Le dipôle RL, La bobine, exercices de physique de terminale S, correction, ts07phc

Phys. N° 07

Le dipôle R L :

Exercices.

Correction.

Cours

Programme 2012 :

Physique et Chimie

Programme 2020 :

Physique et Chimie

1)- Exercice 9 page 188.	2)- Exercice 12 page 189.
3)- Exercice 13 page 189.	4)- Exercice 23 page 192.

Applications.

Pour aller plus loin :

Mots clés :

La bobine ; établissement du courant dans une bobine ;

induction ; auto-induction ; circuit RL ;

constante de temps d'un circuit RL,

énergie emmagasinée dans une bobine ; l'alternateur ; ...

1)- Exercice 9 page 188.

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L’intensité du courant traversant une bobine idéale d’inductance

L = 10 mH a l’allure représentée ci-dessus.

La bobine est étudiée en convention récepteur.

Représenter l’allure de la tension u aux bornes de la bobine

prendre

1 cm ↔ 1 V

1 cm ↔ 1 ms)

- Expression de la tension.

- Il faut faire un schéma et orienter le circuit.

u = L .	di

	dt

- Première phase : Pour t € [ 0, 1 ms ], l’intensité

i = a . t + b.

- En conséquence,

- Il faut trouver la valeur du coefficient directeur :

a =	– 0,3 – 0,2

	1 x 10^{– 3}

a ≈
	– 5 x 10³ A / s

- Pour

t € [ 0, 1 ms ]

u = L	di

	dt

u =
	( 10 x 10^{– 3} ) (– 5 x 10³)

u ≈

– 5,0 V

- Deuxième phase : Pour t € [ 1 ms, 6 ms ],

l’intensité i = a’ . t + b’.

- En conséquence,

- Il faut trouver la valeur du coefficient directeur :

a' =	( 0,2) – (– 0,3)

	(6 –1) x 10^{- 3}

a' ≈
	1 x 10² A / s

- Pour

t € [ 1 ms, 6 ms ]

u = L	di

	dt

u =
	( 10 x 10^{– 3} ) (1 x 10²)

u ≈

1,0 V

- Allure de la tension :

2)- Exercice 12 page 189.

Dans un circuit schématisé ci-dessous, le générateur délivre un échelon de tension à la fermeture du circuit.

On visualise sur un oscilloscope à mémoire la tension u_G délivrée par le générateur

et la tension u_raux bornes du conducteur ohmique de résistance r = 2,7 kΩ.

Sur l’oscilloscope, la sensibilité verticale est : 2 V / div.

a)- Quelle est la tension visualisée sur la voie A de l’oscilloscope ? sur la voie B ?

b)- Placer sur le schéma les branchements de l’oscilloscope.

c)- Quelle grandeur physique la voie B permet-elle aussi de visualiser ? Justifier.

d)- Quelle est la valeur de l’échelon de tension E ?

e)- Quelle est la valeur de l’intensité du courant électrique lorsque le régime permanent est établi ?

f)- Qu’aurait-on observé sur la voie B si le circuit avait été purement résistif ? Quelle est l’influence de la bobine ?

Dans un circuit schématisé ci-dessous, le générateur délivre un échelon de tension à la fermeture du circuit.

On visualise sur un oscilloscope à mémoire la tension u_G délivrée par le générateur

et la tension u_raux bornes du conducteur ohmique de résistance r = 2,7 kΩ.

Sur l’oscilloscope, la sensibilité verticale est : 2 V / div.

a)- Quelle est la tension visualisée sur la voie A de l’oscilloscope ? sur la voie B ?

- À la voie A de l’oscilloscope, on visualise un échelon de tension.

- C’est la tension aux bornes du générateur idéal de tension u _G.

- À la voie B de l’oscilloscope,

- on visualise la tension aux bornes du conducteur ohmique r, c’est-à-dire u_r.

b)- Placer sur le schéma les branchements de l’oscilloscope.

c)- Quelle grandeur physique la voie B permet-elle aussi de visualiser ? Justifier.

- Avec l’orientation choisie, on peut écrire la loi d’Ohm aux bornes du conducteur ohmique :

u _BM = u _r =
	r . i

i =	1

	r

. u _r

- La voie B visualise u_r mais aussi i ceci à une constante près.

d)- Quelle est la valeur de l’échelon de tension E ?

- Valeur de l’échelon de tension E :

- E = k . y => E = 2 x 3 => E ≈ 6 V

e)- Quelle est la valeur de l’intensité du courant électrique lorsque le régime permanent est établi ?

