Charge d’un condensateur à intensité constante :

Un condensateur (MN ),

Capacité du condensateur C = 3,0 mF, 

Générateur de courant :

Intensité constante :  I₀ = 2,0 μA arrivant sur l’armature N

Durée : Δt = 2 minutes 30 secondes = 150 s

Représentation d’un condensateur :

Dynamique du dipôle (R, C)

-  Représentation : convention récepteur.

-  On écrit :

Schéma du montage :

1.  Quantités d’électricité portées par chacune des armatures du condensateur :

-  L’armature N porte la charge électrique q_N positive.

-  L’armature M porte la charge électrique q_M négative.

-  Relation : q_M = – q_N

-  D’autre part :

-  q_N = I₀ × Δt

-  q_N = 2,0 × 10^–6 × 150

-  q_N ≈ 3,0 × 10^–4 C

-  En conséquence :

-  q_M ≈ – 3,0 × 10^–4 C

2.  Valeur de la tension u_MN aux bornes du condensateur ainsi chargé :

-  Par définition :

-   

-  Or : u_MN = – u_NM

-   

Charge d’un condensateur à tension constante :

Au cours de la charge, à tension constante, d’un condensateur de capacité C à travers un conducteur ohmique de résistance R,

on a relevé ta tension aux bornes du condensateur en fonction du temps.

On a obtenu le graphique représenté sur le schéma ci-dessous.

Le générateur de charge est un générateur idéal de tension de f.é.m. E.

1.  Commenter le graphique obtenu.

2.  Quelle est la tension aux bornes du condensateur en fin de charge.

3.   :

a.  Tracer la tangente à la courbe à l’instant t = 0 s.

b.  À partir du point d’intersection de cette tangente avec l’asymptote horizontale de la courbe de charge,

en déduire la constante de temps τ du circuit.

c.  Une autre méthode de calcul de τ consiste à déterminer la durée pour laquelle le condensateur possède 63 % de sa charge maximale.

Comparer les valeurs obtenues par les deux méthodes.

4.  Quelle est la valeur de la capacité C du condensateur si R = 2200 Ω ?

Charge et intensité algébrique :

Le condensateur de capacité C est chargé à travers une résistance R

à l’aide d’un générateur idéal de tension de f.é.m E.

Schéma du circuit :

1.  Donner le signe :

a.  De q_B.

b.  De

2.   :

a.  Donner la relation entre i et .

b.  La charge q_A augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?

c.  En déduire le sens du courant.

Énergie stockée dans un condensateur :

Un condensateur de capacité C = 1,0 F ne peut supporter entre ces bornes une tension supérieure à 5,0 V.

1.  Quelle est la valeur maximale de l’énergie qu’il est susceptible de stocker ?

2.  Quelle est alors la quantité d’électricité portée par chacune des armatures ?

3.  Le condensateur chargé sous 5,0 V est ensuite déchargé dans une résistance R.

Quelle doit-être la valeur de celle-ci, l’intensité maximale du courant ne devant pas dépasser 2,0 A ?

Énergie stockée dans un condensateur :

Un condensateur de capacité C = 1,0 F ne peut supporter entre ces bornes une tension supérieure à 5,0 V.

Schéma du circuit :

1.  Valeur maximale de l’énergie qu’il est susceptible de stocker :

-  On charge le condensateur avec une source idéale de tension de force électromotrice :

-  E = 5,0 V

-  Relations importantes :

-  La charge q_A de l’armature A d’un condensateur est proportionnelle, à chaque instant, à la tension u_AB = u_C entre ses bornes :

-  L’intensité du courant est la dérivée, par rapport au temps, de la charge électrique q_A :

-  L'énergie stockée par le condensateur est de l'énergie potentielle électrostatique :

WC	Énergie stockée par le condensateur en watt (W)
uAB ou uC	Tension aux bornes du condensateur en volt (V)
C	Capacité du condensateur en farad (F, μF, nF ou pF)

-   

-  Application numérique :

-   

2.  Valeur de la quantité d’électricité portée par chacune des armatures :

-  Schéma :

-  Quantité d’électricité q_A portée par l’armature A :

-  q_A = C . u_C

-  q_A = 1,0 × 5,0

-  q_A ≈ 5,0 C

-  Quantité d’électricité q_B portée par l’armature B :

-  q_B = – q_A

-  q_B ≈ – 5,0 C

3.  Valeur de la résistance R :

-  Le condensateur chargé sous 5,0 V :

-  Décharge dans une résistance R :

-  Intensité maximale du courant : I_max ≤ 2,0 A 

-  Schéma du montage :

-  Lorsque le condensateur est chargé, on bascule l’interrupteur sur la position 2 pour le décharger.

