Additif : résolution d'une équation différentielle non linéaire

Devoir N° 7

Additif.

Equation différentielle

Méthode d'Euler 1

Méthode d'Euler 2

1. équations différentielles

1.1. Premier cas :

Système : balle de masse m,

référentiel : terrestre supposé galiléen.

Le repère : la chute de la balle est verticale :

On peut prendre un axe vertical orienté du haut vers le bas :

Représentation à l’instant t :

La Deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures

appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide

par le vecteur accélération de son centre d’inertie.

On écrit :

(1)

On peut poser v _x = v car v _x est positif.

La grandeur v représente la valeur de la vitesse, grandeur positive.

- Type de l’équation différentielle :

1.2. Deuxième cas :

Système : balle de masse m,

référentiel : terrestre supposé galiléen.

Le repère : la chute de la balle est verticale :

On peut prendre un axe vertical orienté du bas vers le haut :

Représentation à l’instant t :

La Deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures

appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide

par le vecteur accélération de son centre d’inertie.

On écrit :

(1)

Remarque : v _x = - v car v _x est négatif avec l'orientation choisie .

La grandeur v représente la valeur de la vitesse, grandeur positive.

- Type de l’équation différentielle : (2)’

- Remarque : en remplaçant v _x = – v dans l’équation (2),

- on obtient : (2)

2. Résolution de l’équation différentielle non linéaire à coefficients constants : (2).

- On pose pour généraliser l’expression :

- L‘équation devient : (1)

- On sépare les variables : (2)

- Étude de l’expression :

- En considérant que , on peut écrire que :

- Or :

- En conséquence :

- En remplaçant dans l’expression 2 :

- En identifiant :

- On peut écrire l’expression suivante :

- Par intégration, on peut écrire :

- Que l’on peut aussi écrire :

- On peut réduire cette expression :

- On peut continuer pour trouver l’expression de v en fonction du temps :

- En ordonnant, on obtient l’expression suivante :

- Utilisation des conditions initiales :

- Au temps t = 0 s, la vitesse de la balle est nulle en conséquence, K ₁ = 1 :

- Remarque : La vitesse limite atteinte par la bille est donnée par la relation :

- .

3. Résolution de l’équation différentielle non linéaire à coefficients constants : (2)’.