TP physique N° 11C01, Chute verticale dans un fluide, Correction

TP Physique N° 11

Chute verticale dans un fluide.

Correction

énoncé

   


 
sciences physiques sur le web


Programme 2012 : Physique et Chimie

Programme 2018 : Physique et chimie

 

Matériel :

Huile d’olive vierge – éprouvette graduée de 1 L

différentes billes métalliques – balle de tennis de table

une balance – un ordinateur muni d’un tableur – une Webcam

les logiciels : Virtualdub Logiciel AVIMECA 2.7.

Vidéo : Bille50.zip

Fichier Excel : methode_euler_eleves.xlsm

Fichier avec les valeurs

 

 Objectifs : résoudre une équation différentielle par la méthode d’Euler.

 

I -Chute d'une bille dans l'huile.

II -Exploitation des résultats.

III -Conclusions.

Tableau de valeurs et courbes

 

Rayon de la bille :

r = 5,00 mm

Masse de la bille  :

m = 4,07 g

Masse volumique de la bille

ρ = 7563 kg .m– 3

Masse volumique de l’huile

ρ0 = 920 kg .m– 3

Distance (graduations 50 mL et 500 mL) :

D = 242 mm

Intervalle de temps entre 2 images :

τ = 20 ms

I- Chute d’une bille dans l'huile.haut

 1)- Protocole expérimental.

-  On filme, à l’aide d’une Webcam la chute d’une bille dans l’huile contenue dans une éprouvette graduée de 1 L.

-  On obtient le fichier : bille50.

-  Ouvrir le logiciel d’acquisition et de traitement vidéo :

aviméca 2.7. (Présentation avec Tour Operator)

-  Clique sur l’icône :  et dans le dossier vidéo, choisir le fichier : bille50.

-  Propriétés du clip :

Propriétés du clip

-  Avant d’effectuer les mesures, cliquer sur l’icône  et choisir 200 % pour agrandir l’image et améliorer la précision.

-  Clic gaucheCliquer sur l’icône : menu propriétés du clip et les noter.

-  Clic gaucheCliquer sur l’icône étalonnage :

 Choisir l’origine des axes

  Choisir l’origine des axes.

échelle horizontale

  Sélectionner, échelle horizontale.

Placer le premier point à l’extrême

gauche et le deuxième à l’extrême droite.

entrer la valeur 0.10 m

échelle verticale

Sélectionner, échelle verticale.

Placer le premier point 1 sur

la graduation 500 mL et le

deuxième point sur la graduation 50 mL.

Entrer la valeur 0.242 m

tableau de valeurs

Cliquer sur mesures.

Le logiciel est prêt à enregistrer

les différentes valeurs.

À l’aide de la cible, repérer la position

de la bille et faire un clic gauche

sur la première image.

Automatiquement, le logiciel affiche

la deuxième image de la vidéo

et laisse une marque.

Repérer les positions successives

occupées par la bille au cours du temps.

-  Remarque : Ne pas oublier de choisir l’origine des axes. On peut choisir l’origine des axes après avoir effectué les mesures.

2)- traitement des résultats.

-  Clic gaucheCliquer sur l’icône : icone. Il apparaît l’affichage suivant :

tableau de mesures

 

-  Clic gaucheCliquer sur OK. Les valeurs sont dans le presse papier. Il ne reste plus qu’à les exploiter.

-  Le logiciel : EXCEL.

-  Ouvrir le fichier : méthode_euler_eleves.xls

-  Sélectionner la cellule jaune et coller. On obtient l’affichage suivant :

On copie le pointage effectué par AVIMECA 2.7 Dans le ficihier Excel.

tableau de valeurs

-  À l’aide du logiciel :

-  Déterminer la valeur de la vitesse à chaque instant et la valeur de la vitesse limite vlim.

-   Calcul de la vitesse : au départ vo = 0,0 m / s

-   Dans la cellule E8, on rentre la valeur de la vitesse initiale de la bille : 0,0

-   Dans la cellule E9, on tape la formule qui permet de calculer la valeur de la vitesse de la bille à chaque instant :

tableau de valeurs Excel

-   On recopie la formule autant que nécessaire :

-   On obtient le tableau suivant :

tableau de valeurs Excel

-  On en déduit la valeur de la vitesse limite : vlim ≈ 0 ,95 m / s

-   On clique sur l’onglet «euler » pour l’exploitation des valeurs expérimentales.

-   On obtient l’affichage suivant :

 affichage

-  Cette valeur est très importante pour la suite.

-  Tracer v (t).

On clique pour charger les valeurs expérimentales :

On obtient l’affichage suivant :

affichage courbe

-  On peut modifier le réglage des axes pour une meilleure exploitation du graphe :

graphique

-  Commenter la courbe obtenue.

-   La bille chute verticalement

-   Dans un premier temps, la bille est animée d’un mouvement rectiligne accéléré. 

