Phys. N° 08 |
Oscillations libres dans un circuit (R, L, C). Cours. |
|
![]() |
Programme 2012 : Programme 2020 : |
Pour aller plus loin :
Mots clés : Oscillations libres ; oscillations libres amorties ; régime périodique ; régime pseudo-périodique ; pseudo-période ; période propre ; ... |
Représentation symbolique :
|
|
Représentation symbolique :
|
|
Représentation symbolique :
|
uAB = R . i |
II-
Décharge d’un condensateur dans une bobine.
|
Bobines : Bobine 1 : L1 = 5 mH et r1 = 4 Ω Bobine 2 :
L2
= 20 mH et
r2 = 20 Ω Boîte de condensateurs : On commence par une capacité de 1μF. Potentiomètre de 1 kΩ
que l’on utilise en rhéostat. Valeur de la tension
E
= 3 V. |
- Première étape : on charge le condensateur en plaçant le commutateur sur la position 1.
- Deuxième étape : on bascule le commutateur en position 2. On réalise ainsi un circuit (R, L, C) avec R = r + R’.
- Quelles sont les tensions visualisées à la voie
YA
et à la voie
YB ?
- On visualise les variations de la tension uAM en fonction du temps (tension aux bornes du condensateur) à la voie YA de l’oscilloscope.
- On visualise les variations de la tension uBM en fonction du temps (tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance R’) à la voie YB de l’oscilloscope.
-
Quelle est la valeur prise par la tension
uAM
lorsque le commutateur est en position
1 ?
|
- Lorsque le condensateur est chargé, uAM = E = 3,0 V.
- Qu’observe-t-on lorsque l’on bascule le commutateur sur la position 2 ?
|
- Lorsque le commutateur est en position 2, on constate que les tensions tension uAM et uBM prennent des valeurs alternativement positives et négatives.
- On remarque aussi que leurs amplitudes diminuent au cours du temps.
- La tension uAM traduit les variations de la charge : qA = C . uAM
- La tension uBM traduit les variations de l’intensité dans le circuit :
i = – |
uBM |
|
|
R' |
- Pour visualiser les variations de i dans le circuit, on appuie sur la touche – B.
- Avec la carte candi-PCI, pour visualiser i, on tape l’expression :
i = – |
u2 |
|
|
R' |
|
L = 5 mH R = 1 Ω C = 1μF. Réglages de l’oscilloscope : Sensibilité verticale : k = 1 V / div Durée de balayage : b = 0,5 ms / div |
|
Réglages de l’oscilloscope :
Sensibilité verticale : k = 1 V / div Durée de balayage :
b
= 0,1 ms / div |
- Le courant change alternativement de sens lors de la charge et de la décharge du condensateur.
- L’amplitude des oscillations diminue au cours du temps car le circuit (R, L, C) perd progressivement,
- l’énergie initialement emmagasinée dans le condensateur, par effet Joule dans les résistances.
- En conséquence, un circuit électrique (R, L, C), réalisé avec un condensateur chargé, est le siège d’oscillations électriques libres amorties.
III-
Influence de la résistance R du circuit sur les oscillations libres.
a)- Avec la carte d’acquisition Candi-PCI :
|
L = 5 mH r = 4 Ω C = 1μF. R’ = 1 kΩ |
- Première étape : on charge le condensateur en plaçant le commutateur sur la position 1.
- Deuxième étape : on bascule le commutateur en position 2.
- On réalise ainsi un circuit (R, L, C) avec R = r + R’.
- On renouvelle l’acquisition et entre chaque acquisition, on augmente la valeur de la résistance R’.
b)- Avec l’oscilloscope :
|
L = 5 mH r = 4 Ω C = 1μF. R’ = 1 kΩ |
- On observe des oscillations dont l’amplitude décroît au cours du temps.
- Pour de faibles valeurs de la résistance R’, on observe des oscillations dont l’amplitude décroît progressivement :
- Le régime est pseudo-périodique.
|
Réglages
de l’oscilloscope : Sensibilité verticale :
k
= 1 V / div Durée de balayage :
b
= 0,5 ms / div R’ = 1 Ω |
|
Réglages
de l’oscilloscope : Sensibilité verticale :
k
= 1 V / div Durée de balayage :
b
= 0,5 ms / div
R’
= 5 Ω |
- Le phénomène possède une pseudo-période :
- La pseudo-période T est la durée entre deux passages consécutifs par la valeur nulle de la tension, celle-ci variant dans le même sens.
