Chap. N° 11 Exercices 24 : Mouvement et deuxième loi de Newton

Chap. N° 11

Mouvement et deuxième loi de Newton

Exercices 2024
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I- Exercice : Chute de Philae.

1)- Énoncé.

Rosetta

https://rosetta.cnes.fr/fr

Le 12 novembre 2014, à la date t = 0 s, l'atterrisseur Philae s'est détaché de la sonde Rosetta pour effectuer une chute libre de 20 km, sans vitesse initiale, et se poser sur la comète 67P/ Tchourioumov - Guérassimenko.

Cette descente a duré plusieurs heures.

Philae est considéré pour chute libre, c’est-à-dire qu'il n'est soumis qu'à son poids.

L'axe Oy utilisé pour l'étude est vertical dirigé vers le haut, l'origine étant au niveau du sol de la comète.

axe Oy

Le champ de pesanteur de la comète est considéré comme uniforme, d'intensité moyenne :

g = 1,5 × 10^–5 N . kg^–1.

a)- En utilisant la deuxième loi de Newton, dans le référentiel de la comète supposé galiléen, déterminer les coordonnées du vecteur accélération de Philae.

b)- Préciser le type de mouvement effectué par Philae. Justifier.

c)- Le vecteur position de l'atterrisseur a pour coordonnée :

- y (t) = b . t² + c avec b = – 7,50 × 10^–6 m . s^–2 et c = 20000 m

- En déduire la coordonnée du vecteur vitesse , puis retrouver la coordonnée du vecteur accélération .

d)- À l’aide du vecteur position , terminer la durée de chute Δt de Philae.

e)- La durée réelle de la chute est de 7 h. Dans le modèle utilisé, quelles sont les hypothèses discutables ? Justifier.

2)- Correction.

a)- Coordonnées du vecteur accélération de Philae.

- Deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel galiléen, la somme des vecteurs forces

appliquées à un système S, de masse m et de centre de masse G,

est égal au produit de sa masse m par le vecteur accélération

de son centre de masse.

Valeur des forces F en newton (N)

Valeur de la masse m en kilogramme (kg)

Valeur de l’accélération a_G en mètre par

seconde au carré (m . s^–2)

- Référentiel d’étude : Référentiel de la comète supposé galiléen

- Repère lié au référentiel de la Comète

- Bilan des forces : Philae est considéré en chute libre,

- Il n'est soumis qu'à son poids :

- Schéma du mobile à l’instant t :

schéma du mobile

- La deuxième loi de Newton appliquée au système S, dans le référentiel galiléen permet d’écrire :

- Comme :

- deuxième loi de Newton

- En utilisant les notations de l’énoncé :

- Le vecteur accélération est vertical et orienté vers le bas

- Coordonnées du vecteur accélération :

- a_y = – g

- a_y = – 1,5 × 10^–5 N . kg^–1

- a_y = – 1,5 × 10^–5 m . s^–2

b)- Type de mouvement effectué par Philae.

- a_y = – g = c^te

- Le vecteur accélération est un vecteur constant (même direction, sens et valeur à chaque instant) :

- Le mobile est animé d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré suivant l’axe Oy.

c)- Coordonnée du vecteur vitesse ,

► Première méthode : (celle associée à l’énoncé)

- Le vecteur position de l'atterrisseur a pour coordonnée :

- y (t) = b . t² + c avec b = – 7,50 × 10^–6 m . s^–2 et c = 20000 m

- Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur position .

- coordonnée du vecteur vitesse

- Coordonnée du vecteur vitesse :

- Coordonnée du vecteur vitesse

- On dérive l’expression par rapport au temps.

- Comme b et c sont des constantes :

- v_y (t) = 2 b . tavec b = – 7,50 × 10^–6 m . s^–2

- Le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse .

- coordonnée du vecteur accélération

- Coordonnée du vecteur accélération .

- On dérive l’expression par rapport au temps.

- a_y (t) = 2 b avec b = – 7,50 × 10^–6 m . s^–2

- a_y (t) = 2 × (– 7,50 × 10^–6)

- a_y (t) ≈ – 1,50 × 10^–5 m . s^–2

- a_y (t) ≈ – g

- on retrouve bien la coordonnée a_y du vecteur accélération trouvé à la question a)-.

► Seconde méthode :

- On part du vecteur accélération de la question a)- :

- Le vecteur accélération est vertical et orienté vers le bas

- Coordonnées du vecteur accélération :

- a_y = – g

- a_y = – 1,5 × 10^–5 N . kg^–1

– a_y = – 1,5 × 10^–5 m . s^–2

► Conditions initiales :

- Au temps t = 0 :

- Au temps t = 0 s, la coordonnée du point mobile M, centre de masse de Philae est :

- Au temps t = 0, la vitesse initiale est nulle :

► À partir du vecteur accélération , on peut atteindre le vecteur vitesse :

- Le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse .

- vecteur accélération

- La détermination du vecteur vitesse nécessite de rechercher la primitive par rapport au temps de chaque coordonnée du vecteur accélération en tenant compte des conditions initiales.

