Phys.
N° 06 : |
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On appelle chute
libre le mouvement d'un objet soumis uniquement à son poids.
Expérience.
-
On prend une
feuille de papier que l'on plie.
-
Lorsque la
surface de la feuille devient petite, on s'aperçoit que celle-ci tombe suivant
une ligne verticale.
-
On peut
considérer que les objets de petites tailles se déplaçant sur une faible
distance sont en chute libre.
-
Conséquence de
l'application du théorème du centre d'inertie.
-
Étant donné un
objet de masse m
en chute libre, on peut appliquer le théorème du centre
d'inertie :
-
-
Comme :
-
-
En conséquence :
-
-
on
considère que l'objet se déplace dans un champ de pesanteur uniforme
.
Pour tout
mouvement de chute libre :
L'accélération du
centre d'inertie est égale au champ de pesanteur.
Elle ne dépend
pas de la masse de l'objet, mais de la manière dont on lance l'objet.
1)- Chute libre sans vitesse initiale.
Application 1 :
- On laisse tomber, sans vitesse initiale, une pierre de masse m = 100 g dans un puits.
- La durée de la chute est Δt = 1,6 s.
-
Déterminer
l'accélération du centre d'inertie de la pierre.
-
Donner les
équations horaires du mouvement
-
Exprimer la
vitesse de la pierre en fonction de la hauteur h de chute.
-
Calculer la
profondeur du puits. Calculer la vitesse de la pierre au fond du puits.
► Étude
préliminaire :
-
Le système : la
pierre de masse m et de centre d'inertie
G.
-
Le référentiel :
référentiel terrestre considéré comme galiléen car cette courte durée, on peut
considérer que la terre n'a pas bougé.
-
Le repère
d'espaces lié au référentiel d'étude
.
-
Oz
axe vertical orienté vers le haut, Ox et
Oy axes horizontaux
perpendiculaires.
-
On choisit comme
origine des espaces la position de la pierre à l'instant initial.
-
Origine des dates
: instant où l'on lâche la pierre.
-
Conditions
initiales :
|
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► Étude dynamique :
-
Bilan des forces
:
-
Théorème du
centre d'inertie :
-
-
Comme :
-
En conséquence :
(1)
► étude
cinématique :
-
équations
horaires du mouvement.
-
Coordonnées du
vecteur accélération :
|
et |
|
|
-
Coordonnées du
vecteur vitesse.
-
On utilise la
relation :
-
.
-
On cherche les
primitives des équations précédentes.
-
Il apparaît des
constantes qui sont liées aux conditions initiales.
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D’après les conditions initiales |
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-
Coordonnées du
vecteur position.
-
On opère de la
même façon :
-
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D’après les conditions initiales |
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-
Remarque les
équations horaires sont liées au repère d'étude.
► Équations
horaires :
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Si l'on choisit un axe vertical Ox orienté de
haut en bas |
![]() |
- Vitesse de la pierre en fonction de la hauteur h de chute.
-
D'après le repère d'étude : h =
- z.
-
On peut calculer
la valeur de la vitesse : v =
g .
t.
-
Si on veut
connaître les valeurs de la hauteur de chute, de la vitesse et de
l'accélération, on obtient les équations suivantes :
a
= g |
Relation entre la vitesse
et la hauteur de chute : |
v
= g .
t |
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-
Profondeur du
puits :
-
-
Vitesse de la
pierre au fond du puits :
-
-
On peut utiliser le théorème de
l'énergie cinétique pour s'entraîner.
-
Conclusion.
-
-
De plus
az
= - g
|
a
= g = cte |
vz
= - g .
t |
v
= g .
t |
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-
Le mouvement du
centre d'inertie du solide en chute libre abandonné sans vitesse initiale est
animé d'un mouvement rectiligne, vertical, uniformément accéléré.
-
La valeur de la
vitesse croit linéairement avec la durée de chute.
2)- Chute libre avec une vitesse initiale
quelconque.
Application 2.
-
Une balle de
tennis de masse m est lancée d'un point
O avec une vitesse
initiale faisant
un angle a
avec l'horizontale.
-
On considère que
la balle est en chute libre.
-
Données
:
v0 =12,0
m / s ; α =
60 ° ; m =
50,0
g et g =
9,81
m / s².
-
On choisit comme
repère :
-
y'Oy
axe vertical orienté vers le haut et x'Ox axe horizontal orienté de
gauche à droite.
