Phys. N° 08 |
Oscillations libres dans un circuit (R, L, C). Exercices. Correction. |
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Programme 2012 : Programme 2020 : |
I- Applications.
On réalise le montage schématisé ci-dessous afin d’étudier la décharge d’un condensateur de capacité C = 1,0 μF dans la bobine d’inductance L.
1)- Représenter sur un schéma, les branchements de l’oscilloscope permettant de visualiser la tension uC aux bornes du condensateur. On obtient l’oscillogramme représenté ci-dessous (base de temps : 1 ms / div).
2)- Quelles positions successives doit prendre l’interrupteur ? 3)- Peut-on considérer la bobine comme idéale ? Pourquoi ? 4)- Comment peut-on qualifier le régime observé ? 5)- On assimile la pseudo-période à la période propre du circuit. Déterminer la valeur de l’inductance L de la bobine. 6)- On place en série dans le circuit, une résistance R variable. Comment évolue l’oscillogramme si la valeur de R augmente ? Quels sont les régimes observés ? |
Solution 1)- Branchements :
2)- Positions successives de l’interrupteur. - Premier temps, on bascule l’interrupteur en position 1 : on charge le condensateur C. - Deuxième temps, on bascule l’interrupteur en position 2 : on décharge le condensateur dans la bobine r, L. - On visualise la décharge grâce à l’oscilloscope à mémoire. 3)- La bobine n’est pas idéale car l’amplitude des oscillations diminue au cours du temps. - La bobine possède une résistance r faible mais non négligeable. 4)- On observe des oscillations libres amorties. Le régime est pseudo-périodique. 5)- Valeur de l’inductance L de la bobine - À l’aide de l’oscillogramme, on peut déterminer la valeur de la pseudo-période : - T1 = b . x - T1 = 1,0 x 4,0 - T1 ≈ 4,0 ms - Les oscillations étant peu amorties : - 6)- Si la valeur de la résistance R augmente et que R < RC, le régime observé est pseudo-périodique et l’amplitude des oscillations diminue de plus en plus rapidement. - Si R = RC, on a atteint le régime critique. - Si R > RC, on a atteint le régime apériodique. Il n’y a plus d’oscillations.
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Un circuit L C série est constitué par un condensateur de capacité C = 1,0 μF, une bobine d’inductance L = 1,0 H et de résistance négligeable, et d’un interrupteur K. Le condensateur est préalablement chargé et, l’interrupteur K étant ouvert, la tension aux ornes du condensateur est uC = 80 V. à la date t = 0, on ferme K. 1)- Établir l’équation différentielle à laquelle obéit la tension uC aux bornes du condensateur. 2)- La tension uC
(t) peut se mettre sous la forme :
puis les calculer. En déduire la valeur de la fréquence propre du circuit. 3)- On refait la même expérience, mais en intercalant un conducteur ohmique de résistance R variable en série dans le circuit. On se propose d’observer, avec un oscilloscope à mémoire, la variation en fonction du temps de la tension uC aux bornes du condensateur après la fermeture de K à la date t = 0. a)- Représenter le circuit et les connexions avec l’oscilloscope. b)- On enregistre les oscillogrammes pour diverses valeurs de la résistance R du conducteur ohmique. Attribuer un oscillogramme à chacune des trois résistances choisies : R1 = 2200 Ω ; R2 = 100 Ω ; R3 = 400 Ω. Préciser le régime des oscillations dans chaque cas.
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Solution 1)- Équation différentielle à laquelle obéit la tension uC aux bornes du condensateur. - Schéma du circuit : ![]() - L’additivité des tensions : - 2)-
expression
de la tension :
- Cette expression vérifie l’équation différentielle (1) - - En identifiant (1) et (1’) :
- Au temps t = 0, le circuit est ouvert i (0) = 0 et uC = 80 V. - - - période propre des oscillations et fréquence propre. - 3)- Influence de la résistance du circuit. a)- Schéma du circuit.
b)- Le régime des oscillations. - Courbe a : R2 = 100 Ω : Régime pseudo-périodique. Le système effectue des oscillations libres amorties. - Courbe b : R3 = 400 Ω : Régime pseudo-périodique. Le système effectue des oscillations libres très amorties. - Courbe c : R1 = 2200 Ω Régime apériodique. Le système n’effectue pas d’oscillation.
