Circuit (L, C) et énergie :

Le condensateur d’un circuit oscillant non amorti a une capacité C = 2,2 µF.

Il est initialement chargé sous une tension de 12 V.

1.  Calculer l’énergie initiale du circuit oscillant.

2.  Calculer la valeur maximale de l’énergie emmagasinée par la bobine lors des oscillations.

3.  Calculer la valeur maximale de l’intensité du courant dans le circuit si L = 0,10 H.

Circuit (L, C) et énergie 

1.  Énergie initiale du circuit oscillant.

-  Schéma du condensateur chargé :

-  Énergie emmagasinée par le condensateur chargé :

-  Un condensateur de capacité C, chargé sous une tension u_C, emmagasine de l’énergie :

-  C’est de l’énergie potentielle électrostatique.

-   

2.  Valeur maximale de l’énergie emmagasinée par la bobine lors des oscillations.

-  Bobine d’inductance L :

-  Courant d’intensité i :

-  Une bobine d'inductance L, traversée par un courant d’intensité i, emmagasine de l'énergie.

-  C'est de l'énergie magnétique que l'on note E_m ou W_L.

-  L’intensité du courant électrique dans un circuit comportant une bobine ne subit pas de discontinuité.

-  Le courant s’établit de façon progressive et s’annule de la même façon.

-  L’intensité du courant électrique ne peut pas passer de façon instantanée de la valeur zéro à la valeur I.

-  Schéma du circuit :

-  Le circuit ne comporte pas de résistance r.

-  L’énergie totale du système se conserve car il est non amorti.

-  Il y a échange mutuel d’énergie entre le condensateur et la bobine.

-  E = W_C + W_L = cte

-  E = W_C + W_L ≈ 1,6 × 10^–4 J

-  L’énergie emmagasinée par la bobine est maximale lorsque l’énergie emmagasinée

par le condensateur est nulle (le condensateur est alors déchargé).

-  W_L ≈ 1,6 × 10^–4 J

3.  Valeur maximale de l’intensité du courant dans le circuit si L = 0,10 H.

-   

Étude d’un oscillogramme d’un circuit (L, C) :

La figure représente l’oscillogramme de la tension aux bornes d’un condensateur d’un circuit (L, C).

Données :

-  C = 6,9 µF ;

-  Sensibilité verticale : k = 2 V . div^–1 ;

-  Durée de balayage (sensibilité horizontale) : b = 1 ms . div^–1.

1.  Déterminer la période des oscillations.

2.  Quelle est la valeur de l’inductance L ?

3.  Calculer l’énergie que possède le circuit oscillant.

4.  Calculer la valeur maximale de l’intensité du courant dans le circuit.

Étude d’un oscillogramme d’un circuit (L, C) :

-  Montage :

-  Oscillogramme :

1.  Période des oscillations.

-  Oscillogramme :

-  T = x . b

-  T ≈ 4,0 × 1,0

-  T ≈ 4,0 ms

2.  Valeur de l’inductance L.

-   

-  Application numérique :

-   

3.  Énergie que possède le circuit oscillant.

-  Le circuit ne comporte pas de résistance r.

-  L’énergie totale du système se conserve car il est non amorti.

-  Il y a échange mutuel d’énergie entre le condensateur et la bobine.

-  E = W_C + W_L = cte

-  L’oscillogramme obtenu représente les variations de la tension aux bornes d

u condensateur aux cours du temps.

-  Lorsque la tension est maximale, l’énergie aux bornes du condensateur est maximale

et l’énergie aux bornes de la bobine est nulle.

-  Lorsque la tension est nulle, l’énergie aux bornes de la bobine est maximale 

et celle aux bornes du condensateur est nulle.

-  Tension aux bornes du condensateur lorsqu’il est chargé :

-  Oscillogramme :

-  U₀ = y . k

-  U₀ ≈ 3,0 × 2,0

-  U₀ ≈ 6,0 V

-  Énergie emmagasinée par le condensateur chargé 

-   

4.  Valeur maximale de l’intensité du courant dans le circuit.

-   

Oscillations électriques amorties :

Les courbes suivantes représentent les oscillations électriques (tension aux bornes du condensateur)

de deux circuits oscillants (R, L, C) ayant la même inductance L.

1.  Lequel des deux circuits, (a) ou (b), possède-t-il la plus grande résistance ?

Justifier la réponse.