-   La bille parcourt des distances de plus en plus grandes pendant des durées égales.

-   Puis la variation de la vitesse diminue pour s'annuler.

-   Dans un second  temps, la bille est animée d’un mouvement rectiligne uniforme.

-   La bille parcourt des distances égales pendant des durées égales.

-   La bille atteint alors sa vitesse limite : vlim ≈ 0 ,95 m / s

 

II- Exploitation des résultats.haut

 

1)- Modélisation.

-  La force de frottement exercée par un fluide peut-être modélisée de deux façons :

-  Modèle 1 : f = k1.v

-  Modèle 2 : f = k2.v 2

-  À partir de la deuxième loi de Newton, établir l’équation différentielle liant l’accélération a à la vitesse v et la mettre sous la forme :

-  équation différentielle  avec expression des constantes

 

2)- méthode d’Euler.

 

-  Résoudre cette équation différentielle par la méthode d’Euler à l’aide du tableur Excel à l’aide des deux modèles de la force de frottement et la valeur de la vitesse limite vlim.

-  Tracer pour chaque modèle v(t) et comparer les courbes obtenues avec celle obtenue expérimentalement.

-  Conclure quant à la validité du modèle pour la force de frottement hydrodynamique.

-  Que se passe-t-il si la valeur du pas δt augmente ou diminue ? Quelle est la valeur du pas la mieux adaptée à l’expérience ?

 

-  Explication de la méthode :

-  On se propose de résoudre numériquement l’équation différentielle (2) par la méthode d’Euler. 

-  Cette méthode consiste à obtenir des valeurs approchées de la fonction v = f (t) et d’en déduire une représentation graphique.

-  À condition de choisir δt suffisamment petit, on peut écrire que : Euler

-  Or δv représente la variation de la valeur de la vitesse pendant la durée δt.

-  Si on connaît les valeurs de α et b et les conditions initiales, on peut trouver de proche en proche les différentes valeurs de la vitesse v au cours du temps.

-  Pour le modèle 1 : la relation devient : modèle 1

-  Les conditions initiales sont les suivantes : au temps t0 = 0, v = v0.

-  On choisit une valeur de dt suffisamment petite : C’est le pas du calcul.

-  À la date t1 t0 δt,  la vitesse est devenue : v1 v0 δv0 avec

-  expression

-  en conséquence : expression de la vitesse  ou expression de la vitesse

-  Cette valeur est calculable puisque les valeurs α1, b et v0 sont connues.

-  On procède de la même façon pour le calcul de v 2.

-  À la date t2 t1 δt,  la vitesse est devenue : v2 v1 δv1 = v1 + (b –  α1.v1).δt.

-  À la date tn+1 tn δt,  la vitesse est devenue : vn+1 vn δvn = vn + (b α1.vn).δt.

-  On peut en répétant ce calcul, déterminer la valeur de la vitesse aux différentes dates séparées de δt

-  On peut ainsi obtenir la représentation graphique de v en fonction du temps t.

-  L’équation différentielle « a été résolue » numériquement par une méthode itérative.

 

-  Pour le modèle 2 : la relation devient : modèle 2

-  Les conditions initiales sont les suivantes : au temps t0 =  0, v = v0.

-  On choisit une valeur de δt suffisamment petite : C’est le pas du calcul.

-  À la date t1 t0 δt,  la vitesse est devenue : v1 v0 δv0 avec

-  expression

-  Cette valeur est calculable puisque les valeurs α2, b et v0 sont connues.

-  On procède de la même façon pour le calcul de v 2.

-  À la date t2 t  +  δt,  la vitesse est devenue : v2 v1 δv1 = v1 + (b –  α2.v21).δt.

-  À la date tn+1 tn δt,  la vitesse est devenue : vn+1 vn δvn = vn + (b –  α2.v2 n).δt.

-  On peut en répétant ce calcul, déterminer la valeur de la vitesse aux différentes dates séparées de δt

-  On peut ainsi obtenir la représentation graphique de v en fonction du temps t.

-  L’équation différentielle « a été résolue » numériquement par une méthode itérative.

-  Remarque :

-  On peut améliorer la précision des calculs en choisissant un pas de calcul δt  plus petit, mais cela impose un grand nombre de calculs. 

-  Il faut disposer d’une calculatrice graphique ou d’un tableur

 

3)- Modèle 1 : Calcul des constantes α1 et b.

-  modèle 1   et  expressions des constantes

-  La connaissance des différentes masses volumiques permet de calculer la valeur de b.

-  à partir de la valeur de la vitesse limite, on peut calculer la valeur de a1.

-  Lorsque le mobile a atteint sa vitesse limite :

vitesse limite

 

4)- Modèle 2 : Calcul des constantes a 2 et b.

-  modèle 2   et  expression des constantes

-  Pour b, la valeur est la même :

-  à partir de la valeur de la vitesse limite, on peut calculer la valeur de a2.