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On considère un circuit LC idéal. En plaçant un interrupteur K sur la position 1, on charge le condensateur sous la tension E = 10 V. à l’instant t = 0, on bascule l’interrupteur sur la position 2. Il s’établit un courant sinusoïdal i, pour lequel l’orientation est indiquée. La charge du condensateur évolue au cours du temps selon : q (t) = qm cos (α . t + k).
Répondre par VRAI ou FAUX aux questions suivantes :
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On considère un circuit LC idéal. En plaçant un interrupteur K sur la position 1, on charge le condensateur sous la tension E = 10 V. à l’instant t = 0, on bascule l’interrupteur sur la position 2. Il s’établit un courant sinusoïdal i, pour lequel l’orientation est indiquée. La charge du condensateur évolue au cours du temps selon : q (t) = qm cos (α . t + k). ![]() |
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1)- À l’instant t = 0, la charge du
condensateur vaut :
q0 = 10 – 6 C |
VRAI :
q0 =
C
. E ≈ 10 – 6
C |
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2)- L’intensité du courant i a pour expression :
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FAUX : avec l’orientation choisie :
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3)- La période des oscillations est : T
≈ 0,6 s |
FAUX :
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4)- L’intensité en ampère est :
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FAUX : On donne :
q
(t) =
q
m cos (α.
t +
k)
Or
Les conditions initiales donnent : t = 0 , i (0) = 0 i (t) = - a . q m sin (a t + k)
Au temps t = 0, le condensateur est chargé et il porte la charge q (0) =
C
E = q0 qui
est positive. En conséquence :
qm =
q0 et
k
= 0.
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Exercice 24 page 212 : Oscillateur électrique.
Un condensateur de capacité C = 0,25 μF est chargé à l’aide d’un générateur de tension de f.é.m. E = 6,0 V, puis déconnecté du générateur. À la date t = 0, le condensateur chargé est relié à une bobine d’inductance L et de résistance r. L’évolution au cours du temps de la tension uC aux bornes du condensateur est enregistrée à l’aide d’un ordinateur (le condensateur est étudié en convention récepteur).
1)- Comment appelle-t-on le type d’oscillations observées ? 2)- Comment interpréter la décroissance des oscillations ? 3)- Établir l’équation différentielle à laquelle satisfait uC.
4)- Mesurer la pseudo-période T’ des oscillations. 5)- On considère que la résistance r de la bobine est nulle. a)- Écrire la nouvelle équation différentielle satisfaite par u C. b)- La solution de l’équation s’écrit : uC (t) = U cos( α . t + φ). Déterminer les expressions des constantes U, α et φ. c)- en déduire l’expression de la charge q (t) du condensateur et de l’intensité i (t) à l’instant t. d)- Quelle est l’expression littérale de la période des oscillations qui prennent naissance dans le circuit ? 6)- Calculer la valeur de l’inductance L de la bobine en admettant que la pseudo-période est identique à la période. |
Un condensateur de capacité C = 0,25 μF est chargé à l’aide d’un générateur de tension de f.é.m. E = 6,0 V, puis déconnecté du générateur. À la date t = 0, le condensateur chargé est relié à une bobine d’inductance L et de résistance r. L’évolution au cours du temps de la tension uC aux bornes du condensateur est enregistrée à l’aide d’un ordinateur (le condensateur est étudié en convention récepteur).
1)- Comment appelle-t-on le type d’oscillations observées ? - On est en présence d’oscillations libres amorties. Le régime observé est pseudo-périodique. 2)- Comment interpréter la décroissance des oscillations ? - Du fait de la présence d’une résistance dans le circuit, - le système dissipe de l’énergie par effet Joule au cours des oscillations. 3)- Établir l’équation différentielle à laquelle satisfait uC.
