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Physique 1 Correction |
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EXERCICE I. |
CHUTE LIBRE ET PARACHUTISME (6 points) |
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Cet exercice vise dans un premier temps à analyser quelques informations extraites d'un document Internet relatif au projet de "Grand Saut"
du parachutiste Michel Fournier et dans un deuxième temps à étudier un saut
en parachute plus classique. Les
deux parties A
et B sont indépendantes. |
PARTIE
A - Le grand saut
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D'après
l'édition Internet du vendredi l2 juillet 2002 du Quotidien Québécois
Le Devoir. 58 ans, ancien instructeur parachutiste de l'armée française, a annoncé hier son intention d'effectuer
en septembre un
saut en chute libre de 40 000 mètres d'altitude au-dessus du Canada. «Ce qui m'intéresse au premier chef c'est le record et le challenge physique que représente ce saut»,
a déclaré Michel Fournier à
Paris. Pour réaliser cet exploit, il sera équipé d'une combinaison pressurisée proche de celles utilisées par les astronautes
mais modifiée pour résister
à des températures extrêmement basses (moins 110 degrés Celsius)
et équipée d'un parachute. Il atteindra l'altitude de 40 000 mètres en trois heures environ, à bord d'une nacelle, elle aussi pressurisée, et tirée par un ballon
gonflé à l'hélium. La
durée du saut est évaluée à six minutes vingt-cinq .secondes. En l'absence de pression atmosphérique, Fournier dépassera la vitesse du son (1067 kilomètres/heure) trente secondes environ après son départ en position verticale. Il sera ensuite progressivement freiné dans sa chute par la densification de l'air. Il pourra alors reprendre une position horizontale et ouvrir son parachute à une altitude de 1000 mètres. Pour des raisons de sécurité, le saut aura lieu dans le nord du Canada, au-dessus de la base de Saskatoon, dans une zone où la densité de population est très réduite.
Le record est actuellement détenu
par l'Américain Joseph Kittinger, qui, en août 1960, avait sauté
d'une nacelle à 30 840 mètres. |
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1
- L'intensité de la pesanteur (début du saut) 1.1
- Le système constitué par le parachutiste et son équipement subit,
de la partde la Terre, une force de gravitation
Exprimer littéralement la valeur F de cette force en fonction de la masse de la Terre MT, du rayon de la Terre RT,
de la constante de gravitation universelle
G,de la masse m
du système et de son altitude
h. Expression littérale de la valeur de F :
1.2 - On assimile le poids à la force de gravitation.
En déduire
l'expression littérale de l'intensité g
de la pesanteur à l'altitude h. Expression littérale de g : On assimile le poids à la force de gravitation. En conséquence :
1.3 - Calculer l'intensité de la pesanteur à l'altitude 40 km.
Valeur
de l’intensité de la pesanteur à l’altitude de 40 km :
2
- La chute libre (début du saut) Au
début du saut, la pression atmosphérique est très faible : l'air est raréfié
et son action sur le parachutiste peut être négligée On admettra pour cette question que l'intensité de la pesanteur est constante, de valeur égale à g = 9,7 N.kg – 1. On
précise que la vitesse initiale est nulle, 2.1
- Qu'appelle-t-on une chute libre ? Un corps est en chute libre lorsqu’il est soumis à la seule action de son poids.
2.2
- Établir l'expression de l'accélération du parachutiste lors de cette
phase du saut.
Expression
de l'accélération du parachutiste lors de cette phase du saut : Le système : le parachutiste de masse m et de centre d’inertie G. On choisit un référentiel terrestre supposé galiléen. On choisit un repère associé au référentiel d’étude :
Axe vertical, orienté de haut en
bas :
2.3 - Établir la relation liant la vitesse v atteinte à la durée de chute t.
Vérifier que la durée de chute
t1 permettant d'atteindre la "vitesse" du son (soit
v1
= 1067 km.h – 1) est bien celle présentée dans le texte. Relation liant la vitesse
v atteinte à la durée de chute
t :
dans le cas considéré,
vx
=
v. La grandeur vx est une primitive de ax : vx = g . t + v0x Comme la vitesse initiale est nulle : vx = g . t vx ≈ 9,7 t Durée de chute t1 permettant d'atteindre la "vitesse" du son
(soit
v1 =
1067 km.h – 1) : 
Le résultat est en accord avec le texte : «Fournier dépassera la vitesse du son (1067 kilomètres /heure) trente secondes environ après » 2.4 - Établir la relation liant la distance x parcourue à la durée de chute. Calculer la distance x, parcourue quand la "vitesse" du son est atteinte. Quelle est alors
l'altitude h,
du parachutiste ? Relation liant la vitesse x à la durée de chute t : La grandeur x est une primitive de vx : c'est-à-dire une primitive de vx = g . t
Comme x0 = 0,
Altitude du parachutiste :
3
- Les conditions de température 3.1-
A propos du son, le terme de célérité est préférable à celui de vitesse.
Expliquer. Le son, ou l’onde sonore est une perturbation qui se propage sans transport de matière. C’est le déplacement d’une variation de pression. L’onde sonore transporte de l’énergie sans transfert de matière.
Pour le déplacement
d’une onde, on préfère utiliser le terme célérité au terme vitesse. 3.2 - En admettant que la célérité du son est proportionnelle à la racine carrée de la température absolue,
déterminer la température
θ1
de l'atmosphère
correspondant à une célérité
v1 = 1067 km.h – 1. Température θ1 de l'atmosphère correspondant à une célérité
v1 = 1067 km.h –
1
On
donne :
On tire :
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PARTIE B : Le saut classique
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Le parachutiste et son équipement (système étudié) ont au total une masse m = 80 kg. On supposera que le parachutiste s'élance sans vitesse initiale d'un ballon immobile situé à 1000 m d'altitude. Le saut
se déroule en deux
phases. 1
- Première phase Lors de la première phase, le parachute n'est pas déployé. L'action exercée par l'air peut être modélisée par une force de valeur exprimée par F = k v2 avec k = 0,28 S.I. (unités du système international) La poussée d’Archimède due à l'air sera supposée négligeable.
