DS. N° 18 Diffraction et interférences

DS N° 18

Diffraction et interférences

Cours.

Exercices

Exercices 2024

DS N° 01 : Observation d’une exoplanète (20 min)

DS N° 02 : Les fentes de Young (30 min)

Préparation à l'ECE.

DS N° 01 : Observation d’une exoplanète (20 min)

Les exoplanètes (planètes situées en dehors du système solaire) sont difficiles à détecter étant donné leur éloignement et leur manque de luminosité

par rapport aux étoiles autour desquelles elles tournent.

Actuellement, l’observation de détails avec un télescope terrestre est principalement limitée par le phénomène de diffraction lié à l’ouverture circulaire d du télescope.

La première exoplanète dont on a pu faire une image par observation directe dans le proche infrarouge s’appelle 2M1207b.

Cette exoplanète orbite à une distance estimée à 55 unités astronomiques (ua) autour de l’étoile 2M1207a, située elle-même à 230 années-lumière (al) de la Terre.

A. Diffraction par une ouverture circulaire.

$Diffraction par une ouverture circulaire$

- Dans le cas d’une ouverture circulaire, on admet que l’angle caractéristique de diffraction θ_diff (en radian) vérifie la relation suivante :

- $diffraction θdiff (en radian)$

- La grandeur λ est la longueur d'onde du faisceau incident ;

- La grandeur d est le diamètre de l’ouverture.

B. Écart angulaire et diffraction.

Des rayons lumineux issus d’un couple étoile-planète et passant par l’ouverture circulaire d’un télescope terrestre sont représentés sur le schéma ci-dessous.

$Écart angulaire et diffraction$

- La grandeur α est l’écart angulaire entre l’étoile et la planète, c’est-à-dire l’angle séparant l’étoile de la planète vues de la Terre.

- Cet écart angulaire α est petit et se calcule par l’expression suivante :

- r : distance planète-étoile

- d_{Terre-étoile} : distance Terre-étoile.

C. Critère de Rayleigh pour distinguer deux objets.

Un télescope permet de distinguer deux objets à condition que l’écart angulaire α entre ces deux objets soit supérieur ou égal à l’angle de diffraction θ_diff.

1. À quelle condition l’étoile et la planète seront-elle vues séparément ?

2. Déterminer le diamètre D du télescope terrestre permettant de distinguer la planète 2M1207 b de l’étoile 2M1207a

sachant que la longueur d’onde des rayons lumineux provenant des deux objets célestes est λ = 2,0 μm.

- Données :

- Unité astronomique : 1 ua = 1,496 × 10¹¹ m

- Année-lumière : 1 a.l = 9,461 × 10¹⁵ m

Correction

DS N° 02 : Les fentes de Young (30 min)

Une figure comme celle-ci-dessous est observée sur un écran en éclairant un dispositif avec une lumière dont la longueur d’onde dans le vide est λ₀.

1. À quelle(s) condition(s) peut-on observer une telle figure ?

2. On note D la distance entre le dispositif et l’écran et b la distance entre les deux fentes S₁ et S₂ de ce dispositif.

En un point P de l’écran d’abscisse x_k, la différence de chemin optique ΔL des rayons issus de S₁ et S₂ est donnée par la relation :

a. À quelle condition obtient-on une frange brillante au point P ?

b. Déterminer l’expression de l’interfrange i.

c. Déterminer le nombre maximal de franges brillantes observables sur l’écran

de largeur ℓ = 10 cm si λ₀= 650 nm, b = 0,20 mm et D = 1,50 m.

Correction

DS N° 01 : Observation d’une exoplanète (20 min)

- Données :

- Ouverture circulaire du télescope : d

- Orbite de l’exoplanète

- r = 55 unités astronomiques (ua)

- Distance Terre-étoile :

- d_{Terre-étoile} = 230 al

- Angle caractéristique de diffraction θ_diff

- $Angle caractéristique de diffraction θdiff$

- La grandeur λ est la longueur d'onde du faisceau incident ;

- La grandeur d est le diamètre de l’ouverture.

- Écart angulaire entre l’étoile et la planète :

- Unité astronomique : 1 ua = 1,496 × 10¹¹ m

- Année-lumière : 1 al = 9,461 × 10¹⁵ m

1. Condition pour que l’étoile et la planète soient vues séparément :

- L’écart angulaire α entre l’étoile et la planète doit être supérieur ou égal à l’angle de diffraction θ_diff.

