Chap. N° 17	Sons et effet Doppler Exercices 2024 Cours Exercices

 

I- Exercice : Assister à un mini-concert. 1)- Énoncé. 2)- Correction.

II- Exercice : La raie α du spectre d’émission de l’hydrogène. 1)- Énoncé. 2)- Correction.

III- Exercice : Déterminer une fréquence décalée. 1)- Énoncé. 2)- Correction.

IV- Exercice : Atténuation par absorption. 1)- Énoncé. 2)- Correction.

V- Exercice : Le cor des Alpes. 1)- Énoncé. 2)- Correction.

VI- Exercice : Déterminer la vitesse d’un hélicoptère par effet Doppler. 1)- Énoncé. 2)- Correction.

I- Exercice : Assister à un mini-concert.

1)- Énoncé.

Un « concert » est donné avec 2 violons.

Les niveaux d'intensité sonore L₁ et L₂ produits séparément par chacun des 2 instruments sont mesurés à l'aide d'un sonomètre placé à 5,0 m des musiciens.

Les mesures donnent : L₁ = 70 dB et L₂ = 76 dB.

a)-  Déterminer les intensité sonores I₁ et I₂ correspondant respectivement à L₁ et L₂.

b)-  En déduire l'indication du sonomètre, placé à la distance d = 5,0 m des musiciens jouant simultanément.

c)-  Combien de violons, produisant chacun en un point un son de niveau sonore 70 décibels, faudrait-il pour que le niveau d'intensité sonore résultant en ce point soit de 90 décibels ?

2)- Correction.

a)-  Détermination des intensité sonores I₁ et I₂ correspondant respectivement à L₁ et L₂.

►  Intensité sonore : I

-  Le niveau d’intensité sonore est lié à l’amplitude du signal sonore.

-  C’est la puissance sonore reçue pour une surface donnée.

-  Plus l’amplitude du signal sonore est élevée plus l’intensité sonore I est grande.

-  L’intensité sonore, notée I, caractérise l’intensité du signal reçue par l’oreille.

-  L’intensité sonore I est la puissance P par unité de surface S transportée par une onde sonore.

Le spectre de la lumière émise par une étoile comporte des raies d’absorption caractéristiques des éléments présents dans l’atmosphère qui l’entoure.

-  En appliquant les conséquences de l’effet C. Doppler à la lumière, H. Fizeau (1819-1896) a postulé en 1848 que :

-  Si une étoile s’éloigne ou s’approche de la Terre, on doit observer un décalage de ses raies d’absorption.

-  La mesure de ce décalage permettrait de calculer la vitesse radiale de l’étoile.

-  Les télescopes modernes et les outils informatiques permettent aujourd’hui de calculer les vitesses radiales des étoiles en analysant de très nombreuses raies.

-  L’effet Doppler-Fizeau permet de calculer la valeur de la vitesse radiale d’une étoile en comparant les longueurs d’onde de son spectre d’absorption à celles d’un spectre de référence.

-  Lorsque l’étoile s’éloigne de la Terre, on observe un décalage vers les grandes longueurs d’onde c’est-à-dire vers le rouge pour les raies du visible (Redshift).

-  Lorsque l’étoile se rapproche de la Terre, on observe un décalage vers les petites longueurs d’onde c’est-à-dire vers le bleu pour les raies du visible (Blueshift).

-  Remarque : la vitesse radiale d’une étoile est la vitesse à laquelle elle s’éloigne ou s’approche de la Terre.

-  Le décalage de la longueur d’onde dû à l’effet Doppler-Fizeau permet de calculer la valeur de la vitesse d’éloignement ou de rapprochement d’une galaxie par rapport à la Terre.

Le graphique suivant indique les valeurs minimales de niveau d'intensité sonore audible en fonction de la fréquence.

-  Intensité sonore de référence : I₀ = 1,0 × 10^–12 W. m^–2 (seuil d’audibilité)

-  Valeur de la célérité du son dans l’air en fonction de la température

-  InIntensité sonore d’une source isotrope :

-  Pour une source isotrope (c’est-à-dire émettant la même énergie dans toutes les directions) de puissance P,

l’intensité sonore I au point M dépend de la distance d à la source et s’exprime de la façon suivante :

-    avec I en W . m^–2 , P en W et d en m.

