Rappels de Math pour les sciences physiques :

I- Dérivée d’une fonction.

1)- Définition :

-  On appelle dérivée d’une fonction au point x₀, la limite si elle existe de la fonction :

-   

-  On note :

-  Autre définition :

-   

2)- Exercice :

-  Soit f (x) = x²

-  Déterminer la fonction dérivée de f (x) = x²

-  On applique la définition :

-   

3)- Propriétés :

4)- Notation différentielle :

-  Posons : x = x₀ + dx ; la grandeur dx représente un infiniment petit.

-  Nouvelle écriture :

-  

-  Pour la fonction f (x) continue et dérivable, f’ (x) représente la fonction dérivée de f (x)

-  Conséquence :

-  Posons :

-  df (x) = f (x + dx) – f (x)

-  La grandeur df (x) représente une variation infinitésimale de la fonction f (x).

-  Autre notation différentielle :

-  Ou encore : df = f’ (x) . dx

-  f’ (x) : dérivée de la fonction f (x) par rapport à x.

5)- Interprétation graphique :

-  Si l’on calcule f’ (x₀), le nombre dérivé donne le coefficient directeur a de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse x₀.

-  Schéma :

-  f’ (x₀) = a = tan α

6)- Dérivées usuelles :

7)- Application directe en physique :

-  La fonction intensité instantanée i est la fonction dérivée de la fonction charge électrique q par rapport au temps t.

-  Notation différentielle : ou i = q’ (t)

-  En physique, lorsque la variable est le temps, on utilise la notation suivante :

-   

-  Remarque :

-  Si q = a . t =>

-  Si q = a =>

8)- Fonction de plusieurs variables : Dérivées partielles.

a)-  Dérivées partielles :

-  Soit f (x, y) :

-  d f (x, y) = f’_x . dx + f’_y . dy

-  La fonction f’_x représente la  dérivée partielle de f (x, y) par rapport à x,

-  y étant supposé constant.

-  La fonction f’_y représente la  dérivée partielle de f (x, y) par rapport à y,

-  x étant supposé constant.

-  On note :

-   

-   

-  On tire l’expression suivante :

-   

b)-  Application 1 :

-  Déterminer l’expression de df (x, y), sachant que f (x, y) = 4 x + 5 y²

-  On part de la formule générale :

-   

-  Il faut calculer , c’est-à-dire la dérivée de l’expression f (x, y) = 4 x + 5 y² par rapport à x, en considérant que y est assimilable à une constante.

-   

-  Il faut calculer , c’est-à-dire la dérivée de l’expression f (x, y) = 4 x + 5 y² par rapport à y, en considérant que x est assimilable à une constante.

-   

-  En conclusion :

-   

c)-  Application 2 :

-  Déterminer l’expression de df (x, y), sachant que f (x, y) = 4 x² × y³

-  Par définition :

-   

-   

-  df (x, y) = (8 x y³) . dx + (12 x² y²) . dy

►   Propriétés :

►  Autres propriétés :

d)-  Application 3 :

-  Déterminer les expressions de df et dg de deux façons différentes sachant que :

-   f = x cos (y) et g = x sin (y)

-  Méthode 1 :

-  Détermination de df :

-  df = cos (y) . dx + x . d [cos (y)]

-  Pour déterminer d [cos(y)], fonction d’une seule variable, il faut utiliser le fait que :

-  df = f’ . dx

-  Dans le cas présent, il faut trouver la dérivée de [cos(y)] par rapport à y :

-   

-  On tire :

-  df = cos (y) . dx – x . sin (y) . dy

-  De même pour la fonction g = x sin(y)

-  dg = sin (y) . dx + x . cos (y) . dy

-  Méthode 2 :

-  On utilise la définition :

-   

-   

-   

-  En conclusion :

-  df (x, y) = cos (y) . dx – x . sin (y) . dy

►  Remarque : Cas de trois variables : f (P, V, T)

-   

II- Primitive d’une fonction

1)- Définition :

-  F (x) est une primitive de f (x) si la dérivée F’ (x) = f (x).

-  En utilisant l’écriture différentielle :

-   

-  Remarque :

-  Soit la fonction G (x) = F (x) + a (la grandeur a étant une constante par rapport à x)

-  G’ (x) = F’ (x) + 0 = f (x)

-  La fonction G (x) est aussi une primitive de f (x).

2)- Exercices :

►  Question 1 :

-  Soit F (x) = x³.

-  Déterminer la fonction f (x) dont elle est la primitive.