- L’angle caractéristique de diffraction θ_diff (en radian) vérifie la relation suivante :

- $angle caractéristique de diffraction θdiff (en radian)$

- Diamètre de l’ouverture du télescope : D

- Phénomène de diffraction associé à l’ouverture D du télescope :

- L’angle caractéristique de diffraction θ_diff (en radian) vérifie la relation suivante :

- $angle caractéristique de diffraction θdiff (en radian)$

- L’étoile est la planète sont vues séparément :

L’étoile est la planète sont vues séparément

- α > θ_diff

- Diamètre D du télescope

2. Diamètre D du télescope terrestre permettant de distinguer la planète 2M1207 b de l’étoile 2M1207a.

- Longueur d’onde des rayons lumineux provenant des deux objets célestes :

- λ = 2,0 μm.

- Relation :

- D = 65 cm

- Le diamètre de l’ouverture du télescope doit être supérieure à 65 cm.

► L’ouverture d’un télescope :

- Les télescopes ont deux importantes caractéristiques : la distance focale et l’ouverture.

- La distance focale correspond à la longueur entre l’ouverture et le foyer d’un télescope

- L’ouverture d’un télescope est le diamètre de la pièce optique qui collecte la lumière du télescope.

- Pour un télescope réfracteur, c’est le diamètre de la lentille de l’objectif.

- Pour un télescope réflecteur, c’est le diamètre du miroir primaire.

- La taille de l’ouverture du télescope est la partie la plus importante.

- Elle détermine la capacité à collecter la lumière provenant des cibles célestes.

- Plus la quantité de lumière collectée est importante et meilleure est l’image obtenue (clarté et netteté).

- Hubble est un télescope à réflecteur dont le diamètre de son miroir primaire est de 2,4 m.

- Le télescope spatial James Webb (JWST) :

- Son miroir primaire comprend 18 miroirs hexagonaux.

- Il en résulte une ouverture de diamètre d = 6,5 m.

- Le télescope GRAN TELESCOPIO CANARIAS (Espagne) est le plus grand télescope terrestre du monde :

- Ouverture de diamètre : d = 10,4 m.

DS N° 02 : Les fentes de Young (30 min)

1. Conditions pour observer une figure d’interférences :

- Cas des fentes de Young :

- Pour observer une figure d’interférences avec de la lumière, il faut éclairer les deux fentes avec une unique source de lumière monochromatique.

- Les deux fentes étroites se comportent comme des sources lumineuses synchrones et en phase.

- Pour observer des interférences avec des sources lumineuses, il faut que les deux sources soient ponctuelles, synchrones et en phase.

2. Interférences constructives et destructives

a. Condition pour obtenir une frange brillante au point P :

- Schéma de la situation :

schéma

- Distance entre le dispositif et l’écran :

- D = 1,50 m

- Distance entre les deux fentes S₁ et S₂ de ce dispositif :

- b = 0,20 mm

- En un point P de l’écran d’abscisse x_k,

- Différence de chemin optique ΔL des rayons issus de S₁ et S₂:

► Interférences constructives :

- Si ΔL = k . λ₀ avec k € ℤ

- Les ondes arrivent en phase au point considéré.

- Les interférences sont constructives.

- On observe une frange brillante.

► Interférences destructives :

- Si interférences destructives avec k € ℤ

- Les ondes arrivent en opposition de phase au point considéré.

- Les interférences sont destructives.

- On observe une frange sombre.

- Comme on veut observer une frange brillante au point P :

- relation avec k € ℤ

b. Expression de l’interfrange i.

- Lors d’interférences lumineuses, l’interfrange, notée i, est la distance séparant deux franges brillantes consécutives ou deux franges sombres consécutives.

- i = x_k+1 – x_k

- Prenons le cas de deux franges brillantes consécutives :

- ΔL_k = k . λ₀ et

- ΔL_k+1 = (k + 1) . λ₀ et

- interfrange i

- L’interfrange i est donnée par la relation suivante :


i	Interfrange en mètre (m)
λ₀	Longueur d’onde de la radiation dans le vide en mètre (m)
D	Distance des sources lumineuses à l’écran en mètre (m)
b	Distance entre les deux sources lumineuses en mètre (m)