Identifier un transfert thermique :

Un jour d’été très chaud, la température de l’eau du lac de Lacanau en Gironde est 23 ° C,

la température de l’air 30 ° C et celle du sable 25 ° C.

1. Identifier le mode de transfert thermique principal entre l’eau et le Soleil, l’eau et le sable, l’eau et l’air.

2. Indiquer le sens de ces transferts et leur signe si le système étudié est l’eau du lac.

Identifier un transfert thermique :

1. Identification du mode de transfert thermique principal :

-  Entre l’eau et le Soleil : le rayonnement thermique W_R

-  Entre l’eau et le sable : la conduction thermique Q₁

-  Entre l’eau et l’air : la convection thermique Q₂

2.  Sens des transferts et leur signe si le système étudié est l’eau du lac.

-  Le rayonnement thermique W_R se produit dans tout milieu et même dans le vide.

-  Le transfert thermique s’effectue du corps chaud vers le corps froid.

Déterminer un flux thermique :

En été, un flux thermique Φ s’effectue à travers le pare-brise séparant l’habitacle d’une voiture, de l’air extérieur.

1- Déterminer le sens du flux thermique Φ traversant le pare-brise.

2- Calculer Φ.

- Données :

- Résistance thermique du verre du pare-brise :

- R_th = 3,0 × 10^–3 ° C . W^–1.

- La résistance thermique R_th et le flux Φ orienté d’un point A

  vers un point B sont liés par :

- 

Déterminer un flux thermique :

1- Sens du flux thermique Φ traversant le pare-brise.

- Schéma :

- Le transfert thermique s’effectue du corps chaud vers le corps froid.

- Il a lieu de l’extérieur de la voiture vers l’intérieur de la voiture

- Le flux thermique est orienté de l’extérieur (T_A = 40 ° C) vers l’intérieur (T_B = 22 ° C).

2- Calcul du flux thermique Φ.

-  

Exploiter la loi de Stefan-Boltzmann :

La photosphère est la surface visible du Soleil. Sa température moyenne est 5778 K.

Les taches solaires (sunspot) sont des zones de température plus faible.

La puissance surfacique émise au niveau d’une des taches solaires est voisine de :

1,18 × 10⁷ W . m^–2.

1. Déterminer la puissance surfacique moyenne émise par la photosphère considérée comme un corps noir.

2. Calculer la température de surface au niveau de la tache solaire évoquée.

- Donnée :

- La loi de Stefan-Boltzmann :

- La puissance thermique surfacique p émise par un corps noir :

- p = σ . T⁴

- σ : Constante de Stefan-Boltzmann ((W . m^–2 . K^–4)

- σ = 5,67 ×10^–8 W . m^–2 . K^–4

Discuter de l’influence de l’Albédo :

-  Compléter les affirmations suivantes avec certains termes ci-dessous :

-  Absorbé(e) ; 70 % ; inférieur(e) ; 30 % ; supérieur(e) ; renvoyé(e).

a.  L’albédo est le pourcentage de la puissance solaire qui est ………. par le système {Terre et atmosphère}

b.  L’albédo de la glace est ………. à celui des forêts.

c.  Sans albédo, la température terrestre moyenne serait ………. à celle avec l’albédo.

Exploiter la loi de Newton :

La paroi d’un système incompressible à la température T = 323 K

est mise en contact avec un fluide à la température constante T_e = 293 K.

On suppose ici que le coefficient d’échange convectif h du fluide est :

h = 10 W . m^–2 . K^–1.

-  Calculer le flux convectif Φ entre le système et l’extérieur à travers la paroi dont la surface S = 1,0 m².

-  Donnée :

-  Loi de Newton :

-  Φ = h . S . (T_e – T)

Exploiter la loi de Newton :

-  Flux convectif Φ entre le système et l’extérieur à travers la paroi

-  h = 10 W . m^–2 . K^–1

-  S = 1,0 m²

-  Loi de Newton :

-  Φ = h . S . (T_e – T)

-  Φ = 10 × 1,0 × (293 – 323)

-  Φ ≈ – 3,0 × 10² W

-  Φ < 0

-  Le système cède de l’énergie au milieu extérieur.

