►  Un petit exercice de chimie :

Étude de la réaction d’un acide faible sur l’eau :

►  Mise en équation :

-  Soit la réaction suivante :

-  Les différentes équations :

-  Conservation de la matière :

-  C représente la concentration en acide AH apporté.

-  C = [AH]_éq + [A^–]_éq (1)

-  Électroneutralité de la solution :

-  [H₃O⁺]_éq = [HO^–]_éq + [A^–]_éq (2)

-  Constante d’acidité :

-  (3)

-  Produit ionique de l’eau :

-  K_e = [H₃O⁺]_éq × [HO^–]_éq = 10^–14 ceci à 25 ° C (4)

-  Recherche de l’équation permettant de déterminer la valeur de la concentration [H₃O⁺]_éq :

-  En combinant (2) et (4) :

-   

-  En combinant (1) et (5) :

-   

-  En combinant (3), (5)  et (6) :

-   

-  En ordonnant, on obtient :

-   

-  On est en présence d’une équation du troisième degré !!!

-  En posant x = [H₃O⁺]_éq

►    Équation du troisiéme degré :

-   

-   Avant de résoudre cette équation :

►  Première approximation :    Équation du second degré

- Il faut résoudre une équation du deuxième degré.

-

-  Expression de la concentration en ions oxonium [H₃O⁺]_éq à l’équilibre :

-   

►  Exemple pour l’acide éthanoïque, pK_A = 4,8 :

-  Tableau donnant le pH et autres en fonction de la valeur de la concentration C :

►  Autre approximation : On peut négliger K_e devant  K_A et C.

-   

-  Tableau de valeurs :

-  Pour C = 1,00 × 10^–7 mol . L^–1 et C = 1,00 × 10^–8 mol . L^–1

-  La réaction d’autoprotolyse de l’eau n’est plus négligeable.

-  Les différentes valeurs des deux dernières lignes sont erronées.

►  Résolution de  l’équation du troisième degré :

-   

-  On pose : b = K_A : c = – (K_A . C + K_e) et d = – K_A . K_e

-  L’équation devient alors :

-  x³ + b . x² + c . x + d = 0

-  En utilisant le fait que :

-   

-   

-  Équation à résoudre : on ordonne les différents termes.

-   

-  On fait le changement de variable suivant :

-   

-   

-  On pose :

-   

-  Avec (pour rappel) :  b = K_A : c = – (K_A . C + K_e) et d = – K_A . K_E

►  Équation à résoudre :

- 

- Dans cette équation l'inconnue intervient au cube et au premier degré. 

-  Le discriminant de cette équation :

- 

-  si Δ > 0, alors l'équation admet trois racines réelles distinctes ;

-  si Δ = 0, alors l'équation admet une racine double ou triple et toutes ses

   racines sont réelles ;

-  si Δ < 0, alors l'équation admet trois racines distinctes, dont une réelle et

   deux complexes conjuguées.

-  Nouveau changement de variable :

-   

-  L’équation devient :

-   

-  Avec :

-   

-  Or p < 0 car les grandeurs K_A, C et K_e sont positives.

-  On remplace : p = – n , ainsi n > 0

-   

-   

 -  En simplifiant l’écriture :

- 

►   Linéarisation de l'équation :

 -  Or :

-  Enfin, on peut linéariser  l’équation :

-   

-  On pose :

-   

-  Il faut résoudre :

-     cos 3 θ = m

-  Les solutions :

-   

-  Que l’on peut écrire :

- 

-  Or :

-  Les 3 valeurs restantes :

- 

-  En reportant :

-   

►  Calcul des valeurs et solutions à rejeter :

-  Exemple : Solution d’acide éthanoïque :

-   

-  Avec :

-   

-  Et : b = K_A : c = – (K_A . C + K_e) et d = – K_A . K_e

-  [H₃O⁺]_éq = x  

-  ou :

-  Les différentes concentrations et le taux d’avancement :

-  Comparaison avec la valeur trouvée avec l’équation du second degré :

 -  Écart  entre les deux solutions :

-  Dans le cas présent, l’approximation est très bonne.

-  Maintenant : C = 1,00 × 10^–6 mol . L^–1 :

-  Comparaison :

-  Écart : l’écart est encore acceptable.

-  On peut encore négliger l’autoprotolyse de l’eau.

 ► Récapitulatif :

En chimie, il faut faire des approximations

-   Si l'acide n'est pas trop dilué et si la constante d'acidité est grande par rapport au produit ionique de l'eau,

la réaction de dissociation de l'acide est prépondérante devant la réaction d'autoprotolyse de l'eau.

-  En conséquence : [A^–]_éq ≈ [H₃O⁺]_éq

-  Cette relation simplifie grandement l’exercice.

-  On doit résoudre une équation du second degré.

-      

-      

-  Si de plus , [A^–]_éq est négligeable devant C, la concentration en acide apporté.

-      

-  On en déduit l’expression de la relation donnant le pH de la solution :

-      

-  Exemple : Solution d’acide éthanoïque : pK_A = 4,8 et C = 1,0 × 10^–2 mol . L^–1.

-      

-  Tableau de valeurs :

-  La valeur trouvée avec les approximations est en accord avec celle obtenue à partir de la résolution de l’équation du troisième degré.

- Il faut toujours vérifier la cohérence du résultat et vérifier si les approximations effectuées sont bonnes.

 - Dans le cas présent :

-   [HO^–]_éq est bien négligeable  [H₃O⁺] _éq et [A^–]_éq est négligeable devant [AH]_éq.

-  Comme, le plus souvent, la concentration des solutions :

-  1,00 × 10^–2 mol . L^–1 ≤ C ≤ 1,00 × 10^–6 mol . L^–1

-  On peut négliger la réaction d’autoprotolyse de l’eau devant la réaction entre l’acide faible et l’eau.

-  En milieu acide, on peut négliger [HO^–]_éq devant [H₃O⁺] _éq.

-  En milieu basique, on peut négliger [H₃O⁺] _éq devant [HO^–]_éq.

-  En faisant des approximations judicieuses, on simplifie la résolution des exercices de chimie sur les acides et les bases.

►Fichiers Excel permettant de calculer la valeur du pH d'une solution d'acide faible

connaissant la valeur du pK_A  et la valeur de la concentration C en acide apporté.