- Valeur de l’intensité I_p en régime permanent :

I_p =	1

	r

. u _r

I _p =	1

	r

. E

I_p =	1

	2,7 x 10³

x 6

I_p ≈

2,2 x 10^{– 3}

f)- Qu’aurait-on observé sur la voie B si le circuit avait été purement résistif ? Quelle est l’influence de la bobine ?

- Si le circuit est purement résistif, le signal à la voie B a même allure que le signal observé à la voie A.

- La bobine retarde l’établissement du courant dans le circuit.

- Elle s’oppose à l’établissement du courant dans le circuit.

3)- Exercice 13 page 189.

Un circuit série est constitué d’un générateur idéal de tension de f.é.m. E,

d’une bobine d’inductance L et de résistance r, d’un conducteur ohmique de résistance r’

et d’un interrupteur K.

A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur.

a)- Représenter le schéma du circuit.

b)- Établir l’équation différentielle du premier ordre régissant l’évolution de l’intensité i

du courant électrique en fonction du temps.

c)- La solution de cette équation différentielle est du type : i (t) = k' + k'' . e ^-^k
t.

- En reportant cette expression dans l’équation, déterminer les constante k et k’

en fonction de E, R et L.

d)- déterminer l’expression de la tension u_L,r (t) aux bornes de la bobine.

- Que devient u_L,r (t) en régime permanent ?

- Quelle est l’influence de la bobine dans le circuit ?

Correction :

Un circuit série est constitué d’un générateur idéal de tension de f.é.m. E,

d’une bobine d’inductance L et de résistance r,

d’un conducteur ohmique de résistance r’ et d’un interrupteur K.

A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur.

a)- Représenter le schéma du circuit.

b)- Établir l’équation différentielle du premier ordre régissant l’évolution de l’intensité i

du courant électrique en fonction du temps.

- On pose : R = r + r’.

- Équation différentielle :

- On oriente le circuit à l’instant t.

- On utilise l’additivité des tensions :

E = u_AM = u_AB + u_BM

E == u_AM= (L .

+ r . i) +

r' . i

- En ordonnant, on peut écrire :

E = L .	di

	dt

( r + r'). i

En posant R = r + r'

E = L .	di

	dt

R . i (1)

c)- La solution de cette équation différentielle est du type : i (t) = k' + k'' . e ^-^k
t.

- En reportant cette expression dans l’équation, déterminer les constante k et k’

en fonction de E, R et L.

- On remplace i et par leur expression dans l’équation (1).

- L’équation (2) doit-être vérifiée ceci quel que soit t.

- Or R, L, k’ et k’’ sont des constantes.

- Il faut :

{

( R – L . k ) . A = 0

{

k =	R

	L

E = R . k'

k' =	E

	R

- À partir de la condition initiale, déterminer la constante k’’ en fonction de E et R.

- À l’instant initial, i (0) = 0 :

i (0) = k' + k'' .e ^– ^{k
.}⁰ = 0

k' + k'' = 0

k" = – k' = –	E

	R

- Préciser l’expression de i (t).

- Expression de i (t).

d)- déterminer l’expression de la tension u_L,r (t) aux bornes de la bobine.

Que devient u_L,r (t) en régime permanent ?

- expression de la tension u _L,r (t) aux bornes de la bobine.

- Remarque :

- en régime permanent, l’intensité dans le circuit ne varie plus au cours du temps : et le terme

- Quelle est l’influence de la bobine dans le circuit ?

- La bobine s’oppose à l’établissement du courant dans le circuit électrique.

4)- Exercice 23 page 192.

étude d’un dipôle R, L.

Un ordinateur, relié au montage schématisé ci-dessous par une interface appropriée, permet d’enregistrer

au cours du temps les valeurs des tensions.

1)- À l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K et on procède à l’enregistrement.

On obtient les courbes y₁ = f (t) et y₂ = g (t).

a)- Identifier les grandeurs y₁ et y₂. Justifier la réponse.

b)- À partir de la courbe représentant la variation de l’intensité du courant, expliquer le comportement de la bobine.

c)- Donner la valeur de la force électromotrice E de la pile.

2)- Lorsque le régime permanent est établi, l’intensité i prend la valeur I_P tandis que y₂ prend la valeur Y_P.

a)- Donner les expressions de u_AM, u_AB et u_BM.

b)- Montrer que la bobine a une résistance R₁ non nulle.

3)- Le circuit étudié peut être caractérisé par sa constante de temps t.

