DS N° 01 :Le principe de la montgolfière (30 min) :

1.  Valeur masse molaire M de l’air :

-  L’air, assimilé à un gaz parfait, est composé en volume de 80 % et diazote N₂ et de 20 % de dioxygène O₂.

-  La masse molaire de l’air est égale à la somme des masses molaires du diazote et du dioxygène coefficientées par leurs pourcentages volumiques.

-  Valeur à trouver : M = 28,8 g . mol^–1

-  Remarque :

-  Pour les gaz, le pourcentage en volume est le même que le pourcentage en quantité de matière :

-  V (O₂) = n (O₂) . V_m ; de même : V (N₂) = n (N₂) . V_m et V (air) = n . V_m

-  Dans le volume V (air) :

-   

-  De plus :

-  m (O₂) = n (O₂) . M (O₂)  ; m (N₂) = n (N₂) . M (N₂)  ;

-  m = n . M

-   

-  Masse m du volume V (air)

-  m = m (O₂) + m (N₂)

-  n . M = n (O₂) . M (O₂)  + n (N₂) . M (N₂) 

-   

-  Application numérique :

-  Masse molaire de l’air

-   

-  La masse molaire M de l’air est bien égale à 28,8 g . mol^–1.

2.  Le modèle du gaz parfait et l’air :

a.  Conditions que doit remplir un gaz pour être assimilé à un gaz parfait.

►  Le gaz parfait :

-  Un gaz est dit parfait si la taille de ses entités est négligeable devant la distance qui les sépare et si les interactions entre elles sont négligeables.

-  À basse pression, tous les gaz peuvent être assimilés à des gaz parfaits.

b.  Quantité de matière d’air présente dans le ballon.

-  Ce ballon de volume 10 L contient de l’air à 20,0 ° C et à une pression P = 1,013 × 10⁵ Pa :

-  L’air est assimilé à un gaz parfait. On peut utiliser l’équation d’état des gaz parfaits :

►  Équation d’état du gaz parfait :

-  Cette équation relie les différentes grandeurs macroscopiques qui permettent de le décrire.

►  Quantité de matière d’air :

-  Conditions de Température et de Pression :

-  T = 270 + 20

-  T ≈ 290 K

-  P = 1,013 × 10⁵ Pa 

-   

c.  Masse d’air compris dans le ballon.

-  m = n . M ≈ 0,42 × 28,8

-  m ≈ 12,1 g

-  m ≈ 12 g

-  Ou :

-   

3.  L’air à l’intérieur du ballon est chauffé à 90 ° C :

a.  Pression de l’air dans le ballon :

-  Comme le ballon est ouvert à sa base, la pression de l’air chauffé, à l’intérieur du ballon, est la pression atmosphérique.

b.  Masse d’air qui s’est échappée du ballon.

-  Température de l’air :

-  T₂ = 270 + 90

-  T₂ ≈ 360 K

-  Pression dans le ballon :

-  P = 1,013 × 10⁵ Pa 

-  Quantité de matière d’air n₂ présente dans le ballon dans ces conditions :

-   

-  Masse m₂ d’air présente dans le ballon dans les conditions de température et de pression :

-   

-  Masse m _échap d’air qui s’est échappé du ballon :

-   

4.  Poids et la poussée d’Archimède :

a.  Deuxième loi de Newton pour le système {ballon et air intérieur} au moment où il décolle.

-  Système : {ballon et air intérieur}

-  Bilan des forces :

-  Poussée d’Archimède et poids de la montgolfière.

-  La valeur de la poussée d’Archimède  exercée sur le ballon est égale à la valeur du poids du volume d’air extérieur déplacé par le ballon.

-  Poids de la montgolfière : Poids de l’enveloppe et poids de l’air intérieur.

-  Schéma de la situation :

-  Énoncé :

-  Dans le cas présent :

-   

-  On projette sur l’axe vertical d’un repère où O est pris au niveau du sol

-  un vecteur unitaire orienté de bas en haut.

-  Schéma :

-  Coordonnées des différents vecteurs :

-   

-  Dans ce cas :

-  La deuxième loi de Newton permet d’écrire les relations suivantes :

- 

-  Relation suivant l'axe (Oz)

-  F_P – P = m . a_z

b.  CCondition de décollage de la montgolfière 

-  Pour que la montgolfière monte, il faut que a_z > 0 car

-  Ainsi les deux vecteurs et ont le même sens (direction verticale et orientation vers le haut) .

-  Donc : F_P – P > 0 => F_P > P

c.  Il faut chauffer l’air intérieur du ballon pour que le décollage ait lieu.

-  En chauffant, de l’air s’échappe de l’intérieur de la montgolfière.

-  Ainsi la masse m_{air int} de la montgolfière diminue :

-  Comme le volume V de la montgolfière est constant , la masse volumique ρ_{air int} de l’air intérieur diminue :

-  P = m_b . g + m_{air int} . g  

-  P = m_b . g + ρ_{air int} . V . g

-  P = (m_b + ρ_{air int} . V) . g

-  Valeur de la Poussée d’Archimède :

-  F_P = ρ_{air ext} . V . g

-  Il faut comparer les grandeurs :

-  (m_b + ρ_{air int} . V) et ρ_{air ext} . V

-  Pour que le ballon monte, il faut que :

-  ρ_{air ext} . V > (m_b + ρ_{air int} . V)

-  ρ_{air int} . V < ρ_{air ext} . V – m_b

-   

-  Au plus l’écart de température entre l’extérieur et l’intérieur est grand, au plus la masse volumique de l’air intérieur est faible par rapport à la masse volumique de l’air extérieur.