-
Le plan
(x'x,
y'y) contient le vecteur vitesse
.
-
z'Oz
est orthogonal au plan (x'x, y'y).
-
Les vecteurs
forment
un trièdre direct.
-
On choisit comme
origine des espaces le point O et l'origine des dates l'instant ou la
balle occupe la position O.
- Donner les équations horaires du mouvement. Que peut-on dire du mouvement de G suivant l'axe x'Ox, suivant l'axe y'Oy.
- Dans quel plan s'effectue
le mouvement de G ?
-
Déterminer
l'équation de la trajectoire du point G. Conclusion.
-
Déterminer la
portée horizontale (distance OC : les points
O et
C sont
situés sur la même horizontale). Donner l'expression littérale puis la valeur
numérique.
-
Quelle doit être
la valeur de l'angle a pour que la portée horizontale soit maximale ?
-
Déterminer la
flèche c'est-à-dire l'altitude maximale atteinte par le projectile. Donner
l'expression littérale puis la valeur numérique.
-
Déterminer la
durée du tir.
-
Déterminer la
valeur de la vitesse lorsque l'altitude est maximale.
-
Déterminer la
valeur de la vitesse au point C situé sur la même horizontale que le
point O.
► Étude
préliminaire :
-
Le système : la
balle de masse m et de centre d'inertie
G.
-
Le référentiel :
référentiel terrestre considéré comme galiléen car cette courte durée, on peut
considérer que la terre n'a pas bougé.
-
Le repère
d'espaces lié au référentiel d'étude :
-
Conditions
initiales :
|
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- Étude dynamique :
-
Bilan des forces
:
-
-
Théorème du
centre d'inertie :
-
-
Comme :
-
En conséquence :
(1)
►
étude
cinématique :
-
équations
horaires du mouvement
-
Coordonnées du
vecteur accélération :
|
et |
|
=> |
|
-
Coordonnées du
vecteur vitesse.
-
On utilise la
relation :
-
.
-
On cherche les
primitives des équations précédentes.
-
Il apparaît des
constantes qui sont liées aux conditions initiales.
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D’après les conditions initiales |
![]() |
-
Coordonnées du
vecteur position.
-
On opère de la
même façon :
-
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D’après les conditions initiales |
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Le mouvement
suivant l'axe x'Ox est rectiligne uniforme.
Le mouvement
suivant l'axe y'Oy est rectiligne uniformément varié.
Le mouvement de
G
est contenu dans le plan (x'x, y'y) appelé plan de tir.
- Il contient le vecteur
.
► Équation de la
trajectoire.
-
On élimine le
temps entre pour trouver la relation entre x et y :
y = f(x).
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On déduit l’équation de la trajectoire |
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La trajectoire de
G est une portion de parabole contenue dans un plan vertical contenant le
vecteur vitesse
.
►
Flèche et portée
horizontale et durée de tir.
- On va utiliser le fait que la trajectoire est une portion de parabole. On utilise les propriétés des paraboles.
Pour simplifier l'exercice, on pose :
-
-
l'équation
à étudier, est plus simple.
► Portée horizontale :
-
Il faut calculer la longueur OC, en
conséquence il faut trouver l'abscisse du point
C tel que
-
(2)
-
Il faut résoudre l‘équation (2).
-
-
On rejette la
solution xC = 0
-
Pour trouver
l'expression littérale générale, on remplace b et
m par
leurs valeurs respectives.
-
Application
numérique :
-
-
Valeur de l'angle
:
-
Pour que la
portée horizontale soit maximale :
-
sin 2 α = 1
=> α = 45 °.
-
Dans ce cas :
xC ≈
14,7 m
►
Flèche :
-
C'est l'altitude
maximale en conséquence :
-
On travaille avec
l'expression simplifiée :
-
-
altitude
maximale :
-
-
-
Application
numérique :
-
►
Durée de tir :
-
Durée
Δt
pour parcourir la distance OC :
-
-
Application
numérique :
-
►
Valeur des
vitesses en O et
C.
-
On utilise le
théorème de l'énergie cinétique :
-
- D'autre part vC = v0 car les deux points sont à la même altitude.
- En conséquence, le travail est nul et la variation d'énergie cinétique est nulle.
- Les vitesses
sont les mêmes.
Recommencer les calculs pour
α
= 30 ° et tirer les
conclusions.
Applications
: mouvement sans frottement sur un plan incliné. (Voir
TP physique N° 3 et
TP Physique N° 4)
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