Phys. N° 07 |
Le dipôle (R, L). Cours. |
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Programme 2012 : Programme 2020 : |
Pour aller plus loin :
Mots clés : La bobine ; établissement du courant dans une bobine ; induction ; auto-induction ; circuit RL ; constante de temps d'un circuit RL, énergie emmagasinée dans une bobine ; l'alternateur ; ... |
- Une bobine est constituée d’un enroulement de fil conducteur, recouvert d’un vernis isolant, sur un cylindre de rayon r.
- On désigne par ℓ la longueur de l’enroulement et par r le rayon d’une spire :
- Si L est petit devant r, la bobine est plate.
- Si L est voisin de r la bobine est appelée : solénoïde.
- Si L est plus grand que 10 r, le solénoïde est dit infini..
II- Influence d’une bobine dans un circuit. (TP Physique N° 08)
- Expérience : Retard à l’établissement du courant.
- Montage 1 :
- Observations : La lampe L2 s'allume avec un retard sur la lampe L1.
- Il se produit un retard à l'établissement du courant dans la portion de circuit qui comporte la bobine.
- Une bobine s’oppose transitoirement à l’établissement du courant dans un circuit.
- En régime permanent, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r.
III- Caractéristiques d’une bobine.
1)- L’inductance d’une bobine.
- Une bobine est un dipôle, de bornes A et B, caractérisé par son inductance L exprimée en henry (symbole H).
- On utilise souvent le millihenry ( mH).
- L'inductance L de la bobine est une constante positive qui ne dépend que des caractéristiques géométriques de la bobine
-
pour une bobine de longueur ℓ,
qui possède
N
spires de surface S.
- En régime permanent, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r.
- Une bobine est aussi caractérisée par sa résistance r qui s’exprime en ohm (W).
3)- Représentation symbolique d’une bobine.
4)- Expression de la tension aux bornes d’une bobine.
- Une bobine est caractérisée par son inductance L et sa résistance r.
- La bobine étant orientée de A vers B, la tension uAB aux bornes de la bobine est donnée par la relation :
Tension aux bornes d’une bobine : uAB tension en volt (V) |
||||||||
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+ |
r . i |
{ |
I intensité en ampère (A) |
||||
r résistance en ohm (Ω) |
||||||||
L inductance en henry (H) |
||||||||
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- Remarque : cas d’une bobine idéale (r = 0)
u AB = L . |
di |
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dt |
- On peut aussi utiliser cette écriture si r << R (résistance du circuit).
IV- Établissement du courant dans une bobine. (TP Physique N° 08).
1)- Étude expérimentale : Réponse à un échelon de tension.
- Montage 2 : réponse d’une bobine à un échelon de tension.
- Il comprend :
- Un générateur idéal de tension E = 3,2 V ;
- un conducteur ohmique de résistance R’= 18 Ω,
- une bobine d’inductance L et de résistance r = 8,8 Ω et
- un interrupteur K.
- Au temps t = 0 s, on ferme l’interrupteur en le basculant sur la position 1.
- Que visualise-t-on à la voie 1 de la carte CANDIBUS ?
- On visualise les variations de la tension aux bornes du conducteur ohmique, c'est-à-dire la tension uBM.
- Si l'on considère qu'au temps t, le courant circule dans le sens positif choisi,
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=> |
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. u BM |
|
- On visualise les variations de l'intensité en fonction du temps, ceci à une constante près.
- Observations : On pose : R = r + R’
- La tension aux bornes du dipôle (R, L) passe brutalement de la valeur à la valeur E = 3,2 V.
- L’intensité traversant le circuit est nulle juste après la fermeture de l’interrupteur K,
- puis elle augmente progressivement jusqu’à atteindre une valeur maximale et reste constante.
- Le courant met environ la durée Δt ≈ 8,0 ms pour s’établir.
- Premier temps : t
- t € [ t0, t0
+ Δt] : régime transitoire, établissement du courant dans la bobine.- t € [ t0 + Δt, t1 ] : régime permanent, le courant est établi.
- La bobine s'oppose à l'établissement du courant dans le circuit.
2)- Équation différentielle vérifiée par l’intensité i.
- On ferme l’interrupteur.
