Programme 2012 : Physique et Chimie Programme 2018 : Physique et chimie |
Matériel :
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Huile d’olive vierge – éprouvette graduée de 1 L différentes billes métalliques – balle de tennis de table une balance – un ordinateur muni d’un tableur – une Webcam les logiciels : Virtualdub – Logiciel AVIMECA 2.7. Vidéo : Bille50.zip Fichier Excel : methode_euler_eleves.xlsm |
Objectifs : résoudre une équation différentielle par la méthode d’Euler.
Rayon de la bille :
r
= |
Masse de la bille :
m
= |
Masse volumique de la bille
ρ
= |
Masse volumique de l’huile
ρ0
= |
Distance (graduations 50 mL et 500 mL) :
D
= |
Intervalle de temps entre 2 images : τ = 20 ms |
I- Chute d’une bille dans l'huile.
1)- Protocole expérimental.
- On filme, à l’aide d’une Webcam la chute d’une bille dans l’huile contenue dans une éprouvette graduée de 1 L.
- On obtient le fichier : bille50.
- Ouvrir le logiciel d’acquisition et de traitement vidéo :
aviméca 2.7.
- Clique sur l’icône : et dans le dossier vidéo, choisir le fichier : bille50.
- Propriétés du clip :
- Avant d’effectuer les mesures, cliquer sur l’icône et choisir 200 % pour agrandir l’image et améliorer la précision.
- Cliquer sur l’icône : propriétés du clip et les noter.
- Cliquer sur l’icône étalonnage :
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Placer le premier point à l’extrême gauche et le deuxième à l’extrême droite. entrer la valeur 0.10 m |
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Sélectionner, échelle verticale. Placer le premier point 1 sur la graduation 500 mL et le deuxième point sur la graduation 50 mL. Entrer la valeur 0.242 m |
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Cliquer sur mesures. Le logiciel est prêt à enregistrer les différentes valeurs. À l’aide de la cible, repérer la position de la bille et faire un clic gauche sur la première image. Automatiquement, le logiciel affiche la deuxième image de la vidéo et laisse une marque. Repérer les positions successives occupées par la bille au cours du temps. |
- Remarque : Ne pas oublier
de choisir l’origine des axes. On peut choisir l’origine des axes après
avoir effectué les mesures.
2)- traitement des résultats.
- Cliquer sur l’icône : . Il apparaît l’affichage suivant :
- Cliquer sur OK. Les valeurs sont dans le presse papier. Il ne reste plus qu’à les exploiter.
- Le logiciel : EXCEL.
- Ouvrir le fichier : méthode_euler_eleves.xls
- Sélectionner la cellule jaune et coller. On obtient l’affichage suivant :
On copie le pointage effectué par AVIMECA 2.7 Dans le ficihier Excel.
- À l’aide du logiciel :
- Déterminer la valeur de la vitesse à chaque instant et la valeur de la vitesse limite vlim.
- Calcul de la
vitesse : au départ
vo =
0,0 m / s
- On recopie la formule autant que
nécessaire :
- On en déduit la valeur de la vitesse limite :
vlim ≈ 0 ,95 m / s
- On clique sur l’onglet «euler » pour
l’exploitation des valeurs expérimentales.
- On obtient l’affichage suivant :
- Cette valeur est très importante pour la suite.
- Tracer v (t).
On clique pour charger les valeurs
expérimentales :
On obtient l’affichage suivant :
- On peut modifier le réglage des axes pour une meilleure exploitation du graphe :
- Commenter la courbe obtenue.
- La bille chute verticalement
- Dans un premier temps, la bille est animée d’un mouvement rectiligne accéléré.
- La bille parcourt des distances de plus en plus grandes pendant des durées égales.
- Puis la variation de la vitesse diminue pour s'annuler.
- Dans un second temps, la bille est animée d’un mouvement rectiligne uniforme.
- La bille parcourt des distances égales pendant des durées égales.
