I- Dispositif expérimental.

1)- Schéma :

2)- Principe : Le C.R.A.B : Compteur de radioactivité Alpha et Bêta.

-    Le tube est rempli d’un mélange hélium-argon.

-  Chaque particule (α ou β) qui traverse la fenêtre de mica ionise le gaz qui devient conducteur entre le fil et le cylindre.

-  Il apparaît un micro courant qui est amplifié et détecté.

-  C’est ce qui permet de compter les particules.

-  Ce dispositif peut détecter jusqu’à 10 ⁶ impulsions par seconde.

-    Les impulsions du compteur sont comptées pendant une durée déterminée (on a choisi une seconde).

-  On recommence un grand nombre de fois pour mettre en évidence le caractère aléatoire du phénomène de désintégration.

-  On réalise 1000 comptages de 1 seconde de durée.

-    La source radioactive est placée à 4,5 cm du compteur.

II- Étude préalable.

1)- Écrire les équations des réactions nucléaires qui permettent de justifier l’émission des rayonnements β ^– et γ.

2)- Préciser ce que compte exactement le détecteur en faisant la distinction entre le nombre X de particules reçues et le nombre de désintégrations dans la source.

3)- Pour une source donnée, quels sont les paramètres que l’expérimentateur peut modifier et qui influent sur le comptage dans cette expérience ?

III- Mode opératoire.

-    Placer la source à une distance de 4,5 cm du compteur. Ne plus déplacer la source pendant la manipulation.

-    Choisir une durée de comptage de 1 s et ne plus la modifier.

-    Lancer le comptage en appuyant sur le bouton : ‘’départ comptage’’.

-  Noter le nombre d’impulsions enregistrées par le compteur.

IV- Mesures.

-    Faire d’abord 50 mesures successives et noter les valeurs.

-  Les disposer dans un tableau.

-    n₁ représente la fréquence de l’événement x₁.

-    Faire ensuite n = 50,  n = 200, n = 500…., n = 1000 comptages successifs et noter les valeurs.

-  Les disposer dans un tableau du même type.

-    Remarque : en mathématique, la grandeur x_i est appelée fréquence.

-    Remarque : en biologie, la grandeur n_i est appelée fréquence absolue.

V- Exploitation des mesures.

1)- Tracé des histogrammes.

-    Réaliser à l’aide des mesures un histogramme avec le nombre x_i d’impulsions porté en abscisse et le nombre n_i en ordonnée.

-    Quelles sont les remarques que l’on peut faire lorsque le nombre  n de comptage augmente ( n  = 20, 200, 500, 10000) ?

-    Ces histogrammes montrent-ils des valeurs régulièrement réparties autour d’une valeur moyenne ?

-  Qu'en est-il lorsque le nombre de comptage augmente ?

-    Quelles sont les valeurs maximales et minimales du nombre de particules détectées ?

-    Quelle est la valeur la plus fréquente ?

-    Si on effectue une mesure supplémentaire peut-on prévoir sa valeur ?

-    Pourquoi a-t-on intérêt  à faire un grand nombre de comptage ?

2)- Analyse statistique des comptages.

-    La valeur moyenne : . Que représente-t-elle ?

-    La variance  et l’écart type :

-    On démontre en probabilité que

-    Si représente la moyenne, σ  l‘écart-type et x une valeur incluse dans l'ensemble de données, alors

-    environ 68 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle : .

-    environ 95 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle : .

-    Environ 99 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle : .

VI- Notions de statistique descriptive pour une variable. (Additif)

1)- Population :

-  c’est l’ensemble étudié. Les éléments de l’ensemble sont appelés unités statistiques.

2)- Échantillon :

-  c’est un sous-ensemble quelconque de la population.

-  Si l’échantillon est prélevé au hasard, c’est un échantillon aléatoire.

3)- Caractère :

-  c’est l’aspect de l’unité statistique auquel on s’intéresse.

-  Il peut être qualitatif (couleur d’une voiture) ou quantitatif (valeur de la résistance d’un conducteur ohmique) : il se traduit alors par un nombre.

4)- Valeur statistique ou valeur du caractère :

-  la valeur du caractère est sa mesure lorsque l’on a choisi une unité.

-  On obtient des valeurs de la variable statistique.

5)- Variable discrète : elle ne peut prendre que des valeurs isolées.

-  On convient d’ordonner ces valeurs dans l’ordre croissant.

6)- Variable continue :

-  elle peut prendre n’importe quelle valeur d’un intervalle.

7)- Effectif :

-  l’effectif de x_i est le nombre d’observations n_i associées à la valeur x_i de l’intervalle statistique.

8)- L’effectif total :

- 

9)- Série statistique :

-  c’est l’ensemble des couples ( x_i ; n_i ). On donne souvent cette série sous forme d’un tableau statistique.

10)- Fréquence :

-  .

11)- La dominante ou mode :

-  c’est la valeur du caractère la plus fréquente.

12)- La moyenne :

-  c’est le quotient de la somme des mesures par l’effectif total.

-   

13)- La médiane :

-  c’est une valeur de x_i  telle que l’effectif des valeurs inférieures à cette valeur est égale à la moitié de l’effectif total.

14)- L’étendue :

-  c’est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs observées.