- 4)- Mesurer la pseudo-période T’ des oscillations. - T’ ≈ 1,0 ms. 5)- On considère que la résistance r de la bobine est nulle. a)- Écrire la nouvelle équation différentielle satisfaite par u C. - Équation différentielle satisfaite par u C -
b)- La solution de l’équation s’écrit : uC (t) = U cos( α . t + φ). Déterminer les expressions des constantes U, α et φ. - Cette solution vérifie l’équation différentielle (2) : - En identifiant : -
- Or : -
- Au temps t = 0, le condensateur est chargé et - la tension aux bornes du condensateur vaut 6,0 V. - D’autre part, l’intensité i (0) = 0. - - D’autre part : - uC (t) = U cos( α t + φ) - uC (0) = U cos( α x 0 + φ) = 6,0 V > 0 - φ = 0 et U = E = 6,0 V - c)- en déduire l’expression de la charge q (t) du condensateur et de l’intensité i (t) à l’instant t. - Expression de la charge q : -
- Expression de l’intensité i : -
d)- Quelle est l’expression littérale de la période des oscillations qui prennent naissance dans le circuit ? - Période des oscillations du circuit L C. - 6)- Calculer la valeur de l’inductance L de la bobine en admettant que la pseudo-période est identique à la période. - Inductance de la bobine : -
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exercice 5 page 217 : étude et modélisation d’un circuit.
On réalise le circuit schématisé ci-dessous. Le condensateur de capacité C = 15 μF est préalablement chargé à l’aide d’un générateur idéal de tension continue (interrupteur en position 1). Il se décharge ensuite à travers un circuit comportant une bobine d’inductance L = 1,0 H et de résistance r (Interrupteur en position2).
I- Étude du circuit. 1)- Un dispositif d’acquisition relié à un ordinateur permet de suivre pendant la décharge, d’une part l’évolution au cours du temps de la tension par uC aux bornes du condensateur, et d’autre part celle de l’intensité i du courant.
a)- Les oscillations sont-elles libres ou entretenues ? Sans calcul, justifier la réponse. b)- Déterminer à partir des courbes la valeur de la pseudo-période T des oscillations. c)- Établir la relation entre l’intensité i du courant et la tension par uC aux bornes du condensateur en respectant les conventions indiquées sur le schéma. d)- Entre les instants tA et tB, le condensateur se charge-t-il ? Où se décharge-t-il ? Justifier la réponse. e)- À partir de la courbe traduisant uC (t), et en utilisant la relation de la question 1)- c)-, retrouver la valeur de i à l’instant tA et le sens réel de circulation du courant entre tA et tB. 2)- On souhaite étudier l’énergie totale E de l’oscillateur électrique. Cette énergie est la somme de l’énergie Econd stockée dans le condensateur et de l’énergie E bob emmagasinée dans la bobine. Le logiciel utilisé peut calculer, à partir des mesures, les valeurs de ces trois énergies et fournir les courbes donnant leurs variations au cours du temps.
a)- Rappeler l’expression de : l’énergie Econd ; de l’énergie Ebob. b)- L’origine des dates étant la même pour toutes les mesures, identifier les trois courbes ci-dessus en ne ustifiant que l’identification de la courbe donnant les variations de Ebob au cours du temps. c)- Interpréter brièvement la décroissance de l’énergie totale de l’oscillateur électrique. II- Modélisation. On suppose maintenant que l’oscillateur ne comporte aucune résistance. Dans ces
conditions, la tension
uC aux bornes du condensateur est de la forme :
1)- Établir l’équation différentielle vérifiée par uC (t) et préciser les conditions aux limites. 2)- Calculer la période T0 et la comparer à la pseudo-période T déterminée au I- 1)- b)-. 3)- Que peut-on dire des oscillations ? Comment qualifie-t-on le régime d’oscillations ? 4)- a)- établir, en fonction des grandeurs C, Um, T0 et t les expressions de : b)- Montrer que, dans ce cas, l’énergie totale de l’oscillateur est conservée. |
On réalise le circuit schématisé ci-dessous. Le condensateur de capacité C = 15 μF est préalablement chargé à l’aide d’un générateur idéal de tension continue (interrupteur en position 1). Il se décharge ensuite à travers un circuit comportant une bobine d’inductance L = 1,0 H et de résistance r (Interrupteur en position2).