QUESTIONS

Un berger, situé au sommet d’une colline (point A de la carte du DOC. 3 ci-dessus) joue la note la plus grave de son cor des Alpes.

Son instrument a une longueur de 3,4 m.

L’atténuation de l’onde par absorption n’est pas prise en compte.

Le rayonnement de la source est supposé isotrope.

1.  Question préliminaire : Quel niveau d’intensité sonore minimal permet d’entendre le cor jouant la note la plus basse ?

2.  Problème : Pourra-t-on l’entendre à Haute Nendaz si le niveau d’intensité sonore est de 100 dB à un mètre de l’instrument ?

2)- Correction.

1.  Question préliminaire :

-  Niveau d’intensité sonore minimal qui permet d’entendre le cor jouant la note la plus basse 

-  Note la plus basse :

-  L’instrument a une longueur : ℓ = 3,4 m :

-  La note la plus grave est atteinte lorsque la longueur d'onde de l'onde sonore associée à la note est égale à 2 fois la longueur du cor

-  λ = 2 ℓ

-  λ = 2 × 3,4

-  λ ≈ 6,8 m

-  Fréquence du son fondamental émis par le cor des Alpes :

-  Chaque année, au mois de juillet,  se déroule le festival international du cor des Alpes à Haute Nendaz, en Suisse

-  On peut considérer que la température est de l’ordre de 20 ° C.

-  La vitesse du son dans l’air est v_son = 343 m . s^–1

-   

►  Remarque :

 Le spectre d'un son

La perception d'un son

-  Un son complexe est formé d’une superposition de vibrations sinusoïdales ayant des amplitudes et des fréquences différentes.

-  En 1822, le mathématicien français Joseph FOURIER a montré que :

-  Tout signal périodique de fréquence f₁ peut être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux de fréquences f_n multiples de f₁.

-  Avec f_n = n.f₁ et n € N*

-  La fréquence f₁ est appelée le fondamental.

-  Les fréquences 2 f₁, 3 f₁, …, n.f₁ sont appelées harmoniques.

-  L’analyse spectrale d’un son permet d’en obtenir le spectre en fréquences.

-  Le spectre en fréquences d’un son est la représentation graphique de l’amplitude de ses composantes sinusoïdales en fonction de la fréquence.

-  Exemple :

-  Le son émis par un cor des Alpes n’est pas un son pur, c’est un son complexe.

-  le cor des Alpes émet un son fondamental, c'est la fréquence de base qui définit la note jouée.

-  Cette fréquence est relativement basse,

-  Elle donne au son du cor des Alpes son caractère grave et puissant.

-  Le son du cor des Alpes est particulier, car le son fondamental est accompagné de nombreux harmoniques.

-  Les harmoniques sont des fréquences multiples du son fondamental,

-  Ceci crée une superposition de sons qui donne au timbre de l'instrument toute sa richesse et sa complexité

-  Il peut comporter plusieurs harmoniques :

-  Le son fondamental : f₁ = 50 Hz,

-  Harmonique de rang 2 : f₂ = 2 f₁ = 100 Hz,

-  Harmonique de rang 3 : f₃ = 3 f₁ = 150 Hz

-  Ainsi de suite.

-  L’amplitude de chaque harmonique et la présence de certains harmoniques dépendent du timbre de l’instrument.

 Le cor des Alpes

 Le cor des Alpes : le timbre

2.  Problème :

-  Niveau d’intensité sonore : L = 100 dB à d = 1,0 m de l’instrument

-  Peut-on l’entendre à Haute Nendaz ?

-  Dans un premier temps, il faut déterminer la distance d’ entre la source sonore et Haute Nendaz :

-  Pour ce faire, on utilise le DOC. 3 qui donne la carte topologique de la région.

-  Tableau :

-   

-  L’atténuation de l’onde par absorption n’est pas prise en compte.