►  Réponse 1 :

-  Par définition :

-  F’ (x) = f (x)

-  F’ (x) = 3 x² = f (x)

►  Question 2 :

-  Déterminer la primitive F (x) de la fonction f (x) = x².

►  Réponse 2 :

-  Il faut trouver la fonction F (x) telle que F’ (x) = x².

-   

-  De même : est aussi solution.

-  En général :

-   

-  Une primitive est connue à une constante près.

3)- Exemple d’application en physique :

-  Considérons le fonction x (t) qui dépend du temps t

-  Elle peut représenter l’abscisse d’un point mobile M.

-   représente la dérivée première par rapport au temps t.

-   représente la dérivée seconde par rapport au temps t.

►  Exemple :

-  On considère la situation suivante :

-   ; la grandeur a est une constante par rapport au temps t.

-  Le but est de déterminer la fonction x (t), sachant que .

-  On passe par l’intermédiaire de la dérivée :

-  est une primitive de

-  Comme

-  Il apparaît la constante b, car la primitive est connue à une constante près.

-  En physique, cette constante est liée aux conditions initiales.

-  Deux cas se présentent :

-  De même x est une primitive de  :

-  En conséquence :

-  Les grandeurs b et c sont liées aux conditions initiales.

4)- Primitives usuelles :

5)- Fonction logarithme et fonction exponentielle :

a)-  La fonction logarithme népérien :

-  La fonction logarithme népérien : ln

-  Domaine de définition : R^*₊

-  Fonction continue strictement croissante

►  Graphe :

►  La fonction exponentielle :

-  La fonction exponentielle est la fonction inverse de la fonction logarithme népérien :

-  e⁰ = 1

►  Propriétés :

►  Remarque :

-  Pour les calculs pratiques, on utilise le logarithme à base 10 (logarithme décimal)

►  Propriétés : la fonction logarithme décimal a les mêmes propriétés que la fonction logarithme népérien.

►  Calcul de la concentration en ion oxonium :

-  Calculer la concentration en ion oxonium H₃O⁺ (aq) d’une solution dont le pH est égal à 4,5

-  Le pH d’une solution est un indicateur d’acidité lié à la présence des ions oxonium H₃O⁺ (aq) en solution.

-  Remarques :

-  On écrit aussi : pH = – log [H₃O⁺] (relation utilisée jusqu’en 2010)

-  pH = 4,5 => [H₃O⁺] = C⁰ × 10^–pH

-  [H₃O⁺] = C⁰ × 10^–4,5

-  [H₃O⁺] ≈ 3,2 × 10^–5 mol . L^–1

-  Il faut arrondir et garder au maximum 2 chiffres significatifs.

►  Calcul de pH :

-  La concentration en ion oxonium d’une solution aqueuse est :

-  [H₃O⁺] = 2,5 × 10^–3 mol . L^–1

-  En déduire la valeur du pH de cette solution.

-  Le pH est défini par la relation suivante :

-   

6)- Intégrale définie.

a)-  Définition :

-  Intégrale définie :

-   

-  Si la fonction f admet des primitives et si F est une de ses primitives.

-   

-  F (x) est une primitive de f (x).

-  Autre écriture :

-   

b)-  Applications :

-  Calculer

-  On cherche une primitive de x³ (la plus simple)

-   

-  Il n’est pas nécessaire de mettre une constante (elle disparaît par différence).

►  Exemples :

-   

-   

-   

-   

7)- Retour sur la fonction logarithme népérien :

-  On appelle fonction logarithme népérien de x, la fonction définie par :

-   

-  La fonction ln x est la primitive de la fonction

-  ln 1 = 0

-   

8)- Retour sur la fonction exponentielle :

-  La fonction exponentielle, notée e^x est la fonction inverse de la fonction logarithme népérien.

-  Par définition :

►  Propriétés :

III- Tableau des dérivées usuelles

-  Tableau de primitives usuelles :

IV- Exercices :

1)- Dérivées : Trouver les dérivées des fonctions suivantes :

2)- Primitives : Trouver les primitives des fonctions suivantes :

-  * : Explications

►  Remarque :

-  Pour 6 : On utilise :

-  V = x² + 3x + 1, il découle de ceci que V’ = 2 x +3

-  La fonction est de la forme :

-  Pour 7 :

-  On pose : V = (3 x +2), il découle de ceci que V’ = 3

-   

-  Voilà pourquoi, il apparaît le coefficient 3, au dénominateur, dans l’expression.