I- Étude du circuit. 1)- Un dispositif d’acquisition relié à un ordinateur permet de suivre pendant la décharge, d’une part l’évolution au cours du temps de la tension par uC aux bornes du condensateur, et d’autre part celle de l’intensité i du courant.
a)- Les oscillations sont-elles libres ou entretenues ? Sans calcul, justifier la réponse. - On est en présence d’oscillations libres amorties. - Le circuit ne comporte pas de générateur permettant de compenser les pertes d’énergie dans le circuit par effet Joule. - Le système possède deux réservoirs d’énergie
le condensateur et la bobine. b)- Déterminer à partir des courbes la valeur de la pseudo-période T des oscillations. - Pseudo-période : -
Graphiquement, T
≈ 24 ms c)- Établir la relation entre l’intensité i du courant et la tension par uC aux bornes du condensateur en respectant les conventions indiquées sur le schéma. - Relations :
d)- Entre les instants tA et tB, le condensateur se charge-t-il ? Où se décharge-t-il ? Justifier la réponse. - À l’instant tA , le condensateur est chargé et l’intensité dans le circuit est nulle. - Puis le condensateur se décharge, la tension uC est positive et elle diminue pour s’annuler à l’instant t B. - Le condensateur se décharge. e)- À partir de la courbe traduisant uC (t), et en utilisant la relation de la question 1)- c)-, retrouver la valeur de i à l’instant tA et le sens réel de circulation du courant entre tA et tB. - À l’instant tA , la tension est maximale. -
Comme :
- Entre tA et tB, l’intensité est négative. -
Le courant circule dans le sens inverse du sens
positif choisi. 2)- On souhaite étudier l’énergie totale E de l’oscillateur électrique. Cette énergie est la somme de l’énergie Econd stockée dans le condensateur et de l’énergie Ebob emmagasinée dans la bobine. Le logiciel utilisé peut calculer, à partir des mesures, les valeurs de ces trois énergies et fournir les courbes donnant leurs variations au cours du temps.
a)- Rappeler l’expression de : l’énergie Econd ; de l’énergie Ebob. - b)- L’origine des dates étant la même pour toutes les mesures, identifier les trois courbes ci-dessus en ne justifiant que l’identification de la courbe donnant les variations de Ebob au cours du temps. - La courbe 1 représente les variations de l ‘énergie stockée dans le condensateur Econd . -
Au départ, le condensateur est chargé et l’intensité dans le circuit est
nulle. - La courbe 2 représente les variations de l’énergie emmagasinée dans la bobine Ebob au cours du temps. - Il y a échange mutuelle d’énergie entre la bobine et le condensateur. - Lorsque l’énergie stockée dans le condensateur est maximale, l’énergie
emmagasinée dans la bobine est nulle et inversement. - La
courbe 3 représente les variations de l’énergie totale
E. c)- Interpréter brièvement la décroissance de l’énergie totale de l’oscillateur électrique. - Le circuit comportant une résistance, au cours des oscillations, l’énergie initiale est dissipée par effet Joule. - Il en résulte que l’énergie du
système diminue au cours du temps. II- Modélisation. On suppose maintenant que l’oscillateur ne comporte aucune résistance. Dans ces
conditions, la tension
uC aux bornes du condensateur est de la forme :
1)- Établir l’équation différentielle vérifiée par uC (t) et préciser les conditions aux limites. - Équation différentielle :
- Au temps t = 0, le condensateur est chargé et la tension aux bornes du condensateur vaut E. - D’autre part, l’intensité i (0) = 0. 2)- Calculer la période T0 et la comparer à la pseudo-période T déterminée au I- 1)- b)-. - Période propre des oscillations : - 3)- Que peut-on dire des oscillations ? Comment qualifie-t-on le régime d’oscillations ? - On est en présence d’oscillations libres non amorties. - Il faut adjoindre au circuit un dipôle D qui compensent les pertes par effet Joule. - Ce dispositif apporte l’énergie nécessaire à l’entretient des oscillations et au rythme propre du circuit. 4)- a)- établir, en fonction des grandeurs C, Um, T0 et t les expressions de : - L’intensité du courant i(t) traversant le circuit électrique ; - Sachant que : - - L’énergie Econd stockée dans le condensateur ; - - L‘énergie E bob emmagasinée dans la bobine. - b)- Montrer que, dans ce cas, l’énergie totale de l’oscillateur est conservée. - Énergie totale : - |