|
Phys. N° 12 |
Satellites et Planètes. Cours. |
|
|
|
|
Programme 2012 : Applications des lois de Newton et Kepler. Programme 2012 : Physique et Chimie Programme 2020 : Physique et Chimie |
|
|
|
2)- Loi de Gravitation Universelle. |
|
III- Mouvements des planètes et des satellites. |
|
QCM N° 06 |
Pour
aller plus loin :
Mots clés : Lois
de Kepler ; le système solaire ; mouvements des planètes ; mouvements
des satellites ; la force gravitationnelle
;
...
- Pour Ptolémée (II e siècle), la Terre autour de laquelle tourne le Soleil est le centre du Monde.
- Copernic est à l’origine du système héliocentrique (1543).
- Dans ce référentiel, les neuf planètes du système solaire ont des trajectoires quasi circulaires dont le centre est le Soleil.
- Kepler (1571 – 1630) utilisant les travaux de son maître Tycho Brahé (1546 – 1601)
- formule les trois lois qui décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil.
a)- Première loi : la loi des trajectoires
- Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont le Soleil est l’un des foyers.
- Remarque : le cercle est une ellipse dont les deux foyers sont confondus avec le centre.
- Définition d’une ellipse : une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes F et F’ (les foyers) est une constante :
- r1 + r2 = 2 a.
- Le grand axe de l’ellipse est égal à 2 a.
- La distance entre les deux foyers est 2 c.
Schéma : animation
b)- Deuxième loi : Loi des aires.
- Le segment de droite qui relie le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.
- Il résulte de ceci que la planète se déplace plus vite lorsqu’elle se rapproche du Soleil.
- En toute rigueur, le mouvement d’une planète n’est pas uniforme.
animation : CABRIJAVA
c)- Troisième loi : Loi des périodes.
- Pour toutes les planètes, le rapport entre le cube du demi-grand axe a de la trajectoire et le carré de la période T de révolution est la même :
-
.
- Cette constante ne dépend pas de la masse de la planète.
- Si la trajectoire est circulaire, on peut écrire que :
- 
.
II-
Le système Solaire.
- Les neuf Planètes gravitent approximativement dans le même plan autour d’une étoile centrale :
- Le Soleil.
- Ce plan qui contient le centre du Soleil est appelé : Plan de l’écliptique.
- Le système Solaire comprend :
- le Soleil, les planètes ( Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune et Pluton) et des satellites naturels ou artificiels.
|
En août 2006, l'Union Astronomique internationale a décidé que Pluton n'était plus une planète, mais une planète naine. Définition d'une planète : Pour qu'un objet céleste soit une planète, il faut :
Sources : Lucy et Stephen HAWKING Georges et les secrets de L'UNIVERS |
- Les trajectoires des planètes sont des ellipses très voisines de cercles (sauf pour Pluton qui joue un rôle un peu particulier).
- Dans le référentiel Héliocentrique, le mouvement du centre d'une planète autour du Soleil est quasiment circulaire.
- Le centre de chaque trajectoire circulaire coïncide presque avec le centre du Soleil.
- La Terre possède un seul satellite naturel (La Lune) et un nombre important de satellites artificiels.
2)- Loi de gravitation Universelle.
|
Énoncé : - Deux corps ponctuels A et B de masses respectives mA et mB exercent l’un sur l’autre des forces d’attraction, - directement opposées, - dirigées suivant la droite (AB), - de valeur proportionnelle aux masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance r. |
- Schéma :
- Expression vectorielle :
- Principe de l’action et de la réaction :
-
- G est la constante de gravitation Universelle : G ≈ 6,67 x 10– 11 m3. kg – 1 . s– 2.
- La loi de gravitation Universelle s’applique au corps à répartition sphérique de masse comme les planètes.
- Application :
- Calculer la valeur des forces d’attraction Soleil –Terre et Terre–Soleil.
- Pourquoi une seule de ces actions est perceptible ? Laquelle ?
- Données :
|
MS = 1,98 x 10 30 kg |
MT = 5,98 x 10 24 kg |
|
rST = 149,5 x 10 6 km |
G ≈ 6,67 x 10 – 11 S.I |
- Valeur des forces : d’après le principe de l’action et de la réaction :
- 
- L’action du Soleil sur la Terre est perceptible car :
-
3)- Le référentiel héliocentrique.
- C’est un solide imaginaire constitué par le centre S du Soleil et de 3 axes d’origine S parallèles aux directions de trois étoiles lointaines fixes.
- Le référentiel héliocentrique est galiléen.
- On peut considérer que les planètes du système solaire ont un mouvement quasi circulaire uniforme dans le référentiel héliocentrique.
4)- Le référentiel géocentrique.
Animation : CABRIJAVA
- C’est un solide imaginaire constitué par le centre T de la Terre et de 3 axes d’origine T parallèles aux directions de trois étoiles lointaines fixes.
- Le référentiel géocentrique est galiléen pour des durées d’étude inférieures à 365 j.
- Il n’est pas entraîné dans le mouvement de rotation de la Terre.
- Dans ce référentiel, la Terre est animée d’un mouvement de rotation de période T = 24 h.
- On peut considérer que les satellites de la Terre ont un mouvement quasi circulaire uniforme dans le référentiel géocentrique.
III-
Mouvements des planètes et des satellites.