2.  Ces deux circuits ont-ils la même capacité ? Justifier la réponse.

Circuit (R, L, C) alimenté en créneaux :

Un circuit (R, L, C) est alimenté par un générateur de signaux rectangulaires.

La bobine a une inductance L = 4,7 mH et le condensateur une capacité C = 1,0 µF.

1.  Faire le schéma du montage.

2.  Calculer la période propre des oscillations.

3.  La visualisation de la tension aux bornes du condensateur montre que l’amplitude est quasiment nulle après dix oscillations.

Sur quelle fréquence convient-il de régler le générateur de signaux pour visualiser le phénomène dans les meilleures conditions.

En déduire une valeur de la base de temps b de l’oscilloscope.

Exploitation de documents :

Les documents précédents sont des enregistrements de la tension aux bornes d’un condensateur de deux circuits (R, L, C) différents.

1.  Évaluer la ,pseudo-période des oscillations enregistrées sur le document (a).

2.  Le circuit correspondant à l’enregistrement (a) comportait une bobine d’inductance L = 0,50 H

et de résistance r = 10 Ω, et un condensateur de capacité C = 4,0 µF.

Comparer la valeur expérimentale à la valeur théorique en supposant que l’amortissement est négligeable.

3.  L’enregistrement (b) est réalisé avec la même bobine, mais avec un autre condensateur.

Déterminer la capacité de celui-ci par comparaison des périodes.

4.  Dans quel cas l’amortissement est-il le plus important ?

Indiquer les paramètres qui influent sur l’amortissement des oscillations. Conclure.

Exploitation de documents :

1.  Pseudo-période des oscillations enregistrées sur le document (a).

-  Exploitation de l’oscillogramme :

-  On travaille sur 10 périodes pour plus de précision :

-  T_a ≈ 8,9 ms

2.  Comparaison la valeur expérimentale à la valeur théorique.

-  Enregistrement (a) :

-  Bobine d’inductance L = 0,50 H

-  Résistance r = 10 Ω,

-  Condensateur de capacité C = 4,0 µF

-  L’amortissement est négligeable :

-  La période propre T₀ d’un dipôle (L, C) est la période des oscillations libres non amorties.

-  Elle est donnée par la relation :

-   

-  Unités :  T₀ en seconde (s) , L en Henry (H) et C en Farad (F).

-  Dans un circuit peu amorti, la période propre est voisine de la pseudo période :

-  T₀ ≈ T.

-  Application numérique :

- 

-  En conséquence :

-  T₀ ≈ T_a

-  La pseudo-période est sensiblement égale à la période propre du circuit.

-  On est bien dans le cas où l’amortissement est négligeable.

-  Valeur de la pseudo-période T :

-   

-  Application numérique :

-   

-  Équation différentielle d’un circuit (R, L, C)

►    Additif :

3. Déterminer la capacité C du condensateur par comparaison des périodes.

-  L’enregistrement (b) est réalisé avec la même bobine, mais avec un autre condensateur.

-  Exploitation de l’oscillogramme :

-  On travaille sur 20 périodes pour plus de précision :

-  T_b ≈ 8,9 ms

-  Comme l’amortissement est faible :

-  T_0b ≈ T_b

-   

-  Remarque : T_0b ≈ 2 T_0a

-  C_a = 4 C_b

4.  Paramètres qui influent sur l’amortissement des oscillations.

-  Dans le cas du circuit (b), l’amortissement est plus important car l’amplitude diminue plus rapidement.

-  L’amortissement des oscillations dépend de la résistance totale du circuit R_T.

-  Si R_T = 0 Ω, on observe des oscillations libres non amorties (cas idéal).

-  Si 0 < R_T > R_C, on observe des oscillations libres amorties (régime pseudopériodique).

-  Si R_T = R_C, on n’observe pas d’oscillation (régime critique).

-  Si R_T > R_C, on n’observe pas d’oscillation (régime apériodique).

►    Additif :

-  On utilise l’additivité des tensions :

-   

-  On pose : R = R’ + r et on ordonne :

-   

-  Durant les oscillations libres amorties, la charge q du condensateur obéit à l’équation différentielle :

-   

-  Formulation générale :

-   

-  On pose :

-   

-  Le termeλest lié à l’amortissement du système.

-  Le terme ω₀² est lié à la pulsation propre du système :

-  On obtient l’équation générale suivante :

-   

-  On retrouve cette forme d’équation différentielle aussi bien en mécanique qu’en électricité.