- On cherche les primitives des équations précédentes.

- Il apparaît des constantes qui sont liées aux conditions initiales.

- Les constantes d’intégration apparues dans les primitives sont liées aux conditions initiales :

- c’est-à-dire les coordonnées du vecteur vitesse à l’instant initial.

D’après les

conditions initiales

- Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur position .

- vecteur vitesse

- On opère de la même façon :

vecteur position

D’après les

conditions initiales

vecteur position

- Avec : g = – 1,50 × 10^–5 m . s^–2 et y₀ = 20000 m

- y (m) = – 7,50 × 10^–6 t² + 20000

d)- Durée de chute Δt de Philae.

- Le vecteur position de l'atterrisseur a pour coordonnée :

- y (t) = b . t² + c avec b = – 7,50 × 10^–6 m . s^–2 et c = 20000 m

- Pendant la durée Δt Philae passe de la position initiale (y₀ = 20000 m) à la position O ( y = 0 )

- Δt = t – t₀

- Avec t₀ = 0

- Δt = t

- y (Δt) = b . (Δt)² + c = 0

- Il faut résoudre cette équation :

- équation

- Application numérique :

- delta (t) = 14,3 h

e)- Hypothèses discutables :

- La durée réelle de la chute est de 07h00.

- La valeur trouvée par le calcul est plus du double de la valeur réelle.

- Le modèle utilisé ne convient pas.

- Les différentes hypothèses qui ont permis le calcul :

- Philae est considéré en chute libre.

- Le champ de pesanteur de la comète est considéré comme uniforme, d'intensité moyenne :

- g = 1,5 × 10^–5 N . kg^–1

- Le référentiel de la comète est supposé galiléen.

- Justification :

- On considère que Philae est en chute libre,

- Philae n’est soumis qu’à son poids.

- On néglige toutes les autres forces.

- Mais Philae peut être en interaction avec d’autres systèmes (Soleil, ...)

- Le champ de pesanteur est considéré comme uniforme.

- Le mouvement s’effectue sur une distance de 20 km environ.

- Le champ de pesanteur varie avec l’altitude.

- Le référentiel de la comète est supposé galiléen.

- Le référentiel de la comète n’est pas galiléen.

- Comme la durée du mouvement est de 7 h, pendant cette durée la comète se déplace et son mouvement n’est pas rectiligne uniforme.

- Lorsque l’on étudie la chute libre sur Terre :

- On considère que le référentiel terrestre est galiléen.

- Ceci est vrai si l’expérience a une courte durée (quelques secondes).

- On peut considérer que le champ de gravitation est uniforme dans une salle de classe.

- On peut négliger les autres forces qui interviennent si l’objet qui tombe est lourd et de faibles dimensions (bille).

- Ainsi on peut négliger la poussée d’Archimède, les forces de frottements (tant que la vitesse n’est pas trop grande)…

II- Exercice : Badminton, un sport dans le vent.

1)- Énoncé.

Le Badminton est un sport dans lequel on frappe un volant, constitué de 2 parties :

- une tête arrondie, qui concentre une grande partie de la masse du volant ;

- des plumes, qui créent une traînée, modélisé par une force qui s'oppose au mouvement du volant dans l’air.

DONNÉES :

- Masse de volant m = 5,0 g

- Intensité de la pesanteur terrestre : g = 9,81 N . kg^–1.

Volant de badminton

volant de badminton

a)- Indiquer le point (G₁, G₂ ou G₃) sur le schéma ci-dessus qui correspond au centre de masse du volant. Justifier la réponse.

b)- À l'aide d'une caméra un enregistrement du mouvement du centre de masse du volant est réalisé lors d'un service. Le résultat est donné ci-dessous.

- L'intervalle de temps entre deux points de mesure vaut Δt = 50 ms.

- Décrire, en première approximation, le mouvement du centre de masse du volant sur la portion AB de sa trajectoire.

c)- Sur cette partie AB le poids du volant est négligé devant la traînée . Exprimer puis calculer la norme de la force .

d)- Au-delà de la date t = 6 s justifiez si le poids du volant est toujours négligeable.

e)- Le volant de badminton a été l'objet d’une expérience réalisée par Thomas Pesquet à bord de la station spatiale internationale en 2016.

Vidéo : Mouvement d'un volant de Badminton dans ISS.

Vidéo

Mouvement d'un volant de Badminton dans ISS

- Décrire, dans le référentiel lié à l'ISS, le mouvement du centre de masse du volant lorsqu'il est lâché par Thomas Pesquet. En déduire la valeur de l'accélération a du centre de masse du volant dans ce référentiel.

f)- Indiquer la ou les force(s) qui s'applique(nt) sur le volant dans l'ISS. En déduire si son mouvement observé dans la vidéo est cohérent avec la deuxième loi de Newton. Déterminer alors si le référentiel de l'ISS est galiléen.

2)- Correction.

a)- Centre de masse du volant de badminton.

- Schéma :

volant de badminton

- Pour des raisons de symétrie suivant l’axe vertical et de lestage, le point G₃ correspond au centre de masse du volant de badminton.

- La tête concentre une grande partie de la masse du volant (par rapport aux plumes).

- Le centre de masse du volant de badminton est plus proche du bas du volant.

b)- Description du mouvement du centre de masse du volant sur la portion AB de sa trajectoire :

- Nature du mouvement :

- Les points sont sensiblement alignés

- Le mobile parcourt des distances de plus en petites pendant des durées égales.

- Le mobile est animé d’un mouvement rectiligne retardé (décéléré).

chronophotographie

c)- Expression et calcul la norme de la force :

- Le système : le volant de badminton :

- Référentiel d’étude : référentiel terrestre supposé galiléen

- Bilan des forces :

- Le poids du volant : direction verticale du lieu passant par le point G₃, orienté du haut vers le bas.

- La traînée : direction la droite AB, orienté dans le sens inverse du mouvement du volant (orienté de B vers A).

- Sur cette partie AB le poids du volant est négligé devant la traînée .

- La deuxième loi de Newton permet d’écrire la relation suivante :

- Caractéristiques du vecteur accélération du centre de masse du bobsleigh :

- Le vecteur accélération a même direction et même sens que le vecteur .

- Le mobile est animé d’un mouvement rectiligne uniformément retardé.

- Le vecteur accélération est un vecteur constant.

- Expression de la valeur de de la force :

- F = m . a

- On connaît la masse m du volant : m = 5,0 g

- Il faut déterminer la valeur de l’accélération a.

- La seule méthode possible est l’exploitation de l’enregistrement du mouvement du centre de masse du volant sur le trajet rectiligne AB.

- Il faut faire attention au fait que l’échelle verticale est différente de l’échelle horizontale.

- Pour déterminer la valeur de l’accélération, on utilise la formule approchée suivante :

- Vecteur accélération du centre de masse du système à la position 3 :

- Le principe :

- On utilise la notation approchée suivante :

- vecteur a3

- Le vecteur vitesse :

- Relation approchée :

- vecteur v2

- Le point d’application est le point M₂, sa direction la droite (AB) et sa valeur :

- On peut travailler avec les coordonnées :

- Coordonnées du point M₁ (x₁ = 0,0 m ; y₁ = 2,0 m)

- Les différentes mesures pour le point M₃ (avec Word)

Les différentes mesures pour le point M3

- Étude du segment M₁M₃ :

- Abscisse du point M₃

Graphique	Réel
1,59 cm	1,0 m
3,14 cm	x₃

- Ordonnée du point M₃ :

Graphique	Réel
0,76 cm	1,0 m
3,3 cm	y₃

- Coordonnées du point M₃ (x₃ ≈ 2,0 m ; y₃ ≈ 4,3 m)

- Coordonnées du segment M₁M₃ :

	M₁M₃
Abscisse	x₃ – x₁	=	2,0 m
Ordonnée	y₃ – y₁	=	2,3 m

- Longueur du segment M₁M₃ :

- M1M3 = 3,0 m

- On peut en déduire la valeur de la vitesse v₂ :

- v2 = 30 m / s

- Le vecteur vitesse :

- Relation approchée :

- vecteur v4

- Le point d’application est le point M₄, sa direction la droite (AB) et sa valeur :

- On peut travailler avec les coordonnées :

- Les différentes mesures pour le point M₅ (avec Word)

Les différentes mesures pour le point M5

- Étude du segment M₃M₅ :

- Abscisse du point M₅

Graphique	Réel
1,59 cm	1,0 m
4,95 cm	x₅

- Ordonnée du point M₅ :

Graphique	Réel
0,76 cm	1,0 m
4,2 cm	y₅

- Coordonnées du point M₅ (x₅ ≈ 3,1 m ; y₃ ≈ 5,5 m)

- Coordonnées du point M₃ (x₃ ≈ 2,0 m ; y₃ ≈ 4,3 m)

- Coordonnées du segment M₃M₅ :

	M₃M₅
Abscisse	x₅ – x₃	=	1,1 m
Ordonnée	y₅ – y₃	=	1,2 m

- Longueur du segment M₃M₅ :

- M3M5 = 1,6 m

- On peut en déduire la valeur de la vitesse v₅ :

- v5 = 16 m / s

- Détermination du vecteur accélération

- vecteur a3

- Or les vecteurs vitesses et ont même direction, la droite (AB) :

- La valeur de l’accélération a₃ se calcule à partir de la relation suivante :

- a3 = 1,4 E2 m / s²

- On peut faire une représentation graphique du vecteur variation de vitesse

vecteur variation de vitesse v3

ZOOM

vecteur variation de vitesse v3

- La longueur du représentant du vecteur :

- ℓ_Δv3 ≈ 1,4 cm

- En conséquence : Δv₃ = 14 m . s^-1

- a3 = 1,4 E2 m / s²

► Valeur de la force de traînée :

- F = m . a avec a = a₃ et m = 5,0 g

- F ≈ 5,0 × 10^-3 × 1,4 × 10²

- F ≈ 0,70 N

d)- Au-delà de la date t = 6 s justification si le poids du volant est toujours négligeable.

- Nature du mouvement :

- À partir de la date t = 6 s, le mouvement n’est plus rectiligne, il devient curviligne.

- Il découle de ceci que le vecteur accélération change de direction et de valeur.

- On ne peut plus négliger le poids du volant devant la force de traînée .

- La deuxième loi de Newton permet d’écrire la relation suivante :

- Le vecteur accélération a même direction et même sens que le vecteur somme vectorielle des forces et .

- La force de traînée d’un volant de badminton dépend de sa vitesse, de la densité de l’air, de sa forme et du coefficient de traînée.

- La force de traînée dépend essentiellement de la vitesse du volant.

- On remarque qu’au cours du mouvement, la vitesse du volant diminue (la distance entre les différents points diminue au cours du temps).

- Comme la force de traînée diminue, le poids du volant n’est plus négligeable et influe de plus en plus sur le mouvement du volant.

e)- Mouvement du centre de masse du volant lorsqu'il est lâché par Thomas Pesquet.

- Le centre de masse du volant lâché par Thomas Pesquet dans l'ISS se déplace en ligne droite à vitesse constante (la vitesse donnée au départ) dans le référentiel lié à l'ISS.

Mouvement d'un volant de Badminton dans ISS

Vidéo

f)- Force(s) qui s'applique(nt) sur le volant dans l'ISS.

- La principale force agissant sur l’ISS est la force gravitationnelle d’attraction de la Terre.

- Il en va de même pour le volant :

- Il est soumis à la force gravitationnelle :

- Schéma :

ISS

- Le mouvement du volant dans l’ISS est rectiligne uniforme ce qui n’est pas cohérent avec la deuxième loi de Newton.

- L’ISS suit une orbite circulaire stable autour de la Terre.

- L’ISS est animé d’un mouvement circulaire uniforme dans le référentiel géocentrique lié à la Terre.

- Le référentiel de l'ISS n’est pas galiléen

- L’ISS utilise des systèmes de propulsion pour ajuster son orbite et sa position.

- Ces ajustements sont soigneusement planifiés pour minimiser les perturbations et maintenir un mouvement uniforme.

- L’ISS (station spatiale internationale) tourne autour de la Terre à une vitesse constante de 27600 km . h^-1.

- Les forces gravitationnelles et la vitesse orbitale sont équilibrées, ce qui maintient les objets en mouvement sur une trajectoire rectiligne uniforme.

III- Exercice : Bobsleigh.

1)- Énoncé.

Le bobsleigh est un sport d'hiver dans lequel des équipes de 2 ou 4 personnes effectuent des courses dans un traîneau appelé bobsleigh, sur des pistes de glace étroites.

bobsleigh

DOC. 1 Premières phases de la course

- Phase 1 : l'équipage pousse le bobsleigh vide avec une force constante sur une piste rectiligne horizontale longue de d₁ = 50 m, sans frottement. La valeur de la vitesse de l'engin passe de 0 à 45 km . h^-1 en une durée de Δt₁ = 6,0 s.

- Phase 2 : l'équipage saute dans le bobsleigh qui parcourt alors une distance d₁ = 10 m sur une partie rectiligne horizontale sans frottement.

- Phase 3 : le système {bobsleigh ; équipage} se déplace sur une partie rectiligne inclinée vers le bas d'un angle α = 15°, sans frottement, pendant une durée Δt₃ = 7,0 s.

- Phase 4 : le système {bobsleigh ; équipage} se déplace sur une piste courbe inscrite dans un plan horizontal au Oxy (voir DOC. 2).

DOC. 2 :

Chronophotographie

- La position 1 correspond à la première position du système lors de la phase 4.

- La durée entre 2 positions successives est Δt =30 ms.

DONNÉES :

- Intensité de la pesanteur : g = 9,81 N . kg^–1

- Masse du bobsleigh : m = 200 kg

- Masse du bobsleigh avec équipage : M = 500 kg

Questions :

1. Indiquer un justifiant la réponse le type de mouvement du centre de masse du système {bobsleigh} lors de la phase 1. En déduire les caractéristiques du vecteur accélération du centre de masse du bobsleigh.

2. Exprimer la norme de la force appliquée par les équipiers au bobsleigh lors de la phase 1.

3. Indiquer en justifiant le type de mouvement du centre de masse du système { bobsleigh ; équipage} dans la phase 2. En déduire la valeur de sa vitesse à la fin de la phase 2.

4. Faire un schéma représentant le bilan des forces appliquées au système { bobsleigh ; équipage} lors de la phase 3. En déduire la valeur de l'accélération du centre de masse du système durant cette phase et la valeur de sa vitesse à la fin de cette phase.

5. Recopier le schéma du DOC. 2 et représenter le vecteur accélération du centre de masse du système {bobsleigh ; équipage} à la position 4 de la phase 4, en laissant les étapes de construction de ce vecteur apparentes. Déterminer la norme de ce vecteur.

2)- Correction.