- On oriente le circuit et on étudie le dipôle (R, L).
- La loi d’additivité des tensions dans le circuit série permet d’écrire :
E = u AB + u BM |
|||||||||||||
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- En ordonnant, on peut écrire :
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+ |
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|
||||||
En posant R = r + R' |
|||||||||
|
+ |
R . i (1) |
|
- On reconnaît une équation différentielle du premier ordre avec deuxième membre qui admet une solution du type :
- i (t) = A . e k.t + B où A, B et k sont des constantes.
3)- Détermination des constantes.
- On détermine les constantes à l’aide des conditions initiales et des paramètres du circuit.
- Première étape : on reporte l’expression de la solution dans l’équation (1).
-
- La relation (2) est vérifiée à chaque instant.
- Or E = cte, R . B = cte et t et par conséquence e k.t varient au cours du temps.
- Il faut nécessairement que :
{ (L .
k +
R
) . A = 0
=>
{
k =
– R L E =
R .
B E =
R .
B
La solution
A = 0 n'a pas de
signification physique
- Conditions initiales : au temps t = 0 s, l’intensité dans le circuit est nulle : i (0) = 0.
- On déduit de ceci que :
|
=> |
|
|
|
- Relation donnant l’intensité traversant le dipôle (R, L) soumis à un échelon de tension E :
-
- Expression de la tension aux bornes de la bobine en fonction du temps.
- On peut en déduire l’expression de la tension aux bornes de la bobine :
-
-
étude de la relation :
- Quelle est la valeur de la tension aux bornes de la bobine au temps t = 0 s ?
- u AB = E.
- Quelle est la valeur de l’intensité dans le circuit lorsque t tend vers l’infini ?
|
= |
|
|
|
V- Rupture du courant dans un circuit.
- Montage 1 : visualisation du phénomène à l'oscilloscope.
- Il comprend :
- Un G.B.F qui délivre une tension carrée f = 1000 Hz
- Un conducteur ohmique de résistance R1 réglable de 0 à 500 Ω.
- Une bobine d'inductance L = 20 mH et de résistance r = 20 Ω.
- Un conducteur ohmique de résistance R = 18 Ω.
- Que visualise-t-on à la voie A de l'oscilloscope ?
- On visualise les variations de la tension aux bornes du G.B.F, c'est-à-dire la tension uAM.
- Que visualise-t-on à la voie B de l'oscilloscope ?
- On visualise les variations de la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance R1, c'est-à-dire la tension uBM.
- Si l'on considère qu'au temps t, le courant circule dans le sens positif choisi
|
=> |
|
. u BM |
|
- On visualise les variations de l'intensité en fonction du temps, ceci à une constante près.
- Observations :
- La courbe qui apparaît à la voie B, ne suit pas exactement les variations de celle qui apparaît à la voie A.
- Il y a un retard à l'établissement et à l'annulation du courant dans le circuit
- Premier temps :
- t € [ t0, t0 + Δt] : régime transitoire, établissement du courant dans la bobine.
- t € [ t0 + Δt, t1
] : régime permanent, le courant est établi.- La bobine s'oppose à l'établissement du courant dans le circuit.
- Deuxième temps :
- t € [ t1, t1 + Δt] : régime transitoire, établissement du courant dans la bobine.
- t € [ t1 + Δt, t2 ] : régime permanent, le courant est établi.
- La bobine s'oppose à l'annulation du courant dans le circuit.
- La bobine s’oppose à la diminution de l’intensité du courant électrique dans le circuit.
3)- Équation différentielle vérifiée par l’intensité i lors de l’ouverture du circuit.
- L’interrupteur étant sur la position 1, on le bascule sur la position 2.
- On oriente la partie du circuit qui nous intéresse :
- D’après la loi d’additivité des tensions dans un circuit série, on a l’égalité :
u AB + u BM = 0 |
|||||||||||||
|
|
+ |
|
= 0 |
||||||
En posant R = r + R' |
|||||||||
|
+ |
R . i = 0 (1) |
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- On reconnaît une équation différentielle du premier ordre en i sans deuxième membre.
- Elle admet une solution du type : i (t) = A . e k.t + B où A, B et k sont des constantes.