-  Schéma :

Effectuer un bilan d’énergie :

1.  À partir de la loi de Newton, exprimer le transfert thermique Q effectué par convection entre

un système incompressible à la température θ et le milieu extérieur à la température θ_e (ou thermostat) pendant la durée Δt.

Le système ou le milieu extérieur est fluide.

2.  Exprimer Q en fonction de la masse m du système, de sa capacité thermique massique c et de la variation de température Δθ.

3.  Déduire des relations précédentes l’équation différentielle vérifié par la température θ.

-  Donnée :

-  Donnée :

-  Loi de Newton :

-  Φ = h . S . (θ_e – θ)

Effectuer un bilan d’énergie :

1.  Expression du transfert thermique Q effectué par convection

entre un système incompressible à la température θ et le milieu extérieur à la température θ_e (ou thermostat) pendant la durée Δt.

-  Loi de Newton :

-  Φ = h . S . (θ_e – θ)

-  Le système ou le milieu extérieur est fluide :

-  Sur une durée Δt suffisamment courte, on peut considérer que le flux thermique Φ est constant.

-  Q = Φ . Δt

-  Q = h . S . (θ_e – θ) . Δt (1)

2.  Expression de Q en fonction de la masse m du système, de sa capacité thermique massique c et de la variation de température Δθ.

-  Q = m . c . Δθ (2)

3.  Équation différentielle vérifié par la température θ.

-  En combinant les relations (1) et (2) :

-  m . c . Δθ = h . S . (θ_e – θ) . Δt

►  Établissement de l’équation différentielle :

-  Lorsque Δt → 0,

- La limite de l’expression   est égale à la dérivée de θ par rapport au temps t :

-  On écrit en utilisant la notation différentielle :

-  :

-  En développant, on obtient :

-   

-  Et enfin :

-   

-  On est en présence d’une équation différentielle linéaire du premier ordre en θ à coefficients constants avec un deuxième membre constant.

Résoudre une équation différentielle :

À la sortie d’un four, un gâteau dans son moule est à la température

θ_i = 180 ° C.

Le système {gâteau et moule} est laissé à la température ambiante constante θ_e = 20 ° C.

L’équation différentielle vérifiée par la température du système est :

-   

Dans cette relation, a est une constante négative qui dépend du système et du fluide étudié.

1.  Montrer, en résolvant l’équation différentielle, que

2.  Quelle sera la température du gâteau une heure après la sortie du four ?

-  Données :

-  On considère que le système {gâteau et moule} est un système incompressible.

-  On néglige les échanges de matière entre le système et le milieu extérieur :

  Le seul transfert thermique est convectif.

-  Dans la situation étudiée : a = – 3,8 × 10^–4 s^–1

Résoudre une équation différentielle :

1.  Solution de l’équation différentielle  

-  Système d’étude : {gâteau et moule}

-  θ_i = 180 ° C.

-  Température du milieu extérieur : θ_e = 20 ° C

-  L’équation différentielle vérifiée par la température du système est :

-   

-  On considère que le système {gâteau et moule} est un système incompressible.

-  On néglige les échanges de matière entre le système et le milieu extérieur :

  Le seul transfert thermique est convectif.

-  Dans la situation étudiée : a = – 3,8 × 10^–4 s^–1

-  Vérification :

-  Détermination de :

-   

-  On remplace par son expression dans l'équation différentielle :

- 

-  La solution  vérifie bien l’équation différentielle.

-  D’autre part :

-  Au temps t = 0, θ (0) = θ_i

2.  Température θ₁ du gâteau une heure après la sortie du four 

-   

-  Évolution de la température du système au cours du temps :

-  Le temps caractéristique τ :

- 

-  Détermination graphique :

-  On trace la tangente à la courbe au point d'abscisse t = 0 s et l'asymptote horizontale

-  La constante de temps τ est donnée par l'abscisse de leur point d'intersection.

-  On peut considérer que le gâteau est à la température ambiante (20 ° C) au bout de la durée de 5 τ, c’est-à-dire de 3,5 h environ.

Un biberon à la bonne température :

 On trouve sur la notice d’un chauffe-biberon :

« on chauffe un biberon sorti du réfrigérateur en moins de trois minutes.

Le lait est constamment mélangé pendant qu’il chauffe, afin d’éviter la formation de points chaud. »

On étudie le transfert thermique convectif Q entre le lait et un chauffe-biberon maintenant les parois du biberon à la température constante θ_e = 50 ° C.