-  Lorsque le mobile a atteint sa vitesse limite :

vitesse limite  

haut

5)- exploitation avec Excel.

-  Entrer les valeurs des différentes constantes dans les cellules.

-  Méthode 1 :

-  On utilise le fait que : vitesse avec équation différentielle et que : vitesse  

-  La colonne E permet de calculer les différentes vitesses et la colonne D permet de calculer la variation de la valeur de la vitesse pendant l’intervalle dt.

-  Dans la cellule E15, entrer la valeur de v0 = 0

-  Dans la cellule D15 entrer la formule : = $H$12 – $I$12 * E15 puis dupliquer cette formule vers le bas.

-  Dans la cellule E16 entrer la formule : =E15+D15*$H$9 puis dupliquer vers le bas.

-   Méthode 1 :

-   Dans la cellule E15, entrer la valeur de v0 = 0

-   Dans la cellule D15 entrer la formule : = $H$12 - $I$12 * E15 puis on duplique cette formule vers le bas.

-   Dans la cellule E16 entrer la formule : =E15+D15*$H$9 puis on la duplique vers le bas.

-   On obtient de valeurs de valeur suivant :

tableau de valeurs

-   Et la courbe suivante apparaît.

graphique

 

-  Méthode 2 :

-  On utilise le fait que : vitesse  avec équation  et que : vitesse

-  Dans la cellule G15, entrer la valeur de v0 = 0

-  Dans la cellule F15 entrer la formule : = $H$12 – $J$12 * G15^2 puis dupliquer cette formule vers le bas.

-  Dans la cellule G16 entrer la formule : =G15 + F15*$H$9 puis dupliquer vers le bas.

 -   Méthode 2 :

-   Dans la cellule G15, entrer la valeur de v0 = 0

-   Dans la cellule F15 entrer la formule : = $H$12 - $J$12 * G15^2 puis on la duplique vers le bas.

-   Dans la cellule G16 entrer la formule : = G15 + F15*$H$9 puis on la duplique vers le bas.

-  Tableau de valeurs :

tableau de valeurs

-   Les différentes courbes :

graphique

-   Il faut ajuster la valeur des différents paramètres :

-   Masse de la bille : m = 4,07 g

-   Masse volumique de la bille : ρ = 7563 kg / m3

-   Masse volumique de l’huile : ρ0 = 920 kg / m3

-   Il faut indiquer la valeur de la vitesse limite : vlim ≈ 0,95 m / s.

-   Puis, il faut ajuster la valeur de l’intervalle de temps dt.

-   Après réglage des différents paramètres :

les différents paramètres

Le tableau de valeurs :

tableau de valeurs

Les différentes courbes : pas du calcul : dt = 40 ms

les différentes courbes

III- Conclusions.haut

-   Le modèle 1 est le mieux adapté pour décrire le mouvement de la bille dans l'huile. 

-   C'est le modèle qui se rapproche le plus des valeurs expérimentales. 

-   Dans l'huile, la force de frottement que subit la bille est de la forme : 

-   Modèle 1 : f = k1.v  

-   Bilan des forces :

Aux temps t1, t2, ….

-  Il apparaît une force de frottement f qui dépend :

-  De la valeur de la vitesse.

-  De la forme de la bille.

-  Des caractéristiques du liquide dans lequel la bille est immergée.

  vecteur poids  

Point d'application : 

centre d'inertie G

Direction : 

verticale du lieu passant par G

Sens : 

du haut vers le bas

Valeur :  

P = m . g

exprimée en newton (N)

schéma du bilan des forces

  vecteur poussée d'Archimède  

Point d'application : 

centre de poussée C

Direction : 

verticale du lieu passant par C

Sens : 

du bas vers le haut

Valeur :  

  π = ρ0 .V. g  

Exprimée en newton (N)

  vecteur force  

Point d'application : 

centre d'inertie C'

Direction : 

verticale du lieu passant par G

Sens : 

du bas vers le haut

Valeur :  

f (variable)

exprimée en newton (N)

-   Lorsque la bille se déplace dans l’huile, il apparaît une force de frottement qui dépend :

-   De la valeur de la vitesse.

-   De la forme de la bille.

-   Des caractéristiques du liquide dans lequel la bille est immergée.

-   Pour des billes de faible rayon, on peut admettre que dans un fluide la force de frottement créée est opposée au vecteur vecteur vitesse

-   Si la valeur de la vitesse de la bille par rapport au fluide est faible, le fluide s’écoule de façon régulière et continue autour du corps.

-   La force vecteur force est due au frottement qui apparaît lors de l’écoulement des couches de fluide l’une sur l’autre.

-   Dans ces conditions, la force de frottement de valeur f s’exerçant sur une sphère de rayon R est proportionnelle à la vitesse :

haut