- La bille atteint alors sa
vitesse limite : vlim ≈
0 ,95 m / s
II- Exploitation des résultats.
1)- Modélisation.
- La force de frottement exercée par un fluide peut-être modélisée de deux façons :
- Modèle 1 :
f
= k1.v
- Modèle 2 :
f
= k2.v
2
- À partir de la deuxième loi de Newton, établir l’équation différentielle liant l’accélération a à la vitesse v et la mettre sous la forme :
- avec
2)- méthode d’Euler.
- Résoudre cette équation différentielle par la méthode d’Euler à l’aide du tableur Excel à l’aide des deux modèles de la force de frottement et la valeur de la vitesse limite vlim.
- Tracer pour chaque modèle v(t) et comparer les courbes obtenues avec celle obtenue expérimentalement.
- Conclure quant à la validité du modèle pour la force de frottement hydrodynamique.
- Que se passe-t-il si la valeur du pas δt augmente ou diminue ? Quelle est la valeur du pas la mieux adaptée à l’expérience ?
- Explication de la méthode :
- On se propose de résoudre numériquement l’équation différentielle (2) par la méthode d’Euler.
- Cette méthode consiste à obtenir des valeurs approchées de la fonction v = f (t) et d’en déduire une représentation graphique.
- À condition de choisir δt suffisamment petit, on peut écrire que :
- Or δv représente la variation de la valeur de la vitesse pendant la durée δt.
- Si on connaît les valeurs de α et b et les conditions initiales, on peut trouver de proche en proche les différentes valeurs de la vitesse v au cours du temps.
- Pour le modèle 1 : la relation devient :
- Les conditions initiales sont les suivantes : au temps t0 = 0, v = v0.
- On choisit une valeur de dt suffisamment petite : C’est le pas du calcul.
- À la date t1 = t0 + δt, la vitesse est devenue : v1 = v0 + δv0 avec
-
- en conséquence : ou
- Cette valeur est calculable puisque les valeurs α1, b et v0 sont connues.
- On procède de la même façon pour le calcul de v 2.
- À la date
t2 =
t1 +
δt, la vitesse est devenue :
v2 =
v1 +
δv1
=
v1 + (b
– α1.v1).δt.
- À la date
tn+1 =
tn +
δt, la vitesse est devenue :
vn+1 =
vn +
δvn
=
vn + (b
- α1.vn).δt.
- On peut en répétant ce calcul, déterminer la valeur de la vitesse aux différentes dates séparées de δt.
- On peut ainsi obtenir la représentation graphique de
v
en fonction du temps
t.
- L’équation différentielle « a été résolue » numériquement par une méthode itérative.
- Pour le modèle 2 : la relation devient :
- Les conditions initiales sont les suivantes : au temps t0 = 0, v = v0.
- On choisit une valeur de δt suffisamment petite : C’est le pas du calcul.
- À la date t1 = t0 + δt, la vitesse est devenue : v1 = v0 + δv0 avec
-
- Cette valeur est calculable puisque les valeurs α2, b et v0 sont connues.
- On procède de la même façon pour le calcul de v 2.
- À la date
t2 =
t
+
δt, la vitesse est devenue :
v2 =
v1 +
δv1
=
v1 + (b
– α2.v21).δt.
- À la date
tn+1 =
tn +
δt, la vitesse est devenue :
vn+1 =
vn +
δvn
=
vn + (b
– α2.v2
n).δt.
- On peut en répétant ce calcul, déterminer la valeur de la vitesse aux différentes dates séparées de δt.
- On peut ainsi obtenir la représentation graphique de
v
en fonction du temps
t.
- L’équation différentielle « a été résolue » numériquement par une méthode itérative.
- Remarque :
- On peut améliorer la précision des calculs en choisissant un pas de calcul δt plus petit, mais cela impose un grand nombre de calculs.
- Il faut disposer d’une calculatrice graphique ou d’un tableur
3)- Modèle 1 : Calcul des constantes α1 et b.
