Une gouttelette d’eau sphérique de rayon r = 10 μm tombe verticalement dans l’air avec une vitesse constante v₀.

La valeur de la force de frottement fluide exercée par l’air, proportionnelle à v₀, est donnée par la formule de STOCKES :

f = 6 π η _air r v₀, où η_air est la viscosité de l’air.

Déterminer la valeur de v₀.

Données : η_air = 1,80 x 10 ^{– 5} Pa . s ;

ρ_eau = 1,00 x 10  ³ kg . m^{– 3} ; 

ρ_air = 1,29 kg . m^{– 3} ; g = 9,80 m . s^{– 2} .

 Solution :

-  Système : gouttelette d’eau dans un référentiel terrestre supposé galiléen.

-  Repère lié au référentiel :

-  le mouvement étant rectiligne,

-  on choisit le repère  avec

-  le vecteur  vertical et orienté du haut vers le bas.

-  Au cours de la chute, la gouttelette est soumise à

-  

-  on en déduit que :

-  

-  Volume de la gouttelette :

-  On projette la relation (1) sur l’axe x’Ox , on obtient l’équation suivante :

-  

b)-  Deuxième méthode (plus longue, mais elle permet de réviser).

-  On considère qu’au temps t, la gouttelette se déplace à la vitesse v.

-  La deuxième loi de Newton appliquée à la gouttelette permet d’écrire :

-  

-  Le vecteur accélération vérifie à chaque instant dans le référentiel terrestre l’équation suivante :

-  

-  On projette la relation (1) sur l’axe x’Ox , on obtient l’équation suivante :

- 

-  Pour obtenir une expression plus simple, on pose :

-  

-  D’autre part :

-  On pose  v_x = v

-  Plus simplement :

-  Lorsque la vitesse limite v₀ est atteinte,

- 

-  Application numérique :

-  Volume de la gouttelette :

- 

Solution :

-  Système : bille d’acier dans un référentiel terrestre supposé galiléen.

-  Repère lié au référentiel : le mouvement étant rectiligne,

on choisit le repère  avec le vecteur  vertical et orienté du haut vers le bas.

-  Au cours de la chute, la bille d’acier est soumise à

-  On considère que la bille est animée d’un mouvement rectiligne uniforme en conséquence d’après la réciproque du principe de l’inertie.

-  

-  on en déduit que :

-  

-  Volume de la gouttelette :

-  On projette la relation (1) sur l’axe x’Ox , on obtient l’équation suivante :

-  

-  Application numérique :

-  

On abandonne une bille d’acier de diamètre d = 3,00 mm sans vitesse initiale dans l’air ou dans un mélange d’eau et de glycérol

contenu dans une éprouvette transparente de hauteur h = 80 cm.

1)- On étudie la chute de la bille dans l’air.

a)- Quel est le mouvement du centre d’inertie de la bille dans le référentiel terrestre pour une hauteur de chute de l’ordre de 1 m ?

b)- Imaginer une expérience simple pour vérifier que le centre d’inertie de la bille a un mouvement de chute verticale.

c)- Peut-on, à l’aide d’un double mètre à ruban et d’un chronomètre au 1 /10^e de seconde,

étudier précisément l’évolution de la vitesse moyenne de la bille pour des hauteurs de chute comprises entre 10 cm et 150 cm ?

Si, oui, déterminer la durée correspondant à une chute de 20 cm, et recommencer trois fois l’expérience ; comparer les résultats obtenus et conclure.

d)- En utilisant un dispositif adéquat, on obtient les positions z (t) du centre d’inertie de la bille à intervalles de temps égaux au cours de la chute ;

puis en dérivant numériquement z (t) avec un logiciel, on obtient les valeurs de la vitesse v (t). Les graphes z (t) et v (t) sont reproduits sur l’écran ci-dessous.

-  La vitesse de la bille est-elle proportionnelle au temps, une fonction affine du temps, ou une fonction plus complexe ?

-  Pour des valeurs de t beaucoup plus grandes (et donc des hauteurs de chute beaucoup plus grandes), le graphe v (t) conserverait-il la même allure ?

Expliquer pourquoi.

2)- On étudie la chute de la bille dans le mélange liquide.

a)-     La bille a-t-elle un mouvement uniformément accéléré ? Pourquoi ?

b)-     Proposer une expérience permettant de mesurer la vitesse limite atteinte par la bille.

(on suppose que la vitesse limite est atteinte au bout de 20 cm de chute environ).

On étudie dans un référentiel terrestre supposé galiléen, le mouvement d’une sphère tombant verticalement dans un champ de pesanteur.

La sphère est abandonnée, sans vitesse initiale, d’un point O situé à l’altitude h, suffisamment petite par rapport au rayon de la Terre

pour que la valeur de g du champ de pesanteur soit considérée comme constante au cours du mouvement et égale à sa valeur au sol :  

g₀ = 9,80 m . s^{– 2} .

La poussée d’Archimède est négligeable et la sphère n’est soumise qu’à l’action de son poids  et à la résistance de l’air .

Au cours du mouvement,  est verticale, orientée vers le haut, et sa valeur est nulle au moment où la sphère est lâchée et augmente lorsque la vitesse augmente.

Le graphique ci-dessous donne l’allure des variations de la vitesse en fonction du temps, v ₁ étant la vitesse limite atteinte par la sphère.

2)- Étude de la courbe.

a)- En observant la courbe v = f (t), indiquer comment varie l’accélération du mouvement en fonction du temps.

b)- Interpréter cette variation.

c)- Quelle doit être la valeur du coefficient directeur de la tangente à cette courbe à l’instant initial ?

