Un ressort de masse négligeable, à spires non jointives, a un coefficient de raideur k et une longueur à vide ℓ₀.

À son extrémité droite, une bille, de masse m = 150 g, est fixée à la butée P.

Dans cette première partie de l’exercice, la bille est solidaire de la butée P. 

Elle ne sera libérée que dans la seconde partie.

On prend pour l’intensité de la pesanteur : g = 9,81 m / s².

On travaille dans le repère , l’origine O du repère coïncide avec le point P quand le ressort n’est ni comprimé, ni étiré.

On néglige les frottements et on repère à l’instant t la position P par son abscisse x (t).

On comprime le ressort de sorte qu’à l’instant t = 0 s, x (0) = – 0,10 m et on abandonne la bille sans vitesse initiale.

On chronomètre quinze allers et retours de la bille.

On lit la durée 6,12 s sur le chronomètre.

1)- Déterminer la valeur de la période T₀ du phénomène.

Un ressort de masse négligeable, à spires non jointives, a un coefficient de raideur k et une longueur à vide ℓ₀.

À son extrémité droite, une bille, de masse m = 150 g, est fixée à la butée P.

Dans cette première partie de l’exercice, la bille est solidaire de la butée P. 

Elle ne sera libérée que dans la seconde partie.

On prend pour l’intensité de la pesanteur : g = 9,81 m / s².

On travaille dans le repère , l’origine O du repère coïncide avec le point P quand le ressort n’est ni comprimé, ni étiré.

On néglige les frottements et on repère à l’instant t la position P par son abscisse x (t).

On comprime le ressort de sorte qu’à l’instant t = 0 s, x (0) = – 0,10 m et on abandonne la bille sans vitesse initiale.

On chronomètre quinze allers et retours de la bille.

On lit la durée 6,12 s sur le chronomètre.

1)- Déterminer la valeur de la période T₀ du phénomène.

-  Période T₀ du phénomène.

- 

2)- à l’aide de l’analyse dimensionnelle, montrer que T₀ est proportionnelle à .

On admettra que le coefficient de proportionnalité est égal à 2 p.

-  analyse dimensionnelle.

3)- Exprimer en fonction de m et de T₀ la constante de raideur k du ressort, puis la calculer.

-  Constante de raideur du ressort.

-  

 étude du lanceur de la bille du flipper.

Le flipper est constitué d’un plan horizontal et d’un plan incliné d’un angle α = 20 ° avec l’horizontale et d’un longueur L = 80 cm.

Au sommet du plan incliné, se trouve une cible H à atteindre.

On comprime le ressort de x (0) = – 0,10 m, on pose la bille contre la butée et on libère le système.

La bille quitte la butée et on considère qu’elle poursuit son mouvement en glissant sans frottement sur la portion de plan horizontal,

puis sur le plan incliné avant d’atteindre la cible H.

1)- D’où provient l’énergie acquise par la bille.

-  Énergie acquise par la bille.

-  On comprime le ressort. À l’instant initial, le ressort a emmagasiné de l’énergie potentielle élastique.

-  Au cours de la détente, cette énergie est transformée en énergie cinétique. La bille possède alors une vitesse de déplacement v.

2)- On suppose que l’énergie mécanique est conservée et que la bille quitte le ressort quand celui-ci reprend sa longueur à vide ℓ₀.

a)- Établir l’expression littérale de la vitesse avec laquelle la bille quitte le ressort, puis effectuer l’application numérique.

-  Expression littérale et valeur de la vitesse de la bille.

-  Comme il n’y a pas de pertes d’énergie : L’énergie potentielle élastique du ressort s’est transformée en énergie cinétique dans la bille.

-  État initial position x_i = – 0,10 m, le système S = {bille, ressort}, ne possède que de l’énergie potentielle élastique :

-  

-  Instant t :

-  à cet instant, le ressort n’est ni comprimé, ni étiré.

-  La bille possède la vitesse v₀.

-  le système S = {bille, ressort}, ne possède que de l’énergie cinétique :

-  

-  Comme l’énergie mécanique du système S se conserve :

b)-  En considérant que l’énergie mécanique de la bille, déduire de la question précédente sa vitesse en A.

-  Vitesse de la bille au point A.