- On peut déterminer la valeur de la pseudo-période :
|
Réglages
de l’oscilloscope : Sensibilité verticale :
k
= 1 V / div Durée de balayage : b = 0,10 ms / div R’ = 1 Ω T = b . x T = 0,10 x 4,4 T ≈ 0,44 ms |
- Selon la valeur de la résistance du circuit (R, L, C), on distingue les régimes : pseudo-périodique, critique, apériodique.
- Il existe une valeur particulière RC de la résistance R qui délimite les deux régimes. On l’appelle la résistance critique.
- Si R
< RC
, on observe des oscillations libres
amorties, c’est le régime pseudo-périodique.
- Si R
= RC
, la tension tend rapidement vers zéro,
c’est le régime critique.
- Si R
> RC, la tension tend vers zéro sans
oscillations, c’est le régime apériodique.
|
R < RC , On observe des oscillations libres amorties, C’est le régime pseudo-périodique. |
![]() |
R
=
RC
, la tension tend rapidement vers zéro, c’est le régime critique. |
![]() |
R
>
RC,
La tension tend vers zéro sans oscillations, C’est le régime apériodique. |
- Lorsque l’amortissement est faible, la pseudo-période T est pratiquement égale à la période propre T0 du circuit (L, C) sans résistance :
- T ≈ T0.
IV-
Influence de L et de C. (TP Physique N° 08)
|
- On utilise dans un premier temps la bobine L1 = 5 mH, puis L2
= 20 mH.- La valeur de la capacité de change pas, C = 1 μF.
- On obtient les oscillogrammes suivants :
|
L1
= 5 mH
C
= 1 μF. Durée de balayage : b = 0,2 ms / div T1 = b . x T1 = 0,20 x 2,2 T1 ≈ 0,44 ms |
|
L2
= 20 mH
C
= 1 μF. Durée de balayage :
b
= 0,2 ms / div T2 = b . x T2 = 0,20 x 4,4 T2 ≈ 0,88 ms |
- La valeur de la période est multipliée par deux lorsque celle de l’inductance est multipliée par quatre.
- Dans un premier temps, on utilise un condensateur de capacité C1 = 1 μF, puis C2 = 4 μF.
- La valeur de l’inductance ne change pas L = 5 mH.
|
L =
5 mH
C1
= 1 μF. Durée de balayage : b = 0,20 ms / div T1 = b . x T1 = 0,20 x 2,2 T1 ≈ 0,44 ms |
|
L =
5 mH C2
= 4 μF. Durée de balayage : b = 0,20 ms / div T2 = b . x T2 = 0,20 x 4,4 T2 ≈ 0,88 ms |
- La valeur de la période est multipliée par deux lorsque celle de la capacité est multipliée par quatre.
- La période propre d’un circuit (L, C) dépend de l’inductance de la bobine et de la capacité du condensateur
- La période propre T0 d’un dipôle (L, C) est la période des oscillations libres non amorties.
- Elle est donnée par la relation :
- Unités : T0 en seconde (s) , L en henry (H) et C en farad (F).
- Dans un circuit peu amorti, la période propre est voisine de la pseudo période : T ≈ T0
- Analyse dimensionnelle.
-
V-
Étude analytique d’un circuit oscillant.
1)- Équation différentielle d’un circuit (R, L, C).
- Montage :
|
|
Premier temps : on charge le condensateur en basculant le commutateur sur la position1. |
Deuxième temps : au temps t = 0, on bascule le commutateur sur la position 2. |
- On utilise l’additivité des tensions :
-
- On pose : R = R’ + r et on ordonne :
-
- Durant les oscillations libres amorties, la charge q du condensateur obéit à l’équation différentielle :
-
2)- Équation différentielle d’un circuit (L, C).
- Un circuit (L, C) est un circuit idéal de résistance nulle : R = 0.
- En conséquence, la charge q du condensateur obéit à l’équation différentielle suivante :
-
3)- Solutions de l’équation dans le cas d’un circuit (L, C).