1.  À l’aide de la loi de Newton, exprimer le transfert thermique Q effectué par convection entre le système {lait} et le milieu extérieur constituant un thermostat,

pendant la durée Δt.

2.  Donner l’expression de Q en fonction de la masse m du système, de sa capacité thermique massique c et de sa variation de température Δθ.

3.  Déduire des relations précédentes l’équation différentielle vérifiée par la température du lait.

4.  Montrer que l’expression  est solution de l’équation différentielle avec  et θ_i la température initiale du lait.

5.  Un biberon contenant du lait à la température θ_i = 5 ° C est placé dans le chauffe-biberon.

a.  Au bout de quelle durée peut-il être donné à la température de 30 ° C au nourrisson ?

b.  La durée obtenue est-elle conforme aux données du fabricant ?

-  Données :

-  On néglige tout transfert thermique autre que convectif entre le système et le milieu extérieur.

-  Surface d’échange du lait dans le biberon : S = 270 cm².

-  Coefficient d’échange convectif du lait dans les conditions de l’utilisation du chauffe-biberon :

-  h = 300 W m^–2 . °C^–1.

-  Capacité thermique massique du lait :

-  c = 4,2 × 103 J . kg^–1 . °C^–1.

-  Masse du lait dans le biberon :

-  m = 350 g

-  loi de Newton :

-  Φ = h . S . (θ_e – θ)

Pertes thermiques :

Un mur est constitué d’une cloison de plâtre de résistance thermique R_th1 collée à une couche de laine de verre de résistance thermique R_th2.

L’ensemble est fixé à une paroi de béton de résistance R_th3.

La surface du mur est S = 20 m². La température à l’intérieur de la pièce est θ_i = 20 ° C ; celle du milieu l’extérieur est θ_e = 5,0 ° C.

1.  Schématiser la situation en indiquant par une flèche le sens des transferts thermiques à travers le mur.

2.  Indiquer le mode transfert mis en jeu.

3.  Calculer la résistance totale R_th du mur.

4.  Calculer le flux thermique Φ traversant le mur.

5.  Comparer Φ avec le flux thermique traversant une simple paroi de béton pour une même différence de température.

-  Données :

-  Résistances thermiques en ° C . W^–1 pour S = 20 m².

-  La résistance totale d’un mur constitué de couches accolées est égale à la somme des résistances thermiques de chacune des couches.

Température des planètes du système solaire :

Différents facteurs influent sur la température de surface d’une planète :

-  La puissance solaire surfacique reçue ;

-  La présence ou non d’une atmosphère ;

-  L’albédo de la planète ;

-  La nature des gaz présents dans l’atmosphère.

A.  Quelques caractéristiques de quatre planètes :

-  Tableau A :

B.  Puissance surfacique p’_S à une distance D entre la planète et le Soleil

-   

-  Puissance surfacique émise par la Soleil à sa surface :

-  p_S = 6,32 × 10⁷ W . m^–2.

-  Le rayon solaire :

-  R_S = 6,96 × 10⁸ m

1.  Calculer p’_S pour chacune des planètes du tableau.

2.  Justifier que la puissance solaire incidente surfacique p_P reçue en moyenne par le système {planète et atmosphère} s’écrit :  .

3.  Évaluer la puissance solaire surfacique moyenne absorbée p_P(abs) par chaque planète.

4.  On considère que les planètes réémettent intégralement la puissance qu’elles ont absorbée.

Calculer la température de surface des quatre planètes considérées comme des corps noirs.

5.  Comparer les résultats à ceux du tableau A et proposer une explication aux différences observées.

-  Données :

-  Loi de Stefan-Boltzmann :

-  Puissance surfacique émise par un corps noir :

-  p = σ . T⁴

-  Constante de Stefan-Boltzmann :

-  σ = 5,67 ×10^–8 W . m^–2 . K^–4

-  T : Température du corps noir en kelvin (K ).

-  Conversion de température : T (K) = θ (° C) + 273.

Température des planètes du système solaire :

1.  Puissance surfacique reçue du Soleil p’_S pour chacune des planètes du tableau.

-  Données :

-   

-  Puissance surfacique émise par la Soleil à sa surface :

-  p_S = 6,32 × 10⁷ W . m^–2.