-  On considère le système S’ = {bille, Terre}. La bille n’est plus en interaction avec le ressort.

-  À l’instant où la bille n’est plus en contact avec le ressort, elle possède une vitesse v₀.

-  On prend comme référence de l’énergie potentielle de pesanteur l’altitude du plan horizontal.

-  Le système S’ possède l’énergie mécanique suivante :

-  

-  Au cours du déplacement de 0 à A, la bille se déplace sur un plan horizontal.

-  On néglige les forces de frottement. Son énergie mécanique se conserve :

3)- On veut déterminer la vitesse minimale v_min que doit posséder la bille, en A, pour atteindre la cible H au sommet du plan incliné.

a)- Faire un schéma de la bille en mouvement sur le plan incliné entre les points A et B et représenter les forces qui s’exercent sur elle.

-  Schéma :

b)- Établir l’expression du travail de ces forces entre les points A et H. Effectuer l’application numérique.

-  

c)- Établir l’expression de v_min, puis effectuer l’application numérique.

-  Vitesse minimale de la bille en A.

-  En utilisant la conservation de l’énergie mécanique :

-  

-  Valeur de la vitesse limite.

-  

4)- En utilisant les résultats des questions précédentes, établir l’expression littérale de la longueur minimale x_min (0) de compression initiale

du ressort pour que la bille atteigne la cible H.

-  Effectuer l’application numérique.

-  Longueur minimale de compression x_min (0).

Un oscillateur mécanique est constitué d’un mobile de masse m = 46 g qui peut glisser sur un banc à coussin d’air horizontal,

et de deux ressorts identiques, parallèles au banc, ayant chacun la même constante de raideur k.

On notera ℓ₀ et ℓ_e respectivement les longueurs à vide et à l’équilibre des deux ressorts.

On enregistre les évolutions temporelles x = f (t) de l’élongation du centre d’inertie G du mobile mesurée

par rapport à la position d’équilibre 0 et v = g (t) de la vitesse de ce point.

1)- En précisant les conditions initiales choisies, établir l’expression numérique de x (t).

Un oscillateur mécanique est constitué d’un mobile de masse m = 46 g qui peut glisser sur un banc à coussin d’air horizontal,

et de deux ressorts identiques, parallèles au banc, ayant chacun la même constante de raideur k.

On notera ℓ₀ et ℓ_e respectivement les longueurs à vide et à l’équilibre des deux ressorts.

On enregistre les évolutions temporelles x = f (t) de l’élongation du centre d’inertie G du mobile mesurée

par rapport à la position d’équilibre 0 et v = g (t) de la vitesse de ce point.

1)- En précisant les conditions initiales choisies, établir l’expression numérique de x (t).

-  Expression de x = f (t).

-  À l’instant initial t = 0 s, l’élongation du ressort est maximale x_m = 0,04 m, et la vitesse est nulle, v_0x = 0 m / s.

-  De plus, x est une fonction sinusoïdale  du temps :

- 

2)- D’après la courbe 1, à quels instants la vitesse du mobile est-elle égale à  ?

-  étude de la vitesse.

-  Amplitude de la vitesse :

-  La valeur de l’amplitude de la vitesse en tenant compte de l’échelle :

-  v_m ≈ 1,2 m / s  (voir la représentation graphique).

-  On peut déterminer graphiquement les instants où la vitesse du mobile vaut :

-  .

3)- La courbe 2 représente les variations de l’énergie potentielle du système S = { solide + ressort } en fonction de l’élongation x.

- En déduire la valeur de l’énergie cinétique du mobile quand .

-  Échanges énergétiques.

-  L’énergie mécanique  E_m du système S = { solide + ressort } horizontal est la somme de l’énergie cinétique E_C du système S

et de l’énergie potentielle élastique E_pe du ressort.

-  Le solide se déplace sur coussin d’air.

-  On néglige les forces de frottements.

-  L’énergie mécanique se conserve.

-  Lorsque la vitesse est nulle, l’élongation est extrémale et lorsque la vitesse est extrémale, l’élongation est nulle.

-  Énergie mécanique initiale : à l’instant initial, l’élongation du ressort est maximale et la vitesse est nulle.

- 

-  Valeur de l’énergie cinétique si

-  additif :