I- Mouvement de chute libre.

1)- Définition.

 On appelle chute libre le mouvement d'un objet soumis uniquement à son poids.

 Expérience.

-  On prend une feuille de papier que l'on plie.

-  Lorsque la surface de la feuille devient petite, on s'aperçoit que celle-ci tombe suivant une ligne verticale.

-  On peut considérer que les objets de petites tailles se déplaçant sur une faible distance sont en chute libre.

-  Conséquence de l'application du théorème du centre d'inertie.

-  Étant donné un objet de masse m en chute libre, on peut appliquer le théorème du centre d'inertie :

-   

-  Comme :

-   

-  En conséquence :

-   

-  on considère que l'objet se déplace dans un champ de pesanteur uniforme .

2)- Conclusion.

  Pour tout mouvement de chute libre :

  L'accélération du centre d'inertie est égale au champ de pesanteur.

  Elle ne dépend pas de la masse de l'objet, mais de la manière dont on lance l'objet.

II- Exemples

1)- Chute libre sans vitesse initiale.

 Application 1 :

-  On laisse tomber, sans vitesse initiale, une pierre de masse m = 100 g dans un puits.

-  La durée de la chute est Δt =  1,6 s.

-  Déterminer l'accélération du centre d'inertie de la pierre.

-  Donner les équations horaires du mouvement.

-  Exprimer la vitesse de la pierre en fonction de la hauteur h de chute.

-  Calculer la profondeur du puits. Calculer la vitesse de la pierre au fond du puits.

► Étude préliminaire :

-  Le système : la pierre de masse m et de centre d'inertie G.

-  Le référentiel : référentiel terrestre considéré comme galiléen car cette courte durée, on peut considérer que la terre n'a pas bougé.

-  Le repère d'espaces lié au référentiel d'étude . 

-  Oz axe vertical orienté vers le haut, Ox et Oy axes horizontaux perpendiculaires.

-  On choisit comme origine des espaces la position de la pierre à l'instant initial.

-  Origine des dates : instant où l'on lâche la pierre.

-  Conditions initiales :

► Étude dynamique :

-  Bilan des forces :

-  Théorème du centre d'inertie :

-   

-  Comme :

-  En conséquence : (1)

► étude cinématique :

-  équations horaires du mouvement.

-  Coordonnées du vecteur accélération :

-  Coordonnées du vecteur vitesse.

-  On utilise la relation :

-  .

-  On cherche les primitives des équations précédentes.

-  Il apparaît des constantes qui sont liées aux conditions initiales.

-  Coordonnées du vecteur position.

-  On opère de la même façon :

- 

-  Remarque les équations horaires sont liées au repère d'étude.

► Équations horaires :

Si l'on choisit un axe vertical Ox orienté de  haut en bas

-  Vitesse de la pierre en fonction de la hauteur  h de chute.

-  D'après le repère d'étude : h = - z.

-  On peut calculer la valeur de la vitesse : v = g . t.

-  Si on veut connaître les valeurs de la hauteur de chute, de la vitesse et de l'accélération, on obtient les équations suivantes :

-  Profondeur du puits :

-   

-  Vitesse de la pierre au fond du puits :

-   

-   On peut utiliser le théorème de l'énergie cinétique pour s'entraîner.

-  Conclusion.

-   

-  De plus

-  Le mouvement du centre d'inertie du solide en chute libre abandonné sans vitesse initiale est animé d'un mouvement rectiligne, vertical, uniformément accéléré.

-  La valeur de la vitesse croit linéairement avec la durée de chute.

2)- Chute libre avec une vitesse initiale quelconque.

 Application 2.

-  Une balle de tennis de masse m est lancée d'un point O avec une vitesse initiale  faisant un angle a avec l'horizontale.

-  On considère que la balle est en chute libre.

-  Données : v₀ =12,0 m / s ; α = 60 ° ; m = 50,0 g et g = 9,81 m / s².

-  On choisit comme repère :

-  y'Oy axe vertical orienté vers le haut et x'Ox axe horizontal orienté de gauche à droite.

-  Le plan (x'x, y'y) contient le vecteur vitesse .

-  z'Oz est orthogonal au plan (x'x, y'y).