-  Loi des mailles (additivité des tensions) :

-  u_R + u_C = 0

-  R . i + u_C = 0 avec

-  On en déduit l’équation différentielle vérifiée par la tension u_C lors de la décharge :

-   

►  Solution de l’équation différentielle vérifiée par la tension u_C lors de la décharge :

-  Les solutions d’une équation différentielle y’ = a . y + b avec a ≠ 0,  sont de la forme :

-   

-  La constante K est liée aux conditions initiales.

-  Les constantes a et b sont liées aux caractéristiques du circuit.

-  En utilisant la formulation précédente :

-   

-  Avec comme solution :

-   

-  On en déduit que :

-   

-  Recherche de l’expression de K :

-  Au temps t = 0 s, u_C (0) = E :  le condensateur est chargé :

-  K = E

-  Solution de l’équation différentielle :

-   

-  Le produit R . C représente le temps caractéristique du dipôle RC série.

-  Il a la dimension d’un temps.

►  Allure de la courbe :

-  Or : avec

-   

-  L’intensité du courant est négative.

-  Le courant circule dans le sens inverse du sens positif choisi.

-  L’intensité est maximale, en valeur absolue au temps t = 0 s

-   

-  Car E et R sont des grandeurs positives.

-  On peut en déduire la valeur de la résistance R lors de la décharge :

-   

-  La valeur de la résistance R du circuit doit être supérieure ou égale à 2,5 Ω.

Charge et décharge d’un condensateur : visualisation à l’oscilloscope :

Afin d’étudier la charge et la décharge d’un condensateur, on réalise un circuit comportant en série :

-  Un G.B.F délivrant une tension en créneaux ;

-  Un conducteur ohmique de résistance R = 200 Ω.

-  Un condensateur de capacité C.

On obtient les oscillogrammes ci-dessous :

1.   :

a.  Quelle est la courbe qui représente :

-  La tension u_MN aux bornes du conducteur ohmique ?

-  La tension u_NP aux bornes du condensateur ?

b.  En déduire celle qui permet de connaître les variations de l’intensité du courant en fonction du temps.

c.  À quoi correspondent les deux parties de chaque courbe ?

2.  Déterminer grâce aux oscillogrammes, les grandeurs suivantes :

a.  La tension maximale aux bornes du condensateur ;

b.  La tension maximale aux bornes du conducteur ohmique ;

c.  L’intensité maximale du courant de charge ;

d.  La valeur approximative de la constante de temps τ ;

e.  La valeur approximative de la capacité C.

Charge et décharge d’un condensateur : Visualisation à l’oscilloscope :

-  Un G.B.F délivrant une tension en créneaux ;

-  Un conducteur ohmique de résistance R = 200 Ω.

-  Un condensateur de capacité C.

-  Montage :

1.   :

a.  Courbe qui représente :

-  La courbe 1 représente la tension u_MN aux bornes du conducteur ohmique :

-  Avec l’orientation choisie : u_MN = R . i

-  La courbe 2 représente la tension u_PN

-  Avec l’orientation choisie : u_PN = – u_PN = – u_C

-  Pour visualiser la tension aux bornes du condensateur,

on appuie sur la touche – B (ou – CH2) de la voie B ou 2 de l’oscilloscope.

b.  Courbe qui permet de connaître les variations de l’intensité du courant en fonction du temps.

-  Courbe 1 :

-  Avec l’orientation choisie au temps t :

-  u_R = u_MN = R . i

-  En conséquence :

-  La courbe 1 permet de connaître les variations de l’intensité du courant i ceci à une constante près.

c.  Étude des deux parties de chaque courbe :

-  Première partie :

-  Charge du condensateur : l’intensité diminue et s’annule lorsque le condensateur est chargé.

-  Décharge du condensateur : l’intensité du courant change de sens

et elle s’annule lorsque le condensateur est déchargé.

-  Remarque :

-  Loi des mailles :

-  u_MP = u_MN + u_NP

-  u_MP = R . i + u_C

-  Le G.B.F délivre une tension E = 4 ,00 V pendant une durée de 10 ms,

puis une tension nulle pendant une durée de 10 ms.

-  Lorsque le condensateur est chargé, l’intensité du courant dans le circuit est nulle :

-  u_MP = u_C

-  Schéma :

-  E ≈ 2 div × 2,0 V/div

-  E ≈ 4,0 V

2.  Détermination grâce aux oscillogrammes, des grandeurs suivantes :

a.  Tension maximale aux bornes du condensateur 

-  U_Cmax = 4,0 V

b.  Tension maximale aux bornes du conducteur ohmique

-  U_Rmax = 4,0 V

c.  Intensité maximale du courant de charge 

-  On peut écrire, en valeur absolue :

-  U_max = R . I_max

-   

d.  Valeur approximative de la constante de temps τ 

-  Graphe :

-  La durée de charge du condensateur :

-  Δt ≈ 2 div × 2,0 ms/div

-  Δt ≈ 4,0 ms

-  Un condensateur est chargée à plus 99 % au bout de la durée :

-  Δt ≈ 5 τ

-  On peut en déduire une valeur approximative du temps caractéristique τ.