-  Le rayon solaire :

-  R_S = 6,96 × 10⁸ m

-  Calcul pour Mercure :

-   

-  Tableau :

2.  Justification de la relation : .

-  Schéma :

-  Comme le Soleil est très éloigné de la planète, on considère que les rayons lumineux provenant du Soleil sont parallèles.

-  Puissance solaire incidente surfacique p_P reçue en moyenne par le système {planète et atmosphère} :

-  On considère que la planète se comporte comme un disque de surface S_D et de rayon R_P.

-  Ce disque reçoit la puissance suivante de la part du Soleil :

- _P = p’_S . S_D

- _P = p’_S . π . R_P²

-  La planète tourne sur elle-même.

-  La puissance _P se répartit sur toute la surface de la planète de rayon R_P.

-  Comme on considère que la planète est sphérique, c’est la surface d’une sphère.

-  S_P = 4 .  π . R_P²

-  Pour connaître la puissance surfacique reçue du Soleil par la planète, il suffit de diviser la puissance _P par la surface S_P.

-   

3.  Évaluation de la puissance solaire surfacique moyenne absorbée p_P(abs) par chaque planète.

-  On connait l’Albédo pour chaque planète.

-  L’Albédo est le pouvoir réfléchissant d’une surface.

-  L’albédo α est une grandeur sans unité qui caractérise l’aptitude d’une surface à renvoyer, par diffusion et / ou réflexion, le rayonnement qui lui parvient.

-  Sa valeur est comprise entre 0 et 1.

-  Exemple :

-  Relation :

-  La puissance solaire surfacique moyenne absorbée p_P(abs) :

-  p_P(abs) = p’_S – |p_R|

-  p_P(abs) = p’_S – α . p’_S

-  p_P(abs) = (1 – α) . p’_S

-  Tableau :

4.  Température de surface des quatre planètes considérées comme des corps noirs.

-  Un corps noir est un objet théorique qui absorbe intégralement le rayonnement électromagnétique qu’il reçoit.

-  La loi de Stefan-Boltzmann permet de relier cette température T (K) au flux thermique surfacique rayonné φ_E ou à la puissance thermique surfacique p.

-  Remarque : p est comptée ici positivement.

-  Dans le cas présent, on peut écrire que :

-  p_P(abs) = σ . T⁴

-   

-  Calcul pour la Terre :

-   

-  θ (° C) = T (K)  – 273

-  θ (° C) ≈ – 18 ° C

-  Tableau :

5.  Comparaison des résultats à ceux du tableau A.

-  On remarque que les écarts sont importants pour Vénus et la Terre car ces planètes possèdent une atmosphère qui contient des gaz à effet de serre.

►  Cas de la Terre :

-  Une augmentation de l’effet de serre entraîne une augmentation de la température terrestre moyenne.

-  Schéma :

-  L’effet de serre est dû aux gaz de l’atmosphère (principalement l’eau et le dioxyde de carbone) qui absorbent

et renvoient vers la Terre une partie des radiations infrarouges qu’elle émet.

-  Un gaz à effet de serre est un gaz qui absorbe une partie du rayonnement infrarouge provenant de la Terre

et qui en réémet ensuite une partie vers la Terre et contribue ainsi à son réchauffement.

►  Cas de Vénus :

-  L’atmosphère de Vénus est constituée de 96,5 % de dioxyde de carbone et de 3,5 % de diazote.

-  D’autres gaz sont présents mais en très faibles proportions ( H₂, O₂, H₂S, …)

-  De la vapeur d’eau (H₂O) a été détecté mais en très faible quantité.

-  Vénus et la Terre ont des tailles et des masses comparables.

-  Toutefois, la planète Vénus est plus proche du Soleil que la Terre.

-  Vénus reçoit environ deux fois plus d’énergie solaire que la Terre.

-  Pourtant ce n’est pas pour cette raison que la température moyenne de surface de Vénus (470 ° C) est plus élevée que celle de la Terre (15 ° C) .

-  Cette différence est surtout liée à la présence de dioxyde de carbone (gaz à effet de serre) dans l’atmosphère de Vénus (96,5 %),

alors que la proportion de dioxyde de carbone dans l’air est de l’ordre de 0,04 %.