- L’équation différentielle
est une équation
linéaire en
q,
du second ordre, sans deuxième membre.
- Elle admet une solution générale de la forme :
-
4)- Détermination des constantes.
- On détermine les constantes à partir des paramètres du circuit et des conditions initiales.
- Expression de :
-
- On remarque que :
-
- En remplaçant dans l’équation différentielle :
-
- Cette équation est vérifiée ceci quel que soit
t.
Or
varie au cours du
temps.
- Il faut que
- T0 représente la période propre des oscillations.
- Elle s’exprime en seconde s.
- Conditions initiales :
- à l’instant t = 0, l’intensité du courant dans le circuit est nulle
- Or
-
- La grandeur φ0 représente la phase à l’origine des dates.
- Elle s’exprime en radian rad.
- À l’instant initial, dans le cas qui nous intéresse, le condensateur est chargé,
- il porte la charge q 0 > 0, c’est la charge portée par l’armature A du condensateur au temps t = 0 s.
- Au temps t = 0 s, soit :
{ |
φ0 = 0 φ0 = π |
=> |
{ |
q (0) = q0 = qm q (0) = q0 = – qm |
- Or, à l’instant initial, le condensateur porte la charge q 0 > 0, comme la grandeur q m est strictement positive, la solution est :
- φ0 = 0 et q (0) = q0 = q m
- On peut écrire :
- q0 = qm représente l’amplitude de la charge. La charge du condensateur varie entre – q0 et + q0.
- Elle s’exprime en coulomb C.
- Remarque : on peut donner l’expression de la tension aux bornes du condensateur :
-
VI-
énergie d’un circuit
oscillant.
1)- Transfert d’énergie en régime pseudo-périodique.
a)- Montage : Ordinateur et logiciel CONDO
|
Matériel : Boite de condensateur : prendre C = 1 mF Bobines prendre L = 20 mH et r = 20 Ω ou L = 5 mH et r = 4 Ω Alimentation réglable 0 – 12 V |
- On observe les variations de la tension uAM aux bornes du condensateur au cours du temps.
- Grâce au logiciel, on peut visualiser les variations de l’énergie emmagasinée dans le condensateur et celle emmagasinée dans la bobine.
- Avec :
- D’autre part :
-
- l’énergie du circuit (L, C) idéal :
-
b)- Simulation à la calculatrice.
-
- Oscillogrammes :
Sans amortissement
Avec amortissement
- Un circuit (L, C) possède deux réservoirs d’énergie entre lesquels des échanges d’énergie provoquent des oscillations électriques.
- Des échanges d’énergie se produisent entre le condensateur et la bobine.
- Les variations de WC et WL sont périodiques, de période égale à la moitié de la période propre T0 de l’oscillateur libre.
- L’énergie du condensateur et l’énergie de la bobine varient en sens inverses.
- Si l’amortissement est négligeable, l'énergie totale du système se conserve.
- Mais comme tout circuit électrique comporte une résistance R, l’énergie se dissipe par effet Joule.
- Dans un circuit oscillant amorti, il y a échange d’énergie entre le condensateur et la bobine, mais l ‘énergie totale du circuit diminue progressivement par effet Joule.
3)- Entretien des oscillations.
- Pour obtenir des oscillations non amorties dans un circuit (R, L, C), il faut lui fournir de l’énergie pour compenser les pertes par effet Joule dans les résistances.
- On introduit dans le circuit (R, L, C), un dipôle D dont le rôle est de fournir au circuit l’énergie perdue par effet Joule.
- Ce dipôle est appelé : ‘’montage à résistance négative’’.
- Montage expérimental : utilisation de la carte Candi-PCI avec labo.
|
Montage équivalent :
|
- Manipulation :
- Pour des valeurs faibles de R0, on n’observe aucune oscillation.
- En augmentant la valeur de R0, on parvient à une valeur particulière telle que les oscillations prennent naissance dans le circuit.
- Leur amplitude croît puis se stabilise.
- Les oscillations paraissent sinusoïdales de période T0 égale à la période propre du circuit (L, C).
- Si on augmente encore la valeur de R0, les oscillations se déforment et ne paraissent plus sinusoïdales.
- Avec ce dispositif, le circuit puise périodiquement, à sa propre fréquence l’énergie dans le dipôle D.