15)- La variance :

-  elle est égale à la moyenne des carrés diminuée du carré de la moyenne.

-    

-    Formule de Kœnig :

-    Il s’agit d’évaluer les écarts de chaque valeur de x_i  à la valeur moyenne .

16)- L’écart-type :

-  C’est la racine carrée de la variance : .

VII- Variance et écart-type

1)- La variance.

-    La variance var(x) (symbolisée par σ²) et l'écart type (la racine carrée de la variance, symbolisée par s) sont les mesures de dispersion les plus couramment utilisées.

-    la variance est une mesure du degré de dispersion d'un ensemble de données.

-  On la calcule sous la forme de l'écart au carré moyen de chaque nombre par rapport à la moyenne d'un ensemble de données.

-   Exemple : Pour les nombres 1, 2 et 3, par exemple, la moyenne est 2 et la variance : 0,667.

-      en conséquence :

- 

2)- écart-type.

-    Variance : (σ²) : écart au carré moyen de valeurs par rapport à la moyenne.

-    Comme le calcul de la variance se fait à partir des carrés des écarts, les unités de mesure ne sont pas les mêmes que celles des observations originales. 

-    Par exemple, les longueurs mesurées en mètres (m) ont une variance mesurée en mètres carrés (m²).

-    La racine carrée de la variance nous donne les unités utilisées dans l'échelle originale.

Écart-type (s) ; Racine carrée de la variance

-    L'écart-type est la mesure de dispersion la plus couramment utilisée en statistique lorsqu'on emploie la moyenne pour calculer une tendance centrale. 

-    Il mesure la dispersion autour de la moyenne.

-    La dispersion des mesures autour de la moyenne est plus étroite dans le cas d'un ensemble de données dont l'écart type est plus petit.

-   Généralement, plus les valeurs sont largement distribuées, plus l'écart type est élevé.

-    Il n'est pas toujours facile d'évaluer l'importance que doit avoir l'écart type pour que les données soient largement dispersées. 

-    L'importance de la valeur moyenne de l'ensemble des données dépend aussi de l'importance de l'écart type. 

-    Lorsque vous mesurez quelque chose en millions, le fait d'avoir des mesures qui se rapprochent de la valeur moyenne n'a pas la même signification que si vous mesurez la masse de deux personnes.

-    Par exemple, si après avoir mesuré les recettes annuelles de deux grandes entreprises, vous constatez un écart de 10 000 €, la différence est considérée comme étant peu significative, alors que si vous mesurez la masse de deux personnes, dont l'écart est de 30 kg, la différence est considérée comme étant très significative.

-    Voilà pourquoi il est utile, dans la plupart des cas, d'évaluer quelle est l'importance de l'écart type par rapport à la moyenne de l'ensemble de données.

3)- Propriétés de l'écart type.

-    On n'utilise l'écart type que pour mesurer la dispersion autour de la moyenne d'un ensemble de données.

-    L'écart type n'est jamais négatif.

-    Dans le cas des données ayant approximativement la même moyenne, plus la dispersion est grande, plus l'écart type est grand.

-    Quand on analyse des données normalement distribuées, on peut utiliser l'écart type parallèlement à la moyenne pour calculer des intervalles de données.

-    On démontre en probabilité que

-    Si  représente la moyenne, σ  l‘écart-type et x une valeur incluse dans l'ensemble de données, alors

-    environ 68 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle : .

-    environ 95 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle : .

-    Environ 99 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle : .

VIII-  Les paramètres de dispersion.

  L’écart moyen. (écart arithmétique ou moyenne des écarts).

-    On peut calculer l’écart absolu d’une mesure :  et faire la moyenne pondérée de ces écarts pour obtenir l’écart moyen que l’on note e.

-   

  L’écart type. On utilise surtout en statistique l’écart type ou l’écart quadratique moyen, noté σ.

-    Le calcul de l’écart type découle de celui de la variance car l’écart type est égal à la racine carrée de la variance.

-   

-    La variance peut se calculer à partir de la formule de Kœnig :

-   

-    En conséquence :

  L’intervalle interquartile.

-    Le premier quartile Q ₁ : il y a 25 % de mesures inférieures.

-    Le troisième quartile Q ₃ : il y a 25 % de mesures supérieures.

-    Le deuxième quartile Q ₂ : c’est la médiane.

-   Il y a  50 % de mesures dans l’intervalle interquartile [Q ₁, Q ₂].

-   Effectif total :  n = 100 ; Moyenne :  ; e ≈ 1,979 : s ≈ 2,47 ;

  Remarque :

-    ces trois paramètres de dispersion sont liés entre eux lorsque la distribution est normale ou lorsque la distribution est pratiquement normale.

-    σ ≈ 1,25 e et

IX- La Loi Normale.

-    On démontre en statistique que la distribution des mesures, lorsque le nombre de mesures augmente tend vers une distribution normale dite de Gauss – Laplace.

-    Le nombre de mesures doit-être au moins supérieur à 50.

-          La Loi Normale :

-    

-    On démontre en probabilité que

-    Si  représente la moyenne, σ  l‘écart-type et x une valeur incluse dans l'ensemble de données, alors

-    environ 68 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle : .

-    environ 95 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle : .

-    Environ 99 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle : .