I- La force de pesanteur.

1)- Expérience :

  Solide suspendu à un ressort (dynamomètre).

-  Le dynamomètre mesure aussi bien la force qu’on lui applique que la force qu’il exerce.

2)- Force et champ de pesanteur.

-  La force de pesanteur est représentée par le vecteur . Il a les caractéristiques suivantes :

-  Caractéristiques : 

-  En un même lieu, les vecteurs poids de différents solides sont parallèles, de même sens et de valeurs proportionnelles aux masses.

-  La force de pesanteur résulte du champ de pesanteur de la Terre.

-  Le vecteur  est le vecteur champ de pesanteur du lieu considéré.

-  Caractéristiques : 

-  On peut considérer que le champ de pesanteur est quasiment uniforme dans une région dont les dimensions sont de l’ordre de quelques kilomètres.

II- La poussée d’Archimède.

1)- Expérience :

  Solide suspendu à un ressort (dynamomètre) que l’on immerge dans un liquide.

2)-  Expression de la Poussée d’Archimède.

-  Caractéristiques : 

-  Le centre de poussée C est située au centre d’inertie du fluide déplacée. Pour un solide homogène, C et G sont confondus.

-  Remarque :

-  La poussée d’Archimède exercée par un gaz sur un solide compact peut être négligée devant le poids d’un solide. 

-  C’est le cas d’une bille d’acier en mouvement dans l’air.

-  Cette approximation n’est pas possible dans le cas d’un liquide.

III- Chute verticale avec frottement. (TP Physique N° 11).

1)- Expérience.

-  On lâche la bille sans vitesse initiale dans l’huile contenue dans une grande éprouvette graduée de 500 mL.

-  La chute de la bille a été enregistrée par chronophotographie.

-  La caméra prend 50 images par seconde.

2)- Conclusions.

a)- Existence d’une force de frottement.

-  La bille chute sans vitesse initiale. 

-  Dans un premier temps, la valeur de la vitesse v_G augmente, puis elle atteint une vitesse limite.  

-  Il existe une force de frottement  due au fluide.

b)- Résultants importants :

-  La force de frottement est toujours colinéaire et de sens contraire au vitesse  du centre d’inertie du solide.

-  Elle dépend de la forme et de l’état de surface du solide.

-  Elle dépend de la viscosité η d’un fluide en Pa.s.

-  Elle dépend de la valeur v_G de la vitesse du centre d’inertie.

-  Remarque : les liquides sont plus visqueux que les gaz car l’état liquide est un état condensé et l’état gazeux un état dispersé. 

-  La viscosité η d’un fluide dépend aussi de la température.

c)- Expressions de la force de frottement .

-  On peut distinguer deux grandes lois de variation pour la valeur de la force de frottement  fluide f.

-  Lorsque la vitesse limite atteinte est « faible », la force de frottement fluide est de la forme f = k . v_G

-  La constante k dépend de la viscosité du fluide et de la forme du solide. 

-  Exemple : pour une sphère de diamètre d tombant dans un fluide de viscosité η :  

k = 3 π . η . d

Formule de STOCKES :

k = 6 π η R 

-  Lorsque la vitesse limite atteinte est « grande », la force de frottement fluide est de la forme : f = k . v_G²

-  La constante k ne dépend pas de la viscosité du fluide mais de la forme du solide.

-  Exemple : pour une sphère de diamètre d tombant dans un gaz de masse volumique  ρ₀ :  

-  

3)- Équation différentielle du mouvement.

a)- Bilan des forces.

-  Système : bille dans un référentiel terrestre supposé galiléen.

-  Repère lié au référentiel : le mouvement étant rectiligne, on choisit le repère

-    avec le vecteur  vertical et orienté du haut vers le bas.

-  Au cours de la chute, la bille est soumise à

b)- Deuxième loi de Newton.

-  Le vecteur accélération vérifie à chaque instant dans le référentiel terrestre l’équation suivante :

-  

c)- étude qualitative du mouvement.

-  Au départ, la valeur de la force de frottement est nulle.

-  Le poids étant supérieur à la poussée d’Archimède, la bille tombe avec une vitesse croissante.

-  Au cours de la chute, la valeur de la force de frottement fluide, qui s’oppose au mouvement, augmente.

-  La valeur de la vitesse continue à augmenter mais de moins en moins rapidement.

-  Si la durée de la chute est suffisante, la bille atteint une vitesse limite.

-  Alors la vitesse de la bille est constante.

-  La bille est animée d’un mouvement rectiligne uniforme.

-  Elle est soumise à des actions dont les effets se compensent : c’est la réciproque du principe de l’inertie.

d)- Équation différentielle du mouvement.

-  Notations : V volume de la bille ; ρ masse volumique de la bille et ρ₀ masse volumique du fluide et f = k.vⁿ  

-  avec n = 1 ou 2.

	ρ : masse volumique du solide
	ρ0 : masse volumique du fluide

-  On projette la relation (1) sur l’axe x’Ox , on obtient l’équation suivante :

-  

-  De l’expression (2), on tire :

ρ . V . g – ρ₀ . g . V - k . v_xⁿ= ρ . V . a_x   (3)

-  Pour obtenir une expression plus simple, on pose :

-  Pour obtenir une expression plus simple, on pose :

-  

-  D’autre part :

- 

4)- Étude analytique.

a)- La force de frottement fluide est de la forme : f = k.v.

-  On pose : v_x = v et on remplace dans l’équation (2).

-  

-  On reconnaît une équation différentielle du premier ordre avec deuxième membre qui admet une solution du type :

-    où A, B et k₁ sont des constantes.

-  

-    

-  cette équation est vérifiée quelle que soit la valeur de t.