Pour un circuit (R, L), on pose : .

a)- Montrer que la constante de temps est bien homogène à un temps.

b)- Que représente R dans le circuit ? Quelle est sa valeur ? On admet que :

Montrer que A = I_P.

4)- Valeur de τ.

a)- Donner la valeur de τ déterminée graphiquement.

b)- En déduire la valeur de L. Calculer l’énergie emmagasinée par la bobine quand le régime permanent est établi.

étude d’un dipôle R, L.

Solution.

1)- Avant de commencer, il faut indiquer le sens positif choisi sur le circuit et noter certains points du circuit.

On note A le point du circuit relié à la voie 1 et on note B le point du circuit relié à la voie 2.

a)- Identification les grandeurs y₁ et y₂.

- La voie 1 visualise les variations de la tension aux bornes de la pile (E, r), u_AM.

- La fonction y₁ représente les variations de la tension u _AM.

- La voie 2 visualise les variations de la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance R₂ : u _BM.

- La fonction y₂ représente les variations de la tension u _BM.

b)- Comportement de la bobine.

- La voie 2 visualise à une constante près les variations de l’intensité i du courant dans le circuit électrique.

- Car u_BM = R.i.

- On remarque que le courant électrique ne s’établi pas instantanément.

- La bobine s’oppose à l’établissement du courant dans le circuit.

- Elle s’oppose à l’augmentation de l’intensité dans le circuit.

- Elle s’oppose à la variation de l’intensité dans le circuit.

c)- Valeur de la f.é.m. E de la pile.

- La f.é.m. E de la pile est donnée par l’ordonnée à l’origine de la courbe y₁.

- Il faut tenir compte de l’échelle :

{	E ↔ 5,6 cm	=> E ≈ 13,1 V
	10 V ↔ 4,9 cm

- La f.é.m. E de la pile est la tension aux bornes de la pile lorsqu’elle ne débite aucun courant.

2)- Régime permanent :

a)- Expression des tensions : avec l’orientation choisie.

- Tension aux bornes de la pile : u_AM = E – r . i

- Tension aux bornes de la bobine :

u_AB = L .	di
		+ R₁ . i
	dt

- Tension aux bornes du conducteur ohmique : u_BM = R₂ . i

b)- Résistance de la bobine.

- L’additivité des tensions permet d’écrire que :

u_AM = u_AB + u_BM

E - r . i = L .

+ R₁ . i +

R₂ . i

- en régime permanent i = I _p = c^te.

- E – r . I_p = R₁ . I_p + R₂ . I_p

- Le terme E - r . I_p représente l’asymptote horizontale de y₁ et le terme R₂ .

- I_p représente l’asymptote horizontale de y₂.

- L’écart entre les deux asymptotes horizontales est dû au terme R₁ . I_p.

- En conséquence, la bobine possède une résistance non négligeable.

c)- Valeurs de r et R₁.

- Lorsque le régime permanent est atteint : u_AM = E – r . I_p et graphiquement :

{	u_AM ↔ 5,6 cm	=> u _AM ≈ 11,4 V
	10 V ↔ 4,9 cm

- d’autre part : u_BM = R₂ . I_p et graphiquement :

{	u_BM ↔ 4,6 cm	=> u _BM ≈ 9,4 V
	10 V ↔ 4,9 cm

- En conséquence, u_AB = R₁ . I_p et graphiquement :

- u_AB = 11,4 - 9,4 => u_AB ≈ 2,0 V

- On tire :

- Résistance de la bobine :

- Résistance interne de la pile :

3)- La constante de temps du circuit RL.

a)- Analyse dimensionnelle.

- D’autre part de la relation :

- ,

- on tire que :

- En combinant (1) et (2) :

- Le rapport a la dimension d’un temps.

- Il s’exprime en seconde dans le S.I.

- est bien homogène à un temps.

b)- La grandeur R représente la résistance totale du circuit :

- R = R ₁ + R ₂ + r ≈ 70 Ω.

- Remarque : au temps t = 0, i = 0.

- En conséquence :

4)- Étude de .

a)- Détermination graphique de la constante de temps τ.

- Pour déterminer graphiquement la valeur de τ,

- on trace la tangente à l’origine à la courbe i = f (t) et

- l’asymptote horizontale à cette courbe.

- L’abscisse du point d’intersection de ces deux droites donne la valeur de la constante de temps τ.

- constante de temps : τ ≈ 2,5 ms.

b)- Valeur de l’inductance L :

- Énergie emmagasinée dans la bobine :