-   

e.  Valeur approximative de la capacité C

-  On utilisation la relation liant la constante de temps τ aux caractéristiques R et C du circuit.

-  τ = R . C

-   

Étude de la réponse d’un dipôle (R, C) à une tension en créneau :

On veut étudier en travaux pratiques, la réponse d’un dipôle (R, C) à une tension en créneau.

Les objectifs sont :

-  La visualisation de l’évolution de la tension uC aux bornes du condensateur ;

-  La visualisation de l’évolution de la tension aux bornes du G.B.F. ;

-  L’étude de l’influence des divers paramètres sur l’évolution de u_C en fonction du temps.

On dispose du matériel suivant :

-  Trois condensateurs : 1 F, 1 μF, 1 nF ;

-  Trois résistances : 10² Ω, 10³ Ω, 10⁴ Ω ;

-  Un G.B.F. ;

-  Un oscilloscope bicourbe dont la base de temps s’échelonne entre :

-  100 ms . div^–1 et 0,2 μs . div^–1.

1.  Dans le cas de chacun des trois objectifs cités plus haut, indiquer :

a.  Le schéma du montage utilisé comprenant les valeurs choisies pour R et C ;

b.  Le protocole expérimental (le décrire brièvement).

2.  On a obtenu les deux oscillogrammes suivants pour des fréquences différentes de la tension en créneaux

délivrée par le générateur pour un dipôle (R, C). La courbe Y₁ correspond à la tension délivrée par le G.B.F. ,

la courbe Y₂ à la tension aux bornes du condensateur.

a.  Reconnaître, sur l’un des oscillogrammes, les portions de courbe correspondant à la charge ou à la décharge.

b.  Expliquer l’évolution de la forme de la réponse obtenus sur la courbe Y₂.

Données : R = 1 kΩ et C = 1 μF

Étude de la réponse d’un dipôle (R, C) à une tension en créneau :

1.  Dans le cas de chacun des trois objectifs cités plus haut, indiquer :

a.  Schéma du montage utilisé comprenant les valeurs choisies pour R et C :

-  Schéma :

-  Voie Y₁ : Tension u_MP : Tension aux bornes du générateur (G.B.F.)

-  Voie Y₂ : Tension u_NP : Tension aux bornes du condensateur (u_C)

-  Réglages préliminaires de l’oscilloscope :

-  Base de temps :

-  On observe une ligne lumineuse pour chaque voir :

-  La voie 1 ou Y₁ : On déplace la ligne lumineuse vers le haut et au milieu de cette partie.

-  La voie 2 ou Y₂ : On déplace la ligne lumineuse vers le bas et au milieu de cette partie.

-  Sensibilité verticale :

-  Oscillogramme obtenu :

b.  Le protocole expérimental (le décrire brièvement).

-  On règle l’oscilloscope afin d’obtenir un oscillogramme exploitable :

-  On doit observer d’une à deux périodes du signal donné par le G.B.F.

-  Le temps caractéristique du circuit :

-  τ = R . C

-  Au bout de la durée Δt = 5 τ, le condensateur est chargé à plus de 99 %.

►  1^ier cas : 

-  Si C = 1 F et R = 100 Ω, alors τ = R . C = 100 s

-  Pour observer la charge ou la décharge du condensateur :

-  Δt = 500 s,

-  On ne peut observer, ni la charge, ni la décharge.

-  La sensibilité horizontale maximale est : b = 0,2 s . div^–1.

-  L’écran d’un oscilloscope fait 10 div sur 8 div :

►  Deuxième cas :

►  3^ième Cas :

2.  On a obtenu les deux oscillogrammes suivants pour des fréquences différentes de la tension en créneaux

délivrée par le générateur pour un dipôle (R, C). La courbe Y₁ correspond à la tension délivrée par le G.B.F. ,

la courbe Y₂ à la tension aux bornes du condensateur.

-  Oscillogrammes :

Données : R = 1 kΩ et C = 1 μF

a.  Les portions de courbe correspondant à la charge ou à la décharge.

-  Oscillogrammes :

b.  Évolution de la forme de la réponse obtenus sur la courbe Y₂.

-  Si C = 1 μF et R = 1 kΩ, alors τ = R . C = 1 ms

-  Pour observer la charge ou la décharge du condensateur :

-  Δt ≥ 5 ms,

-  Pour Δt ≥ 5 τ, le condensateur a le temps de se charger et de se décharger complétement.

-  Pour Δt ≈ τ, le condensateur n’a plus le temps de se charger et de se décharger.