I- Expérience et enregistrement.

1)- Décrire le dispositif utilisé informatique et mécanique.

On utilise une table à digitaliser munie de son stylet. La table est reliée à un ordinateur. Une imprimante permet d'obtenir l'enregistrement en vraie grandeur.

Le logiciel DIGINUM 4 enregistre les données et permet le traitement de celles-ci.

Le dispositif mécanique est constitué d'un plan incliné d'un angle α = 10°, d'une soufflerie et d'un mobile auto porteur de masse m = 536 g.

2)- Décrire l'expérience et faire des schémas du dispositif (vue de dessus et de profil).

On lance le mobile auto porteur sur le plan incliné et on enregistre la position d'un point du mobile à intervalles de temps réguliers t.

Le point du mobile, dont on étudie le mouvement, est un point de la surface de contact du mobile situé à la projection du centre d'inertie G du solide sur la surface de contact.

Enregistrement :

II- Repère d'espace et repère de temps.

1)- Introduction.

L'ordinateur impose le repère d'espace : 

On travaille en vraie grandeur. L'ordinateur enregistre la position du stylet à intervalles de temps régulier τ.

-  Cet intervalle de temps est donné par l'ordinateur.

- Noter la valeur de tau : τ =

- L'ordinateur choisit comme origine des dates, l'instant ou la position du point mobile coïncide avec l'origine des espaces O.

- Le point O correspond au sommet de la trajectoire du point mobile.

2)- Coordonnées cartésiennes d'un vecteur.

- Pour connaître les coordonnées cartésiennes d'un vecteur, on projette ce vecteur sur les axes Ox et Oy.

- Coordonnées cartésiennes du vecteur

- remarque : R_x et R_y sont des grandeurs algébriques.

3)- Coordonnées polaires d'un vecteur.

- Il est très utile pour tracer un vecteur de connaître ses coordonnées polaires, surtout si l'on veut tracer une somme vectorielle.

- Pour déterminer les coordonnées polaires, on se fixe :

- Une demi-droite orientée, de vecteur unitaire , appelée axe polaire.

- Une origine O appelée pôle et un sens positif de rotation : le sens trigonométrique.

- Coordonnées polaires du vecteur

III- Étude d'un point.

1)- Choix des points.

Chaque élève travaille sur deux points, un point situé avant l'origine M_i et un point situé après l'origine M_j.

Indiquer les indices des points choisis.

2)- Date t.

- Déterminer la date de passage du point mobile pour chaque point choisi.

Si aucun point de l'enregistrement ne coïncide avec l'origine des espaces, il faut faire une interpolation linéaire. Exprimer t_i et t_j en ms et s.

3)- Vecteur position.

- Déterminer les coordonnées cartésiennes et polaires du vecteur position.

- On prendra : 0 °< | α | < 180 °.

4)- Vérifications : vérifier les valeurs à l'aide de l'ordinateur.

IV- Le vecteur vitesse.

1)- Détermination de la valeur de la vitesse instantanée.

- Soit i d'indice du point choisi : Les instants t_i-1 et t_i+1 encadrent l'instant t_i.

- Mesurer la distance parcourue par le mobile : M_i-1M_i+1.

- Déterminer la durée de parcours Δt.

- En déduire la valeur de la vitesse v_i.

2)- Tracé du vecteur vitesse.

- Tracer la parallèle issue du point M_i à la droite (M_i-1 M_i+1).

- Donner la longueur du représentant ℓ_vi du vecteur vitesse.

- On utilise l'échelle : 0,1 m / s <==> 1 cm.

3)- Déterminer les coordonnées cartésiennes et polaires de chaque vecteur vitesse.

4)- Vérifications : vérifier les valeurs à l'aide de l'ordinateur.

V- Le vecteur accélération.

1)- Introduction.

- Pour connaître le vecteur accélération au temps t_i, on détermine la variation du vecteur vitesse du point mobile pendant un intervalle de temps très court encadrant l'instant considéré.

- Cela revient à utiliser la relation approchée :

-

2)- Détermination de la direction et du sens du vecteur accélération au temps t_i.

- Rechercher les valeurs de v_i-1 et v_i+1 à l'aide de l'ordinateur.

- Tracer le représentant du vecteur  à partir du point M_i. On pose  

- Le vecteur accélération a même direction et même sens que le vecteur .

3)- Détermination de la valeur a_i du vecteur accélération au temps t_i.

- Mesurer la longueur du représentant de . À l'aide de l'échelle, donner la valeur de Δv en m / s.

- Diviser Δv par Δt et en déduire la valeur de l'accélération ai. Attention aux unités.

4)- Tracer le vecteur . Échelle : 1 m / s² <==> 1 cm.

5)- Déterminer les coordonnées cartésiennes et polaires du vecteur accélération.

VI- Décomposition du vecteur accélération dans le repère de Frenet.

1)- Déterminer graphiquement la norme de la composante tangentielle a_t et de la composante normale a_n du vecteur accélération a_i.

En déduire les coordonnées du vecteur accélération ai dans le repère de Frenet.

2)- Vérification.

- On utilise l'ordinateur :

- Déterminer la valeur de la composante tangentielle a_t à l'aide de la relation suivante : .

- Déterminer la valeur de la composante normale à l'aide de la relation suivante :

- R_i représente le rayon de courbure au point d'indice i. Il est donné par l'ordinateur

- Comparer ces valeurs à celles trouvées précédemment. Conclusion.

VII- Équation des différentes courbes.

À l'aide de l'ordinateur, on peut étudier les variations des coordonnées du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération en fonction du temps et d'en déduire les équations horaires.

1)- Équations horaires des coordonnées du vecteur accélération.

- Étudier les fonctions a_x = f₂ (t) et a_y = g₂ (t).

- Cliquer sur l'icône ÉCHELLE / GRAPHE,

mettre t en abscisse, a_x en ordonnée 1 et a_y en ordonnée 2.

- Faire un traitement statistique (icône : Ajustement ) et donner les relations : a_x = f₂ (t) et a_y = g₂ (t).

2)- Équations horaires des coordonnées du vecteur vitesse.

- v_x = f₁ (t) et v_y = g₁ (t).

- Idem.

3)- Équations horaires des coordonnées du vecteur position.

- x = f (t) et y = g (t).

- Idem.

4)- Donner l'équation de la trajectoire du point mobile.