1. Type de mouvement du centre de masse du système {bobsleigh} lors de la phase 1.

- Phase 1 : l'équipage pousse le bobsleigh vide avec une force constante sur une piste rectiligne horizontale longue de d₁ = 50 m, sans frottement. La valeur de la vitesse de l'engin passe de 0 à 45 km . h^–1 en une durée de Δt₁ = 6,0 s.

- La piste est rectiligne horizontale,

- Les frottements sont négligeables :

- Référentiel d’étude : référentiel lié à la piste (référentiel terrestre supposé galiléen)

- Bilan des forces :

- Force appliquée par les équipiers au bobsleigh lors de la phase 1 (force constante sur une piste rectiligne).

- Poids du bobsleigh, force verticale orientée du haut vers le bas

- La réaction du support, force verticale orientée du bas vers le haut

- avec

- Schéma de la situation :

Schéma de la situation

- Deuxième loi de Newton.

- Énoncé :

Dans un référentiel galiléen,

la somme des vecteurs forces appliquées à un système S,

de masse m et de centre de masse G,

est égal au produit de sa masse m

par le vecteur accélération de son centre de masse.

	Valeur des forces F en newton (N)
	Valeur de la masse m en kilogramme (kg)
	Valeur de l’accélération a_G en mètre par seconde au carré (m . s^–2)

- Dans le cas présent :

- vecteur accélération

- Caractéristiques du vecteur accélération du centre de masse du bobsleigh :

- Le vecteur accélération a même direction et même sens que le vecteur force .

- Le mobile est animé d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré.

- Le vecteur accélération est un vecteur constant.

schéma du système

- Coordonnées du vecteur accélération dans le repère référentiel terrestre

- Coordonnées du vecteur accélération

- Conditions initiales :

- Vecteur position : et vecteur vitesse initiale :

- D’autre part :

- Piste rectiligne horizontale longue de d₁ = 50 m,

- La valeur de la vitesse de l'engin passe de 0 à 45 km . h^–1 en une durée de Δt₁ = 6,0 s.

- Or par définition :

- définition vecteur accélération

- La coordonnée v_x est une primitive de a_x :

- La primitive est connue à une constante près.

- Cette constante que l'on note v_ox est liée aux conditions initiales.

- Elle représente la composante de la vitesse du mobile suivant l'axe x'Ox au temps t = 0.

- En conséquence, les constantes qui apparaissent sont liées aux conditions initiales et parfaitement connues à partir des conditions initiales

- Comme :

- coordonnée vx

- De même : a_y = 0, alors v_y = cte = v_0y = 0

- coordonnées du vecteur vitesse

- Au temps t₁ = 6,0 s :

- coordonnées du vecteur vitesse v6

- On en déduit que :

- a = 2,1 m / s²

- Le vecteur accélération est horizontal, orienté dans le sens du mouvement et de nome : a ≈ 2,1 m . s^–2.

- coordonnées du vecteur accélération

2. Norme de la force appliquée par les équipiers au bobsleigh lors de la phase 1.

- vecteur accélération avec coordonnées du vecteur accélération

- F = 4,2 E2 N

- Le vecteur force est horizontal, orienté dans le sens du mouvement et de nome :

- F ≈ 4,2 × 10² N.

3. Type de mouvement du centre de masse du système {bobsleigh ; équipage} dans la phase 2.

- Phase 2 : l'équipage saute dans le bobsleigh qui parcourt alors une distance d₁ = 10 m sur une partie rectiligne horizontale sans frottement.

- La piste est rectiligne horizontale,

- Les frottements sont négligeables :

- Référentiel d’étude : référentiel lié à la piste (référentiel terrestre supposé galiléen)

- Bilan des forces :

- Poids du système {bobsleigh ; équipage, force verticale orientée du haut vers le bas

- La réaction du support , force verticale orientée du bas vers le haut

- avec

- Schéma de la situation :

Schéma de la situation

- Deuxième loi de Newton :

- Deuxième loi de Newton

- Le vecteur accélération est un vecteur nul.

- Conditions initiales de la phase 2 :

- vecteur position initial et vecteur vitesse initiale :

- Le système est animé d’un mouvement rectiligne uniforme de vitesse v = 45 km . h^–1

- La vitesse à la fin de la phase 2 : v = 45 km . h^–1

4. Schéma représentant le bilan des forces appliquées au système {bobsleigh ; équipage} lors de la phase 3.

- Phase 3 : le système {bobsleigh ; équipage} se déplace sur une partie rectiligne inclinée vers le bas d'un angle α = 15°, sans frottement, pendant une durée Δt₃ = 7,0 s.

- Bilan des forces lors de la phase 3 :

- Poids du système S = {bobsleigh ; équipage}, force verticale orientée du haut vers le bas

- La réaction du support , perpendiculaire au support, orientée du bas vers le haut (les frottements sont nuls)

- avec

- Schéma de la situation :

Schéma de la situation

- Coordonnées des différents vecteurs dans le repère référentiel terrestre

- Vecteur poids : Vecteur poids total

- Le vecteur réaction du support : vecteur réaction du support

- Deuxième loi de Newton :

- deuxième loi de Newton

- On en déduit les expressions suivantes :

- Expressions

- La projection sur l’axe Ox : M . a_x = P_S sin α

- La projection sur l’axe Oy : M . a_y = - P_S cos α + R = 0

- Il n’y a pas de mouvement sur l’axe Oy.