-  Les vecteurs  forment un trièdre direct.

-  On choisit comme origine des espaces le point O et l'origine des dates l'instant ou la balle occupe la position O.

-  Donner les équations horaires du mouvement. Que peut-on dire du mouvement de G suivant l'axe x'Ox, suivant l'axe y'Oy.

-  Dans quel plan s'effectue le mouvement de G ?

-  Déterminer l'équation de la trajectoire du point G. Conclusion.

-  Déterminer la portée horizontale (distance OC : les points O et C sont situés sur la même horizontale). Donner l'expression littérale puis la valeur numérique.

-  Quelle doit être la valeur de l'angle a pour que la portée horizontale soit maximale ?

-  Déterminer la flèche c'est-à-dire l'altitude maximale atteinte par le projectile. Donner l'expression littérale puis la valeur numérique.

-  Déterminer la durée du tir.

-  Déterminer la valeur de la vitesse lorsque l'altitude est maximale.

-  Déterminer la valeur de la vitesse au point C situé sur la même horizontale que le point O.

► Étude préliminaire :

-  Le système : la balle de masse m et de centre d'inertie G.

-  Le référentiel : référentiel terrestre considéré comme galiléen car cette courte durée, on peut considérer que la terre n'a pas bougé.

-  Le repère d'espaces lié au référentiel d'étude :

-  Conditions initiales :

- Étude dynamique :

-  Bilan des forces :

-   

-   Théorème du centre d'inertie :

-   

-  Comme :

-  En conséquence : (1)

►  étude cinématique :

-  équations horaires du mouvement

-  Coordonnées du vecteur accélération :

-  Coordonnées du vecteur vitesse.

-  On utilise la relation :

-  .

-  On cherche les primitives des équations précédentes.

-  Il apparaît des constantes qui sont liées aux conditions initiales.

D’après les conditions initiales

-  Coordonnées du vecteur position.

-  On opère de la même façon :

-   

D’après les conditions initiales

  Le mouvement suivant l'axe x'Ox est rectiligne uniforme.

  Le mouvement suivant l'axe y'Oy est rectiligne uniformément varié.

  Le mouvement de G est contenu dans le plan (x'x, y'y) appelé plan de tir.

-  Il contient le vecteur .

► Équation de la trajectoire.

-  On élimine le temps entre pour trouver la relation entre x et y : y = f(x).

On déduit l’équation de la trajectoire

  La trajectoire de G est une portion de parabole contenue dans un plan vertical contenant le vecteur vitesse .

► Flèche et portée horizontale et durée de tir.

-  On va utiliser le fait que la trajectoire est une portion de parabole. On utilise les propriétés des paraboles.

Pour simplifier l'exercice, on pose :

-   

-  l'équation à étudier, est plus simple.

►  Portée horizontale :

-  Il faut calculer la longueur OC, en conséquence il faut trouver l'abscisse du point C tel que

-  (2)

-   Il faut résoudre l‘équation (2).

-   

-  On rejette la solution x_C = 0

-  Pour trouver l'expression littérale générale, on remplace b et m par leurs valeurs respectives.

-   

-  Application numérique :

- 

-  Valeur de l'angle : 

-  Pour que la portée horizontale soit maximale :

-  sin 2 α = 1 => α = 45 °.

-   Dans ce cas : x_C ≈ 14,7 m

►  Flèche :

-  C'est l'altitude maximale en conséquence :  

-  On travaille avec l'expression simplifiée :

-   

-  altitude maximale :

-   

-   

-  Application numérique :

-   

►  Durée de tir :

-  Durée Δt pour parcourir la distance OC :

-   

-  Application numérique :

- 

►  Valeur des vitesses en O et C.

-  On utilise le théorème de l'énergie cinétique :

-   

-   

-  D'autre part v_C = v₀ car les deux points sont à la même altitude.

-  En conséquence, le travail est nul et la variation d'énergie cinétique est nulle.

-  Les vitesses sont les mêmes.

Recommencer les calculs pour α = 30 ° et tirer les conclusions.

Applications : mouvement sans frottement sur un plan incliné. (Voir TP physique N° 3 et TP Physique N° 4)