- On détermine les constantes à l’aide des conditions initiales et des paramètres du circuit.
- Il découle de la relation que :
-
- Il faut nécessairement que :
{ |
(L . k + R ) . A = 0 |
=>
|
{
|
|
||||
0 = R . B |
B = 0 |
|||||||
La solution A = 0 n'a pas de signification physique |
- Condition initiale : au temps t = 0 s, L’interrupteur est en position 1.
- Le courant est établi est l’intensité dans le circuit est donnée par la relation :
|
- On déduit de ceci que :
|
E |
|
=> |
|
|
|
||||||||||
|
||||||||||||||||
R |
- L’intensité du courant électrique i traversant le dipôle (R, L) a pour expression :
-
- Remarque :
- Lorsque t tend vers l’infini, alors i (t) tend vers zéro.
- Le courant électrique ne s’annule pas brusquement à l’ouverture du circuit.
- La bobine s’oppose à la diminution de l’intensité du courant électrique dans le circuit.
- De façon générale, une bobine s’oppose aux variations de l’intensité du courant électrique dans un circuit.
- Expression de la tension aux bornes de la bobine en fonction du temps.
- On peut en déduire l’expression de la tension aux bornes de la bobine :
-
- En utilisant le fait que : R = r + R’ :
-
- Quelle est la valeur de la tension aux bornes de la bobine au temps t = 0 s ?
-
, elle est négative.
- La bobine se comporte comme un générateur de
f.é.m
.
- Quelle est la valeur de l’intensité dans le circuit lorsque t = 0 s?
|
- Lorsque le temps t tend vers l’infini, i (∞) = 0 et u AB (∞) = 0.
- L'intensité dans le circuit ne subit pas de discontinuité.
1)- Expression de la constante de temps τ.
- La durée de l’établissement ou de l’annulation du courant dans un circuit (R, L) dépend de la résistance R et de l’inductance L du circuit.
- On appelle constante de temps du circuit (R, L), la valeur :
|
- τ constante de temps : seconde s.
- R résistance du circuit ohm W.
- L inductance du circuit : henry H.
- Lors de l’établissement du courant, l’expression de l’intensité du courant électrique dans le circuit est donnée par l’expression :
-
- Lors de l’annulation du courant électrique dans le circuit :
-
-
-
D’autre part de la relation :
, on tire que :
-
-
En combinant (1) et (2) :
-
Le rapport
a la dimension d’un temps.
- Il s’exprime en seconde dans le S.I.
3)- Détermination de la constante de temps τ.
- Pour déterminer graphiquement la valeur de τ, on trace la tangente à l’origine à la courbe i = f (t) et l’asymptote horizontale à cette courbe.
- L’abscisse du point d’intersection de ces deux droites donne la valeur de la constante de temps τ.
-
- D’après la relation :
-
-
Pour t =
τ :
-
Pour t = 5
τ :
VII- Énergie emmagasinée dans une bobine.
1)- Expériences : Étincelle de rupture moteur avec bobine et noyau de fer doux.
- Montage :
- Les étincelles de rupture montrent que l'énergie emmagasinée dans la bobine est libérée brutalement lors de l'ouverture du circuit.
- L'étincelle correspond à la conduction de l'air.
- Si le stylet est distant de 0,1 mm, alors : | e | ≈ 300 V et le champ électrique E ≈ 300000 V / m, potentiel disruptif de l'air sec.
2)- Expression de l'énergie emmagasinée dans une bobine.
- Une bobine d'inductance L, traversée par un courant d’intensité i, emmagasine de l'énergie. C'est de l'énergie magnétique que l'on note E m ou W L.
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E m énergie en joule (J) |
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L inductance en henry (H) |
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I intensité en ampère (A) |
- L’intensité du courant électrique dans un circuit comportant une bobine ne subit pas de discontinuité.
- Le courant s’établit de façon progressive et s’annule de la même façon.
- L’intensité du courant électrique ne peut pas passer de façon instantanée de la valeur zéro à la valeur I.
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Pour s'auto-évaluer
Le circuit (R, L)
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Pour s'auto-évaluer
Le condensateur, la bobine et la résistance, Circuit (RC), circuit (LC) et circuit (RLC)