- et
- La connaissance des différentes masses volumiques permet de calculer la valeur de b.
- à partir de la valeur de la vitesse limite, on peut calculer la valeur de a1.
- Lorsque le mobile a atteint sa vitesse limite :
-
4)- Modèle 2 : Calcul des constantes a 2 et b.
- et
- Pour b, la valeur est la même :
- à partir de la valeur de la vitesse limite, on peut calculer la valeur de a2.
- Lorsque le mobile a atteint sa vitesse limite :
-
5)- exploitation avec Excel.
- Entrer les valeurs des différentes constantes dans les cellules.
- Méthode 1 :
- On utilise le fait que : avec et que :
- La colonne E permet de calculer les différentes vitesses et la colonne D permet de calculer la variation de la valeur de la vitesse pendant l’intervalle dt.
- Dans la cellule E15, entrer la valeur de v0 = 0
- Dans la cellule
D15
entrer la formule :
= $H$12 – $I$12 * E15
puis
dupliquer cette formule vers le bas.
- Dans la cellule E16 entrer la formule : =E15+D15*$H$9 puis dupliquer vers le bas.
- Méthode 1 :
- Dans la cellule
E15, entrer la valeur de
v0 =
0
- Dans la cellule
D15 entrer la formule :
= $H$12 - $I$12 * E15
puis on duplique cette formule vers le bas.
- Dans la cellule
E16 entrer la formule :
=E15+D15*$H$9
puis on la duplique vers le bas.
- Et la courbe suivante apparaît.
- Méthode 2 :
- On utilise le fait que : avec et que :
- Dans la cellule G15, entrer la valeur de v0 = 0
- Dans la cellule
F15
entrer la formule :
= $H$12 – $J$12 * G15^2
puis
dupliquer cette formule vers le bas.
- Dans la cellule G16 entrer la formule : =G15 + F15*$H$9 puis dupliquer vers le bas.
- Méthode 2 :
- Dans la cellule
G15, entrer la valeur de
v0 =
0
- Dans la cellule
F15 entrer la formule :
= $H$12 - $J$12 * G15^2
puis on la duplique vers le bas.
- Dans la cellule
G16 entrer la formule :
= G15 + F15*$H$9
puis on la duplique vers le bas.
- Les différentes courbes :
- Il faut ajuster la valeur des différents
paramètres :
- Masse de la
bille : m = 4,07 g
- Masse volumique de
la bille : ρ = 7563 kg / m3
- Masse volumique de
l’huile : ρ0 = 920 kg / m3
- Il faut indiquer
la valeur de la vitesse limite :
vlim
≈ 0,95 m / s.
- Puis, il faut
ajuster la valeur de l’intervalle de temps
dt.
- Après réglage des différents paramètres :
Le tableau de valeurs :
Les différentes
courbes : pas du calcul :
dt
= 40 ms
- Le modèle 1 est le mieux adapté pour
décrire le mouvement de la bille dans l'huile.
- C'est le modèle qui se rapproche le plus
des valeurs expérimentales.
- Dans l'huile, la force de frottement que
subit la bille est de la forme :
-
Modèle 1 : f
= k1.v
- Bilan des forces :
Aux temps t1, t2, …. - Il apparaît une force de frottement f qui dépend : - De la valeur de la vitesse. -
De la forme de la bille. - Des caractéristiques du liquide dans lequel la bille est immergée. |
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- Lorsque la
bille se déplace dans l’huile, il apparaît une force de frottement qui
dépend :
- De la valeur de
la vitesse.
- De la forme de la bille.
- Des caractéristiques du
liquide dans lequel la bille est immergée.
- Si la valeur de la
vitesse de la bille par rapport au fluide est faible, le fluide s’écoule de
façon régulière et continue autour du corps.
- Dans ces
conditions, la force de frottement de valeur f
s’exerçant sur une sphère de rayon R
est proportionnelle à la vitesse :