schéma fourni pour vérifier la cohérence entre les informations extraites du pointage et celles du texte.

2.  On suppose que la vitesse de Vénus autour du Soleil a une valeur constante v = 34 km . s^–1.

a.  Construire en V₂ et V₃ les vecteurs vitesses  et  en précisant l’échelle utilisée.

b.  Construire en V₃ le vecteur accélération  en précisant l’échelle utilisée.

c.  Indiquer les caractéristiques (direction, sens et valeur) de ce vecteur.

3.  Force gravitationnelle :

a.  Exprimer la force gravitationnelle  exercée par le Soleil sur Vénus.

b.  Par application de la deuxième loi de Newton, exprimer le vecteur accélération  et calculer sa valeur.

c.  Vérifier le caractère galiléen du référentiel.

-  Données :

-  1 ua = 1,5 × 10¹¹ m

-  Masse de Vénus : m_V = 4,9 × 10²⁴ kg

-  Masse du Soleil : m_S = 2,0 × 10³⁰ kg

-  Constante de gravitation universelle :

-  G = 6,67 × 10^–11 N . m² . kg^–2.