- Coordonnées du vecteur accélération :

- Coordonnées du vecteur accélération

- la valeur de l'accélération du centre de masse du système durant la phase 3.

- a = a_x = g . sin α

- a = a_x = 9,81 . sin 15

- a = a_x ≈ 2,53 m . s^–2

- Valeur de la vitesse à la fin de la phase 3.

- La durée de la phase 3 : Δt₃ = 7,0 s.

- La vitesse à la fin de la phase 2 : v = 45 km . h^–1

- C’est la vitesse initiale de la phase 3.

- Notation :

- v₀₃ = 45 km . h^–1

- vitesse initiale de la phase 3

- En partant du vecteur accélération :

- vecteur accélération

- La coordonnée v_x est une primitive de a_x :

- La primitive est connue à une constante près.

- Cette constante que l'on note v_ox3 est liée aux conditions initiales.

- Elle représente la composante de la vitesse du mobile suivant l'axe x'Ox au temps t = 0 pour la phase 3.

- En conséquence, les constantes qui apparaissent sont liées aux conditions initiales et parfaitement connues à partir des conditions initiales

- Comme :

- vx = 30 m / s

- Environ 110 km . h^–1.

5. Représentation du vecteur accélération du centre de masse du système {bobsleigh ; équipage} à la position 4 de la phase 4 :

- Le principe :

- On utilise la notation approchée suivante :

- vecteur a4

- Le vecteur vitesse :

- Relation approchée :

- vecteur v3

- Le point d’application est le point M₃, sa direction la droite (M₂M₄) et sa valeur :

- Avec l’échelle donnée :

- M₂M₄ ≈ 1,6 m

- v3 = 27 m / s

- Longueur du représentant avec l’échelle choisie :

- ℓ_v3 ≈ 1,3 cm

- Puis pour le vecteur vecteur v5

- M₄M₆ ≈ 1,8 m

- v5 = 30 m / s

- Longueur du représentant avec l’échelle choisie :

- ℓ_v5 ≈ 1,5 cm

- Le tracé :

- À partir du point M₄, on trave le représentant du vecteur (direction droite M₄M₆)

- À l’extrémité de ce vecteur, on trace le vecteur (direction parallèle à la droite M₂M₄)

- On trace le vecteur , dont l’origine est le point M₄ et l’extrémité celle du vecteur .

- La mesure du représentant du vecteur donne :

- ℓ_Δv4 ≈ 0,72 cm

- Avec l’échelle utilisée :

- Δv₄ ≈ 14 m . s^–1

- Valeur de l’accélération au point M4 :

- a4 = 2,4 E2 m / s²

- ℓ_a₄ ≈ 2,4 cm

- Représentation graphique :

IV- Exercice : Décollage d’Ariane 5 .

1)- Énoncé.

La propulsion de la fusée Ariane 5 est assurée par :

- Un étage principal cryotechnique (EPC) constitué notamment d'un moteur vulcain ;

- Deux boosters (étage d'accélération à poudre EAP) qui contribue à environ 90% de la puissance totale transmise à la fusée au début du décollage.

Le but de cet exercice est de vérifier certaines des caractéristiques de la fusée Ariane 5 en étudiant son décollage.

La masse totale de la fusée est supposée constante pendant la durée de l'étude.

► La fusée Ariane 5 :

Ariane 5

https://fr.wikipedia.org/wiki/Ariane_5

DONNÉES :

- Intensité de la pesanteur : g = 9,81 N . kg^–1

- Masse d’Ariane 5 au décollage : M = 750 à 780 t

- Norme de la force de poussée de la fusée au décollage : 12000 à 13000 kN.

DOC. 1 Début du décollage d’Ariane 5.

L'axe vertical a pour origine la base de la fusée au moment du décollage.

L'image 1 précise l'endroit de la fusée qui sert à repérer son mouvement vertical.

Son ordonnée sur l'axe Oy est notée y₁.

Figure .2 : Chronophotographie du décollage d'Ariane 5

DOC. 2 Détermination expérimentale de la position et de la valeur de la vitesse de la fusée

Image	Date t (en s)	Position y (en m)	Valeur de la vitesse verticale v_y (en m . s^–1)
1	0,20	30,1	–
2	0,60	31,5	v_y₂
3	1,00	33,3	6,8
4	1,40	36,9	9,6
5	1,80	y₅	12
6	2,20	46,5	15
7	2,60	52,9	–

DOC. 3 Évolution de la valeur de la vitesse verticale de la fusée en fonction du temps

DOC. 4 Proposition de représentation des forces s'appliquant sur la fusée qui vient de quitter le sol

forces s'appliquant sur la fusée

1. Questions préliminaires.

a)- Estimer, à l’aide des DOC.1 et 2, les valeurs de y₅ et de v_y₂, en détaillant la démarche utilisée et en vérifiant la cohérence du résultat obtenu pour v_y₂ à l’aide du DOC. 3.

b)- Choisir parmi les propositions du DOC. 4 le schéma compatible avec le décollage de la fusée. Justifier qualitativement la réponse.