DS N° 02 : Géothermie (50 min) :

1.  Schéma des différents transferts d’énergie entre le système {Fluide spécifique} et le milieu extérieur.

-  Un détendeur qui ne consomme pas d’énergie ;

-  Un compresseur qui consomme de l’énergie électrique W_élec et qui permet à un fluide spécifique de récupérer Q₁ à travers le premier échangeur et de restituer Q₂ à travers un second échangeur.

-  Cas du PAC :

-  Fluide spécifique :

2.  Variation d’énergie :

a.  Variation d’énergie interne ΔU₂ de l’eau des radiateurs lorsque sa température évolue.

-  Durée de fonctionnement : Δt = 4,0 h

-  Température initiale de l’eau : θ_i = 12 ° C

-  Température finale de l’eau : θ_f = 20 ° C

-  Le débit massique D_m = 145 kg . h^–1.

-  Masse d’eau : m = D_m . Δt

►  Transfert par chaleur produisant une élévation de température (sans changement d’état) :

-  La variation d’énergie interne ΔU d’une masse m de substance dont la température varie d’une valeur initiale θ_i à une valeur finale θ_f,  sans changement d’état, est donnée par la relation suivante :

-  Dans le cas présent :

-  ΔU₂  = m . c _eau . (θ_f  –  θ_i )

-  ΔU₂ = D_m . Δt . c _eau . (θ_f  –  θ_i )

-  Application numérique :

-  Variation d’énergie interne ΔU₂ de l’eau des radiateurs :

-  ΔU₂ = 145 × 4,0 × 4,18 × 10³ × (20 – 12)

-  ΔU₂ ≈ 1,93 × 10⁷ J

-  ΔU₂ ≈ 1,9 × 10⁷ J

b.  Transfert thermique Q₂ entre le système {Fluide spécifique} et l’eau des radiateurs.

-  Il y a un transfert thermique Q₂ entre le système {Fluide spécifique} et l’eau des radiateurs.

-  Le système {Fluide spécifique} cède Q₂ à l’eau des radiateurs.

-  Il n’y a pas de transfert par travail W entre le système {Fluide spécifique} et l’eau des radiateurs.

-  La variation d’énergie de l’eau des radiateurs provient du transfert thermique entre le système {Fluide spécifique} et l’eau des radiateurs.

-  Pour l’ensemble {Fluide spécifique} et eau des radiateurs, on peut écrire :

-  ΔU₂ + Q₂ = 0

-  Q₂ = – ΔU₂

   Q₂ ≈ – 1,9 × 10⁷ J

-  Remarque :

-  Le fluide constitue un système fermé. Il n’est pas consommé, il circule.

-  Il permet d’optimiser les échanges de transferts thermiques.

3.  Étude du fluide spécifique.

a.    Premier principe pour le système {Fluide spécifique}.

-  Énoncé du premier principe :

-  La variation ΔU_i→f d’énergie interne d’un système,

-  Qui n’échange pas de matière avec le milieu extérieur,

-  Au repos macroscopique,

-  Qui évolue d’un état initial (i) à un état final (f)

-  Est égale à la somme des énergies échangées par le système avec le milieu extérieur,

-  Par travail W et / ou par transfert thermique Q  :

-  Dans le cas présent :

-  Le système : {Fluide spécifique}

-  Il reçoit par transfert thermique Q₁ et par travail électrique W_élec

-  Il cède Q₂ par transfert thermique.

-  Variation d’énergie interne : ΔU ₁

-  On peut écrire :

-  ΔU₁ = Q₁ + W_élec + Q₂

b.  Transfert thermique Q ₁.

-  Au cours d’un cycle, les énergies mécanique et interne du système {Fluide spécifique} ne varient pas.

-  Q₁ + W_élec + Q₂ = 0

-  Q₁ = – (W_élec + Q₂)

-  Q₁ = – W_élec – Q₂

-  Application numérique :

-  Q₁ ≈ – 4,82 × 10⁶ + 1,9 × 10⁷ J

-  Q₁ ≈ 1,45 × 10⁷ J

-  Q₁ ≈ 1,5 × 10⁷ J

4.  Rapport entre l’énergie utile donnée par le PAC à l’eau des radiateurs et l’énergie facturée qu’elle consomme.

-  L’énergie cédée par l’eau est Q₂ ≈ – 1,9 × 10⁷ J

-  L’eau du radiateur gagne l’énergie : – Q₂

-  C’est l’énergie utile.

-  Elle permet de faire passer la température d’une masse m d’eau de 12 °C à 20 °C.

-  L’énergie Q₁ est l’énergie cédée par la Terre. Cette énergie n’est pas facturée.

-  L’énergie qui est facturée : W_élec énergie électrique qui permet le fonctionnement du compresseur.

-   

-  Le PAC :

-  Dans le cas présent, la pompe à chaleur géothermique produit environ

   4 kWh d’énergie thermique pour chauffer la maison, pour

   1 kWh d’énergie électrique consommée.

-  Ce rapport est appelé coefficient de performance (COP)

-  Pour une pompe à chaleur le coefficient de performance est mieux adapté que le rendement.

-  Le rendement du PAC est inférieur à 1 (environ 0,80 pour un PAC), alors que le coefficient de performance est supérieur à 1 ( COP ≈ 4)