-  On ne tient compte que de l’atténuation géométrique.

-  Au cours de la propagation de l’onde sonore, l’énergie de l’onde sonore se répartit sur une surface de plus en plus grande (surface d’une sphère).

-  Au cours de la propagation, sans absorption, de l’onde sonore, la puissance P de la source se répartit sur la surface S d’une sphère centrée sur la source.

-  À la distance r, la surface de l’onde :  S = 4 π . r² ;

-  l’intensité sonore I :

►  Fonction réciproque de la fonction logarithme décimal :

-  cette relation est équivalente à :

-  Il est possible de calculer une intensité sonore I à partir de la connaissance du niveau d’intensité sonore L :

-  Relation : 

-  On peut calculer l’intensité sonore I du cor des Alpes à 1,0 m de la source :

-  Sachant que : L = 100 dB

-   

-  Puissance sonore du signal initial :

-   

-  Intensité sonore I’ à la distance d’ de la source :

-   

-  Application numérique :

-   

-  Niveau d’intensité sonore L’ :

-   

►  Autre méthode avec moins de calculs littéraux :

-  Intensité sonore I du cor des Alpes à 1,0 m de la source :

-  Sachant que le niveau d’intensité sonore est  : L = 100 dB

-  Intensité sonore I’ de la source à la distance d’ = 8,7 km

-  Dans ce cas, le niveau d’intensité sonore est L’.

-   

-  D’autre part, à la distance d du cor des Alpes :

-   

-  À la distance d’ :

-   

-  La source étant isotrope elle émet la même énergie, la même puissance P dans toutes les directions :

-   

-   

-  On utilise la propriété de la fonction log : log (a . b) = log a + log b

-   

-  Autre propriété : log a² = 2 log a :

-   

-  Or :

-   

-  Application numérique :

-   

-  Pour savoir si le son est audible, il faut exploiter le DOC. 2 :

-  À la fréquence f = 50 Hz, le son est audible si son niveau d’intensité sonore L ≥ 46 dB.

-  Dans le cas présent, le son n’est perçu qu’avec un niveau d’intensité sonore L’ = 21 dB.

-  En conséquence ce son n’est pas audible à Haute Nendaz.

-  Les premiers cors des Alpes (XIV^e siècle) étaient traditionnellement utilisés par les gardiens de troupeaux pour communiquer entre eux sur des distances d'une dizaine de kilomètres.

-  Comment expliquer ceci ?

-  Le son émis par un cor des Alpes est un son complexe.

-  On remarque que les harmoniques de rang n ≥ 3 pourrait être perçus.

-  Mais un niveau d’intensité sonore de 21 dB est un niveau faible qui peut être masqué par le bruit ambiant.

VI- Exercice : Déterminer la vitesse d’un hélicoptère par effet Doppler.

1)- Énoncé.

Très pratiques pour porter secours ou déposer du matériel en terrain accidenté, les hélicoptères peuvent également se déplacer à des vitesses dépassant les 250 km . h^–1.

Avec un niveau d'intensité sonore de 99 dB à proximité immédiate, ils sont moins bruyants qu'ils ne l'étaient il y a quelques dizaines d'années.

DOCUMENT : Représentations des fronts de l'onde sonore émise par l'hélicoptère à un instant donné.

Les portions de cercle des figures 1. et 2. représentent les fronts de l'onde sonore (Maxima de l’élongation) émise par un hélicoptère à un instant donné.

Le point P représente l'hélicoptère.

Dans le cas de la figure 1. l'hélicoptère est immobile.

Dans le cas de la figure 2., il se déplace à la vitesse de valeur v_S constante le long de (OA) et vers l'observateur placé au point O.

Les mouvements sont étudiés dans le référentiel terrestre.

DONNÉE : Fréquence de l’onde émise par l’hélicoptère : f₀ = 8,0 × 10² Hz

QUESTIONS :

1.  Question préliminaire :

a)-  Déterminer, avec précision, les longueurs d'onde λ₀ et λ’ de l'onde sonore reçue par l'observateur lorsque l'hélicoptère est respectivement immobile, puis en mouvement rectiligne uniforme.

b)-  En déduire une estimation de la célérité v de l'onde sonore. Commenter la valeur obtenue.