1)- Le mouvement circulaire uniforme.
a)- Caractéristiques du mouvement circulaire uniforme.
- Considérons un point mobile M animé d’un mouvement circulaire uniforme.
- La trajectoire est un cercle de centre O et de rayon R et la valeur de la vitesse ne change pas au cours du temps.
- Pour simplifier l’étude d’un tel mouvement et en déduire les caractéristiques, il faut utiliser le repère de Frenet :
- 
- 
désigne un vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté
dans le sens du mouvement.
- 
désigne un vecteur unitaire perpendiculaire à
et orienté vers le centre O du cercle.
Animation : CABRIJAVA
- Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au point considéré
.
- Le vecteur vitesse change de direction à chaque instant.
- Pour obtenir les coordonnées du vecteur accélération, il faut dériver cette expression par rapport au temps.
- 
(1) ceci se dérive comme un produit.
- Le vecteur accélération peut se décomposer de la façon suivante :
-
- R est le rayon de la trajectoire circulaire.
- En conséquence, le vecteur accélération peut être décomposé en une :
- Accélération tangentielle qui dépend de la variation de la valeur de la vitesse.
- Accélération normale qui est liée à la variation de la direction du vecteur vitesse.
- Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme :
- 
- L’accélération est radiale et centripète.
- Elle est dirigée vers le centre de la trajectoire.
|
Application : - on étudie le mouvement d’un satellite de la Terre dans le référentiel géocentrique. - Ce satellite a une masse m et son centre d’inertie est situé à la distance R du centre de la terre. - La masse de la Terre est notée : MT. - Quelles sont les caractéristiques de la force d’attraction gravitationnelle qu’il subit ? - En déduire celles de son accélération. - On néglige les forces d’attraction gravitationnelle exercées par les planètes voisines et par le Soleil. - Que se passe-t-il lorsque la trajectoire du satellite est circulaire ? - Donner l’expression de sa vitesse dans le référentiel géocentrique. - On note R = RT + h, ou h désigne l’altitude du satellite. - Comment varie la valeur de la vitesse en fonction de l’altitude ? - Donner l’expression et calculer la vitesse et la période de la station orbitale ISS de masse m = 415 t - et d’altitude h = 400 km (RT = 6380 km ; MT = 5,98 x 10 24 kg ; - G = 6,67 x 10 – 3 m 3.s – 2 .kg). |
|
Correction : -
Le
satellite S est soumis
à une force gravitationnelle exercée par
- Expression vectorielle de la force : -
- Dans le référentiel géocentrique, on applique la deuxième loi de Newton : - - Pour simplifier l’étude, on travaille dans le repère de Frenet : -
- On remarque que
- L’expression de l’accélération dans ce repère :
- Dans le référentiel géocentrique, l’accélération du centre d’inertie du satellite est indépendante de sa masse. - Le vecteur accélération est centripète. - Si la trajectoire du satellite est circulaire, alors : -
- puisque dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme : - - En identifiant : -
- Dans le référentiel géocentrique, le mouvement d’un satellite en orbite circulaire est uniforme. - Sa vitesse dépend de l’altitude mais est indépendante de sa masse m.
- - La vitesse diminue lorsque l’altitude augmente. - Valeur de la vitesse : -
- Expression de la période : durée nécessaire pour effectuer un tour : - - Valeur de la période. - |
3)- Le Satellite géostationnaire.
|
- Un Satellite Géostationnaire est un Satellite qui reste toujours à la verticale d’un même point P de la Terre. - Le plan de l’orbite dans le référentiel géocentrique est le plan équatorial. - Quelle est la période T de révolution d’un tel Satellite ? - En déduire l’altitude h d’un Satellite géostationnaire. - Période de révolution d’un Satellite Géostationnaire : - C’est la durée pour effectuer un tour dans le référentiel géocentrique : - c’est la durée d’un jour sidéral 1 j = 86164 s = 23 h 56 min 4 s - altitude de révolution d’un Satellite Géostationnaire : - - |
Animation : CABRIJAVA
1)- Détermination de la masse d’une planète.
|
Lorsqu’un Satellite est animé d’un mouvement circulaire, autour d’une planète de masse M, le rayon r de son orbite et la période T de son mouvement vérifient la troisième loi de Kepler : - a)- Les Satellites géostationnaires de la Terre ont une orbite circulaire de rayon rG = 42164 km et une période TG = 86164 s. Calculer la masse MT de la Terre. b)- Mars a deux Satellites naturels, Phobos et Deimos. - Phobos gravite à la distance rp = 9380 km du centre de Mars avec une période Tp = 7 h 39 min. - Deimos a une trajectoire quasi circulaire de rayon rD = 23460 km et une période de révolution TD = 30 h 18 min. - Calculer la masse MM de la planète Mars à partir des caractéristiques du mouvement de Phobos et de Deimos. - Comparer les valeurs obtenues. c)- Au cours de la mission APOLLO XVII en 1972, le module de commande en orbite autour de la Lune à une distance de 2040 km du centre de celle-ci, avait une période de 8240 s dans le référentiel Sélénocentrique. - Calculer la masse de la Lune. |
|
Solution :
- Masse de
- - Masse de la planète Mars : En utilisant les caractéristiques de Phobos. - - en utilisant les caractéristiques de Deimos. -
- Comparaison des valeurs :
-
- incertitude relative :
- Masse de - |
|
QCM N° 06 |