2. Problème

► À l'aide des documents, des réponses précédentes et de connaissances, estimer la norme de la force de poussée au décollage

et vérifier la cohérence de ce résultat avec les DONNÉES.

2)- Correction.

1. Questions préliminaires.

a)- Estimation des valeurs de y₅ et de v_y₂.

- Détermination de la valeur de y₅ à partir du DOC. 1 :

- Mesures effectuées avec le traitement de texte Word :

Graphique	Réel
3,07 cm	y₁ = 30,1m
4,19 cm	y₅

- Détermination de la valeur de v_y₂ à partir du DOC. 2 :

- Pour pouvoir atteindre la valeur de la vitesse à l’instant t₂, on calcule la vitesse moyenne pendant un intervalle de temps très court encadrant l’instant considéré :

- vy2 = 4,0 m / s

- Ce résultat est en accord avec celui du graphique (DOC. 3)

b)- Schéma compatible avec le décollage de la fusée.

- Schéma compatible : Schéma 4

Schéma 4

- Pour que la fusée s’élève verticalement vers le haut :

- La valeur de la force de poussée doit être supérieure à celle du poids .

- La direction des forces doit être confondue avec l’axe de symétrie de la fusée.

2. Problème

► À l'aide des documents, des réponses précédentes et de connaissances, estimer la norme de la force de poussée au décollage

et vérifier la cohérence de ce résultat avec les DONNÉES.

DONNÉES :

- Intensité de la pesanteur : g = 9,81 N . kg^–1

- Masse d’Ariane 5 au décollage : M = 750 à 780 t

- Norme de la force de poussée de la fusée au décollage : 12000 à 13000 kN

- De plus :

- La masse totale de la fusée est supposée constante pendant la durée de l'étude.

- Force de poussée au décollage :

► Approche du problème :

- Référentiel d’étude : repère terrestre supposé galiléen (lié au sol) :

bilan des forces

- Bilan des forces :

- Le poids de la fusée : direction verticale du lieu passant par le point G, centre de masses et orienté du haut vers le bas.

- La poussée : direction verticale passant par le point G , orienté du bas vers le haut.

- Coordonnées des vecteurs :

- (P_y = - P = - M . g)

- ( F_y = F)

- Deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel galiléen, la somme des vecteurs forces

appliquées à un système S, de masse m et de centre de masse G,

est égal au produit de sa masse m par le vecteur accélération

de son centre de masse.

Valeur des forces F en newton (N)

Valeur de la masse m en kilogramme (kg)

Valeur de l’accélération a_G en mètre par

seconde au carré (m . s^–2)

- Référentiel d’étude : Référentiel de la comète supposé galiléen

- Repère lié au référentiel :

- On tire de cette relation :

- F_y + P_y = M . a_y

- F - P_y= M . a_y

- F - M . g = M . a_y

- F = M . (g + a_y)

- Remarque :

- Coordonnée du vecteur accélération : ( a_y = a)

- Comme F > P, et que les vecteurs et ont la même direction (verticale passant par G)

- Le vecteur accélération est vertical et orienté du bas vers le haut.

► Relation qui permet de calculer la force de poussée :

- F = M . (g + a)

- Les grandeurs M et g sont connues.

- Il faut calculer la valeur de l’accélération a.

- Il faut déterminer la valeur de l’accélération a.

- La seule méthode possible est l’exploitation du DOC. 2

Image	Date t (en s)	Position y (en m)	Valeur de la vitesse verticale v_y (en m . s^–1)
1	0,20	30,1	–
2	0,60	31,5	4,0
3	1,00	33,3	6,8
4	1,40	36,9	9,6
5	1,80	41,4	12
6	2,20	46,5	15
7	2,60	52,9	–

- On peut calculer la valeur de l’accélération en utilisant la relation suivante :

- vecteur accélération a3

- En utilisant la coordonnée des vecteurs :

- Avec Δt = 0,40 s

Image	t (en s)	y (en m)	v_y (m / s)	a_y (m / s²)
	0,00	0,0
1	0,20	30,1
2	0,60	31,5	4,00
3	1,00	33,3	6,8	7,0
4	1,40	36,9	9,6	6,5
5	1,80	41,4	12	6,8
6	2,20	46,5	15
7	2,60	52,9

- Ainsi on peut estimer la force de poussée au démarrage de la fusée.

- a_y3≈ 7,0 m . s^-2

- Estimation de la valeur de la poussée F au démarrage :

- F = M . (g + a)

- F ≈ 750 × 10³ × (9,81 + 7,0)

- F ≈ 1,26 × 10⁷ N

- F ≈ 1,3 × 10⁷ N

- Norme de la force de poussée de la fusée au décollage : 12000 à 13000 kN.