-  

-  Au temps t = 0, la vitesse de la bille est nulle :

- 

-  Expression  de la vitesse en fonction du temps :

- 

-  expression de la vitesse limite.

-  Si la durée de la chute est suffisante, la bille atteint une vitesse limite. Alors :

- 

-  en conséquence :

- 

-  Comme dans le cas des dipôles (R, L) et (R, C) on définit une constante de temps notée τ telle que :

-    avec

-  Le mobile possède un régime initial ou transitoire pendant que la vitesse varie :

-  

-  Au bout du temps τ, la vitesse du mobile est 63 % de sa vitesse limite et au bout du temps 5 τ,

-  le mouvement du mobile est pratiquement uniforme, le régime permanent est atteint :

-  

b)- La force de frottement fluide est de la forme : f = k.v².

-  L’équation différentielle est de la forme :

-    

Équation différentielle : Pour aller plus loin

-  équation différentielle du premier ordre non linéaire avec deuxième membre.

-  On peut résoudre cette équation par une méthode numérique itérative : la méthode d’Euler.

-  De la même façon que précédemment, on peut calculer la valeur de la vitesse limite.

-  

-  Au bout d’une durée plus ou moins longue, le régime permanent est atteint, la vitesse de la bille est uniforme.

5)- Résolution de l’équation par une méthode itérative : la méthode d’Euler.(TP physique N° 11).  

a)- Résolution de .

-  On se propose de résoudre numériquement l’équation différentielle (2’) par la méthode d’Euler.

-  Cette méthode consiste à obtenir des valeurs approchées de la fonction v = f (t) et d’en déduire une représentation graphique.

-  À condition de choisir δt suffisamment petit, on peut écrire que :

- 

-  Or δv représente la variation de la valeur de la vitesse pendant la durée δt.

-  Si on connaît les valeurs de α et b et les conditions initiales, on peut trouver de proche en proche les différentes valeurs de la vitesse v au cours du temps.

-  Les conditions initiales sont les suivantes : au temps t₀ =  0, v = v₀.

-  On choisit une valeur de δt suffisamment petite : c’est le pas du calcul.

-  À la date t₁ =  t₀ +  δt,  la vitesse est devenue : v₁ =  v₀ +  δv₀ avec

- 

-  en conséquence :

-  Cette valeur est calculable puisque les valeurs α, b et v₀ sont connues.

-  On procède de la même façon pour le calcul de v₂.

-  À la date t₂ =  t₁ +  δt,  la vitesse est devenue : v₂ =  v₁ +  δv₁ = v₁ + (b –  α.v₁).δt.

-  À la date t_n+1 =  t_n +  δt,  la vitesse est devenue : v_n+1 =  v_n +  δv_n = v_n + (b –  α.v_n).δt.

-  On peut en répétant ce calcul, déterminer la valeur de la vitesse aux différentes dates séparées de δt.

-  On peut ainsi obtenir la représentation graphique de v en fonction du temps t.

-  L’équation différentielle « a été résolue » numériquement par une méthode itérative.

-  Si on connaît les conditions initiales et les grandeurs α et b, il est possible de résoudre l’équation différentielle du mouvement par une méthode itérative.

-  On peut améliorer la précision des calculs en choisissant un pas de calcul δt  plus petit, mais cela impose un grand notre de calculs.

-  Il faut disposer d’une calculatrice graphique ou d’un tableur.

-  Lors de la séance de travaux pratique, on utilise un tableur (TP physique N° 11).

b)- Comparaison des résultats expérimentaux et des résultats obtenus par la méthode d’Euler.

-  On peut, en comparant la courbe expérimentale à celles obtenues par la méthode d’Euler, vérifier si le modèle choisi pour l’expression de la force de frottement est correct.

IV- Étude d’une chute libre verticale.

1)- Définition.

-  On appelle chute libre le mouvement d'un objet soumis uniquement à son poids .

Expérience.

-  On prend une feuille de papier que l'on plie. Lorsque la surface de la feuille devient petite, on s'aperçoit que celle-ci tombe suivant une ligne verticale.

-  On peut considérer que les objets de petites tailles se déplaçant sur une faible distance sont en chute libre.

2)- Équation différentielle du mouvement.

-  Bilan des forces s’exerçant sur le solide :

-  On étudie le mouvement du solide dans un référentiel terrestre supposé galiléen.

-  La position du solide est repérée à chaque instant dans le repère orthonormé :

-  À l’instant t = 0, les coordonnées du point G sont données par le vecteur position :

-  

-  On lâche le solide sans vitesse initiale :

-   

-  Expression du vecteur champ de pesanteur dans le repère R :

- 

-  Conséquence de l'application du théorème du centre d'inertie (deuxième loi de Newton).

-  

-  L’équation (1) permet de déterminer les équations différentielles du mouvement.

- 

-  Coordonnées du vecteur accélération :

- 

-  équation horaire du mouvement.

-  Coordonnées du vecteur vitesse.

-  On utilise la relation  :

-  .

-  On cherche les primitives des équations précédentes.

-  Il apparaît des constantes qui sont liées aux conditions initiales.

-  On déduit :

- 

-  Coordonnées du vecteur vitesse :

- 

-  Coordonnées du vecteur position.

-  On opère de la même façon :

- 

-  Des équations (a’), (b’) et (c’), on déduit en utilisant les conditions initiales :

-  

-  Coordonnées du vecteur position :

- 

3)- Conclusions.

-  Récapitulatif : objet en chute libre sans vitesse initiale.

-  L’accélération du mouvement est indépendante de la masse m du solide.

-  La vitesse du centre d’inertie est proportionnelle au temps.

-  Le centre d’inertie G du solide est animé d’un mouvement rectiligne uniformément varié.

V- Applications.

1)- QCM :

2)- Exercices :