2.  Exploitation :

a)-  À partir des résultats obtenus aux deux questions précédentes, calculer la fréquence f’ de l'onde sonore reçue par l'observateur lorsque l'hélicoptère est en mouvement.

b)-  Préciser si le son reçu par l'observateur est plus aigu ou plus grave que celui qu’entend le pilote.

3.  Étude des fronts d’onde : dans le DOCUMENT, les fronts d'onde, notés F et G, ont été émis respectivement aux dates t et t’.

a)-  Établir l'expression du décalage Doppler de la longueur d'onde :

b)-  En déduire la valeur de la vitesse de l'hélicoptère et déterminer si le résultat obtenu est compatible avec l'information concernant la vitesse d'un hélicoptère donnée dans le texte d'introduction de l'exercice.

4.  Un niveau d'intensité sonore L = 66 dB est mesuré lorsque l'hélicoptère se trouve à une distance d = 300 m de l'observateur. La source sonore (hélicoptère) est supposée isotrope (pas de direction d’émission privilégiée) et l’atténuation par absorption n'est pas prise en considération.

a)-  Déterminer le niveau d'intensité sonore lorsque l'appareil est à 50 m au-dessus de l'observateur.

b)-  Nommer le type d'atténuation qui explique que le niveau d'intensité sonore est plus faible à 300 m de l'hélicoptère qu'à 50 m.

2)- Correction.

1.  Question préliminaire :

a)-  Détermination, des longueurs d'onde λ₀ et λ’.

-  λ₀ : longueur d’onde de l'onde sonore reçue par l'observateur lorsque l'hélicoptère est immobile :

-  Exploitation de la figure 1

-  La longueur d’onde λ est la distance parcourue par l’onde en une période T :

-  Pour plus de précision, on utilise les fronts d’onde les plus éloignés.

-  Mesures :

-   

-  λ’ : longueur d’onde de l'onde sonore reçue par l'observateur lorsque l'hélicoptère est en mouvement rectiligne uniforme (il se déplace vers l’observateur)

-  Exploitation de la figure 2

-  Mesures :

-   

b)-  Estimation de la célérité v de l'onde sonore.

-  Relation fondamentale : λ = v . T

-  Avec : 

-  Dans le cas présent :

-   

-  Commentaire sur la valeur obtenue :

-  Ce résultat est convenable vu la précision des différentes mesures.

-  D’autre part, la vitesse du son dans l’air dépend beaucoup de la température.

-  Relation donnant la vitesse du son dans l’air en fonction de la température :

-  avec T température absolue

-   

-  Avec : v_th0 = 331,45 m . s^-1.

-  Valeur de la célérité du son dans l’air en fonction de la température (pour quelques températures)

Mesure de la célérité d'un son dans l'air

2.  Exploitation :

a)-  Fréquence f’ de l'onde sonore reçue par l'observateur lorsque l'hélicoptère est en mouvement.

-  On connaît la longueur d’onde λ’ de l'onde sonore reçue par l'observateur lorsque l'hélicoptère est en mouvement rectiligne uniforme (il se déplace vers l’observateur)

-  λ’ ≈ 0,37 m

-  On connait la vitesse v du son dans l’air :

-  v ≈ 3,5 × 10² m . s^-1

-  À partir de la relation fondamentale, on détermine la valeur de la fréquence de l’onde sonore reçue par l’observateur :

-   

b)-  Nature du son reçu par l'observateur.

-  En conséquence f’ > f :

-  Le son perçu par l’observateur est plus aigu que celui reçu par le pilote.

3.  Étude des fronts d’onde :

a)-  Expression du décalage Doppler

-  Analyse du DOCUMENT :

-  Les fronts d'onde, notés F et G, ont été émis respectivement aux dates t et t’

►  L’hélicoptère est immobile :

-  La durée qui sépare les dates t et t’ correspond à une période de l’onde sonore.