3)- Lorsque la sphère a atteint sa vitesse limite, la valeur de la résistance de l’air  est-elle supérieure, inférieure ou égale à la valeur du poids  ?

4)- Si la sphère avait été lancée du point O avec une vitesse initiale  dirigée vers le sol avec une vitesse supérieure à la vitesse v₁,

la vitesse de la sphère aurait-elle augmenté ou diminué au cours du mouvement de chute verticale ?

Solution :

1)- Étude de la courbe.

a)- Variation de l’accélération du mouvement.

-  Système : bille dans un référentiel terrestre supposé galiléen.

-  Repère lié au référentiel : le mouvement étant rectiligne, on choisit le repère  

avec le vecteur  vertical et orienté du haut vers le bas.

-  Au cours de la chute, la bille est soumise à

-  La deuxième loi de Newton : 

-  Le vecteur accélération vérifie à chaque instant dans le référentiel terrestre l’équation suivante :

- 

-  On projette la relation (1) sur l’axe x’Ox , on obtient l’équation suivante :

-  

-  Comme , la valeur de l’accélération au temps t est donnée par la valeur du coefficient directeur

de la tangente à la courbe v = f (t) à l’instant t considéré. 

-  La pente de la tangente à la courbe v = f (t) diminue au cours du temps. 

-  En conséquence, l’accélération diminue au cours du temps et

s’annule lorsque la courbe tend vers une asymptote horizontale.

b)-     Le la relation 

- 

-  Lorsque la vitesse de la sphère augmente, la résistance de l’air augmente et l’accélération diminue.

c)- À l’instant t = 0 => R = 0 => a_G = g. 

-  Le coefficient directeur de la tangente à la courbe v = f (t),

-  au temps t = 0, est égal à g₀= 9,80 m . s ^{– 2} .

2)- Lorsque la vitesse limite v₁ est atteinte, le mouvement de la sphère est rectiligne uniforme.

-  En conséquence, d’après la réciproque du principe d’inertie :

-  

3)- Si la valeur initiale de la vitesse est supérieure à la vitesse limite v₁,

la valeur de la vitesse de la bille va diminuer pour tendre asymptotiquement vers la valeur v₁.

On se propose d’étudier la chute d’une petite bille d’acier dans l’air et dans un liquide visqueux, la glycérine.

On admet que la bille, dont le centre est animé d’un mouvement de vitesse , est soumise dans un fluide (liquide ou gaz) à :

-  Son poids : , où m est la masse de la bille et  le vecteur champ de pesanteur ;

-  La poussée d’Archimède : , où r’ est la masse volumique du fluide et V le volume de la bille ;

-  La résistance au mouvement, force complexe qui, dans les conditions de l’expérience,

est donnée par la formule de STOCKES : , où η est la viscosité du fluide, grandeur caractéristique indépendante de la vitesse

Le mouvement est observé dans une éprouvette en verre de forme parallélépipédique (de section horizontale carrée et de hauteur 30 cm environ).

La bille est lâchée sans vitesse initiale dans le fluide à partir du point O, pris comme origine de l’axe z vertical et orienté vers le bas, et descend d’un mouvement rectiligne.

1)- Étude du mouvement de la bille dans l’air.

a)- On commence par négliger les forces autres que le poids de la bille. Utiliser la deuxième loi de Newton pour trouver les expressions de la vitesse instantanée u (t)

et de la coordonnée instantanée z (t) du centre de la bille.

b)- La cote z vaut au maximum 30 cm. Calculer la vitesse maximale de la bille et montrer que les forces autres que le poids peuvent être négligées.

2)- Étude du mouvement dans la glycérine.

a)- On tient compte des trois forces ,  , .

Appliquer la deuxième loi de Newton à la bille pour trouver l’équation différentielle liant u (t) à sa dérivée par rapport au temps.

Montrer que cette équation peut se mettre sous la forme :

- 

b)- Quelle l’unité permet d’exprimer la constante t ?

c)- L’expérience est réalisée.

Il est facile de s’apercevoir que le mouvement de la bille devient rapidement

(c’est-à-dire au bout d’une distance très faible) rectiligne uniforme de vitesse U_l qui est de l’ordre de quelques centimètres par seconde.

Comment vérifier expérimentalement ces phénomènes et mesurer la vitesse U_l?

d)- Vérifier que u(t) = U_l est solution de l’équation différentielle trouvée à la question 2.a)-  à condition qu’il existe une relation entre U_l , C et τ.

e)- Les mesures donnent U_l = 4,2 cm / s. Quelle valeur de η peut-on déduire de cette mesure ?

f)- Un logiciel de simulation donne pour u et z fonctions du temps, les graphes joints ci-après.

Ceux-ci sont-ils conformes aux résultats expérimentaux ? Comment vérifier sur le graphe de z(t) l’existence d’une vitesse limite de 4,2 cm / s ?

Données :

-  rayon de la bille d’acier R = 1,5 x 10 ^{– 3}  m.

-  Volume de la ville :

-  Masse de la bille : m = ρ V ≈ 1,1x 10 ^{– 4}  kg

-  Intensité de la pesanteur : g ≈ 10 m . s^{– 2} 

^-  Masse volumique de l’acier : ρ  = 7,8 x 10 ³ kg . m^{– 3} 

^-  Masse volumique de l’air : ρ₀ = 1,3  kg . m^{– 3} 

^-  Masse volumique de la glycérine: ρ ’ = 1,26 x 10 ³ kg . m^{– 3} 

-  Viscosité de l’air : ; η = 1,85 x 10 ^{– 5}  kg . m ^{– 1}. s ^{– 1}

-  Viscosité de la glycérine : ; η = 1,0 kg . m^{– 1}. s ^{– 1}