L'intensité de la pesanteur sera considérée
comme constante et de valeur g0
=
9,8 N.kg – 1. 1.1 - Déterminer l'unité du coefficient k
(en utilisant les unités fondamentales du système international).
Unité de k :
1.2 - Effectuer le bilan des actions exercées sur le système et établir l'équation différentielle relative à l'évolution de la vitesse du système au cours du temps. Montrer qu'elle correspond numériquement à
Bilan
des actions mécaniques : le poids
Le système : le parachutiste de masse m et de centre d’inertie G. On choisit un référentiel terrestre supposé galiléen. On choisit un repère associé au référentiel d’étude :
Axe vertical, orienté de haut en
bas
1.3 - La courbe d'évolution de la vitesse au cours du temps est représentée
en
annexe 1 à rendre avec la copie. 1.3.1- Déterminer la vitesse limite et le temps caractéristique de ce
mouvement. |
Vitesse
limite et temps caractéristique :
annexe 1
Cliquer sur l'imaqge pour l'agrandir
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Vitesse
limite : vlim
≈
53 m / s
Temps
caractéristique : τ
≈
5,5 s
1.3.2
- Comment peut-on retrouver, à partir de ce document, une valeur
approchée de l'intensité de la pesanteur ?
Valeur
approchée de l'intensité de la pesanteur : La valeur approchée de l’intensité de la pesanteur est donnée par celle du coefficient directeur de la tangente à l’origine à la courbe v = f (t) :
1.4 - La courbe précédente a en fait été obtenue par résolution de l'équation différentielle précédente par la méthode numérique itérative d'Euler. Un
extrait de la feuille de calcul est représenté ci-dessous. |
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Date
t
(s) |
Vitesse v
( m / s) |
Accélération
|
|
0,00 |
0,00 |
9,80 |
|
0,10 |
0,98 |
9,80 |
|
0,20 |
1,96 |
9,79 |
|
0,30 |
2,94 |
9,77 |
|
0,40 |
3,92 |
9,75 |
|
0,50 |
4,89 |
9,72 |
|
0,60 |
5,86 |
9,68 |
|
0,70 |
6,83 |
9,64 |
|
1.4.1 - Quel est le pas Δt utilisé pour les calculs ? Pas utilisé pour le calcul : Δt = 0,10 s. 1.4.2
- Expliquer la méthode d'Euler en effectuant les calculs de l'accélération
à la date t4
= 0,40 s et de la vitesse à la date t4 = 0,40 s.
Cette
méthode consiste à obtenir des valeurs approchées de la fonction
v
= f (t)
et d’en déduire une représentation graphique.
À
condition de choisir
Δt
suffisamment petit, on peut écrire que :
Or
Δv
représente la variation de la valeur de la vitesse pendant la durée
Δt.
Si
on connaît les valeurs de a
et b
et les conditions initiales, on peut trouver
de proche en proche les
différentes valeurs de la vitesse v
au cours du temps.
Les
conditions initiales sont les suivantes : au temps
t0 =
0, v
= v0
= 0
On
choisit une valeur de
Δt
suffisamment petite : c’est le pas
du calcul.
À
la date t1
= t0 +
Δt,
la vitesse est devenue : v1 =
v0 +
Δv0
avec
en
conséquence :
Cette
valeur est calculable puisque les valeurs
a,
b
et v0
sont connues.
On
procède de la même façon pour le calcul de
v2. À la date t2 = t1 + Δt, la vitesse est devenue :
À
la date
tn+1
= tn +
Δt, la vitesse est devenue :
Exemple pour le calcul de v4 :
On peut en répétant ce calcul, déterminer la valeur de la vitesse aux différentes dates séparées de Δt.
On peut ainsi obtenir la représentation graphique de
v
en fonction du temps t.
L’équation
différentielle « a été résolue » numériquement par une méthode itérative. La résolution mathématique de l’équation différentielle du type :
donne
comme solution :
Déterminer à quelle date le parachutiste atteindrait le sol s'il n'ouvrait pas son parachute.
Date
à laquelle le parachutiste atteindrait le sol s'il n'ouvrait pas son
parachute : Le parachutiste s'élance sans vitesse initiale d'un ballon immobile situé à 1000 m d'altitude.
Il arrive au sol après avoir parcourue 1000 m et la
durée correspondante est d’environ 23 s. |
Cliquer sur l'image pour l'agrandir
t
≈ 23 s
|
Remarque :
x est une primitive de
On trouve comme expression :
2
- Deuxième phase Le parachutiste déclenche l'ouverture de son parachute à l'instant 12 s.
La
vitesse diminue se stabilise en 4 s à la valeur limite de 4,5 m.s
– 1. 2.1 - L'ouverture du parachute modifie la force de frottement exercée par l'air qui devient F’ = k’ v2. En s'aidant de l'expression littérale de la vitesse limite,
déterminer la valeur de k'.
L’équation différentielle est de la forme :
Lorsque la vitesse limite est atteinte,
2.2 - Représenter, sur l'annexe 2 à rendre avec la copie, l'évolution de la vitesse au cours du temps (évolution correspondant à l'ensemble du saut). L'évolution correspondant à la chute étudiée au cours de la première phase, lorsque le parachute n'est pas déployé, est rappelée en trait fin. |
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