-  t’ – t = T₀

-  Or pendant une période T₀, l’onde sonore parcourt une distance correspondante à sa longueur d’onde λ₀.

-  On peut écrire la relation suivante :

-  λ₀ = v . T₀ = v .( t’ – t)

►  L’hélicoptère se déplace à la vitesse v_S.

-  On remarque que les fronts d’onde sont plus resserrés.

-  Pendant la durée T₀, la source (l’hélicoptère) s’est rapprochée de l’observateur de la distance :

-  ℓ = v_S. T₀

-  Les trains d’onde se sont rapprochés de la distance ℓ.

-  λ^’ = λ₀ – ℓ

-  λ^’ = λ₀ – v_S. T₀

-  λ₀ – λ^’ = v_S. T₀

-  avec :  λ₀ = v . T₀

-  On en déduit l’expression du décalage Doppler :

-   

b)-  Valeur de la vitesse de l'hélicoptère

-   

-  Application numérique :

-   

-  Vitesse de l’hélicoptère en km . h^–1

-   

-  Les hélicoptères peuvent également se déplacer à des vitesses dépassant les 250 km . h^–1.

-  Le résultat obtenu est compatible avec l'information concernant la vitesse d'un hélicoptère donnée dans le texte d'introduction de l'exercice.

4.  Atténuation sonore :

a)-  Niveau d'intensité sonore lorsque l'appareil est à 50 m au-dessus de l'observateur.

-  Un niveau d'intensité sonore L = 66 dB est mesuré lorsque l'hélicoptère se trouve à une distance d = 300 m de l'observateur.

-  La source sonore (hélicoptère) est supposée isotrope (pas de direction d’émission privilégiée) et l’atténuation par absorption n'est pas prise en considération.

►  Intensité sonore d’une source isotrope :

-  Pour une source isotrope (c’est-à-dire émettant la même énergie dans toutes les directions) de puissance P, l’intensité sonore I au point M dépend de la distance d à la source et s’exprime de la façon suivante :

-  avec I en W . m^–2 , P en W et d en m.

-  Expression du niveau d’intensité sonore : L

-  Relation mathématique :

-  Un niveau d'intensité sonore L = 66 dB est mesuré lorsque l'hélicoptère se trouve à une distance d = 300 m de l'observateur.

-  En conséquence :

-   

-  On note L’ le niveau d’intensité sonore de l’appareil lorsqu’il est à la distance d’ = 50 m :

-   

-  La source étant isotrope elle émet la même énergie, la même puissance P dans toutes les directions :

-  Intensité sonore I à la distance d de la source

-   

-  Intensité sonore I’ à la distance d’ de la source :

-   

-  On tire l'expression suivante :

-   

-  En utilisant les propriétés de la fonction logarithme et le fait que :

-   

-  Application numérique :

-   

b)-  Type d'atténuation qui explique que le niveau d'intensité sonore est plus faible à 300 m de l'hélicoptère qu'à 50 m.

-  Il s’agit de l’atténuation géométrique :

-  L’atténuation de l’onde par absorption n’est pas prise en compte.

-  On ne tient compte que de l’atténuation géométrique.

-  Au cours de la propagation de l’onde sonore, l’énergie de l’onde sonore se répartit sur une surface de plus en plus grande (surface d’une sphère).

-  Au cours de la propagation, sans absorption, de l’onde sonore, la puissance P de la source se répartit sur la surface S d’une sphère centrée sur la source.

-  À la distance r, la surface de l’onde :  S = 4 π . r² ;

-  l’intensité sonore I :

►    L’atténuation géométrique A :

-  C’est la diminution, du niveau d’intensité sonore, en décibel (dB) lorsque la distance à la source sonore augmente.

-  Schéma :

-  L’intensité sonore et le niveau d’intensité sonore diminuent lorsque l’on s’éloigne de la source sonore.

-  Lorsque la distance à la source est multipliée par deux l’intensité sonore est divisée par 4 et le niveau d’intensité sonore diminue de 6 dB.

-  L’atténuation géométrique ne dépend pas de la fréquence du son émis par la source mais uniquement de la distance de la source sonore au point considéré.