- Le résultat est bien en accord avec la donnée de l’énoncé.

► Autre approche pour connaître la valeur de l’accélération.

- On peut utiliser les données liées à la vitesse lors du démarrage.

- On exploite le DOC. 3.

- On trace la courbe de tendance avec le tableur Excel :

- Traduction physique :

- Relation mathématique : y ≈ 6,8 x

- Relation en physique : v_y ≈ 6,8 t

- Le coefficient de détermination R² est proche de 1.

- Les deux grandeurs sont en adéquation.

- ay = 6,8 m / s²

- Ce résultat est en accord avec celui trouvé précédemment.

- Estimation de la valeur de la poussée F au démarrage :

- F = M . (g + a)

- F ≈ 750 × 10³ × (9,81 + 6,8)

- F ≈ 1,24 × 10⁷ N

- F ≈ 1,2 × 10⁷ N

- Norme de la force de poussée de la fusée au décollage : 12000 à 13000 kN.

- Le résultat est bien en accord avec la donnée de l’énoncé.

► Autre méthode :

- On peut utiliser le théorème de l’énergie cinétique.

- Énoncé :

- La variation de l’énergie cinétique d’un système S en mouvement,

d’une position A à une position B,

est égale à la somme des travaux de toutes les forces appliquées au

système S entre A et B :

variation énergie cinétique

- Les unités :

ΔE_CA→B	Variation de l’énergie cinétique en joule (J)
E_CA et E_CB	Énergie cinétique en joule (J)
m	La masse en kilogramme (kg)
v	La vitesse en mètre par seconde (m . s^–1)
	Travail de la force en joule (J)
F	Valeur de la force en newton (N)
AB	Longueur du déplacement en mètre (m)
cos α	α angle (rad ou °) entre les vecteurs et cos α : sans unité

- Repère d’étude :

états 1 et 2

- Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à la fusée entre les instants t₂ et t₃ permet d’écrire la relation suivante :

- force de poussée

- En utilisant les données :

- F = 1,7 E7 N

- L’ordre de grandeur de cette poussée est en accord avec l’estimation donnée dans l’énoncé.

Mise en orbite d'un satellite artificiel par la fusée Ariane

Décollage de la fusée Ariane 5

V- Exercice : .

1)- Énoncé.

Une bille de masse constante, modélisée par un point matériel, est lâchée verticalement dans un tube dans lequel on a fait le vide.

Un chronomètre est déclenché au moment du lâcher.

Les normes des vecteurs position, vitesse et accélération de cette bille sont représentées ci-dessous.

L'axe vertical Oy est orienté vers le bas, son origine étant confondue avec la position du point matériel à l'instant du lâcher.

Le mouvement étudié est rectiligne uniformément accéléré.

Courbe 1 :

Courbe 01

Courbe 2 :

Courbe 02

Courbe 3 :

Courbe 03

► Après avoir identifié les courbes ci-dessus, montrer que la bille est soumise à une force constante.

2)- Correction.

- Le mouvement étudié est rectiligne uniformément accéléré.

- Étude du système

- Système S : la bille

- Conditions initiales :

- Vecteur position initiale : ( y₀ = 0 m)

- Vecteur vitesse initiale : (v_oy = 0 m / s)

- Référentiel d’étude : référentiel terrestre supposé galiléen

- Repère d’espace :

- Bilan des forces : : P = m . g

- Représentation à l’instant t :

bilan des forces

- Deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel galiléen, la somme des vecteurs forces

appliquées à un système S, de masse m et de centre de masse G,

est égal au produit de sa masse m par le vecteur accélération

de son centre de masse.

Valeur des forces F en newton (N)

Valeur de la masse m en kilogramme (kg)

Valeur de l’accélération a_G en mètre par

seconde au carré (m . s^–2)

- Référentiel d’étude : référentiel terrestre supposé galiléen

- Repère d’espace :

- La deuxième loi de Newton appliquée au système S, dans le référentiel galiléen permet d’écrire :

- Comme :

- deuxième loi de Newton

- En utilisant les notations simplifiées :

- Le vecteur accélération est vertical et orienté vers le bas (comme l’axe Oy)

- Coordonnées du vecteur accélération :

- a_y = g = c^te

► la bille est soumise à une force constante, son poids .

- Elle est en chute libre.

► Les différentes courbes :

- La courbe 1 : v_y = g (t)

- Comme le mouvement étudié est rectiligne uniformément accéléré, l’accélération est constante au cours du temps.

- vecteur accélération

- La détermination du vecteur vitesse nécessite de rechercher la primitive par rapport au temps de chaque coordonnée du vecteur accélération en tenant compte des conditions initiales.

- On cherche les primitives des équations précédentes.

- Il apparaît des constantes qui sont liées aux conditions initiales.

- Les constantes d’intégration apparues dans les primitives sont liées aux conditions initiales :

- c’est-à-dire les coordonnées du vecteur vitesse à l’instant initial.

- Or a_y = g

- On en déduit la relation suivante :