La radium 226 est un élément radioactif.

Par une suite de désintégrations de types α et β ^–, il se transforme en noyau stable de plomb 206.

a)-  Donner la composition d’un noyau de radium 226.

b)-  Définir les désintégrations a et β ^– en précisant la nature de la particule émise.

c)-  Écrire l’équation représentant la première désintégration du noyau sachant qu’elle est de type α.

d)-  déterminer le nombre de désintégrations de type α et β ^–  qui permettent le passage du noyau  au noyau  .

La radium 226 est un élément radioactif.

Par une suite de désintégrations de types α et β ^–, il se transforme en noyau stable de plomb 206.

a)-  Donner la composition d’un noyau de radium 226.

-  Composition du noyau : 

b)-  Définir les désintégrations a et β ^– en précisant la nature de la particule émise.

-   La désintégration α.

-  Un noyau lourd instable éjecte une particule α et donne un noyau fils plus léger, généralement dans un état excité

-  Les particules α (alpha).

-  Ce sont des particules , des noyaux d’hélium dont l’écriture symbolique :

-  , ion He ^{2 +}.

-  Ces particules sont éjectées à grande vitesse v ≈ 2 x 10 ⁷ m / s. 

-  Ce ne sont pas des particules relativistes.

-  Les particules sont directement ionisantes mais peu pénétrantes. 

-  Elles sont arrêtées par une feuille de papier et par une épaisseur de quelques centimètres d’air.

-  elles pénètrent la peau sur une épaisseur de l’ordre de quelques micromètres. 

-  Elles ne sont pas dangereuses pour la peau.

-  Par contre, elles sont dangereuses par absorption interne : inhalation, ingestion.

-  La désintégration β ^–.

-  Cette radioactivité se manifeste lorsque le noyau présente un excès de neutrons. Au cours de la désintégration, il y a émission :

-  D’un électron noté

- Z" = Z – 2 x 5

- Z" = 88 – 10

- Z" = 78

-  Les particules β ^-  qui sont des électrons :

-  Masse : m_e = 9,1 x 10 ^{– 31} kg

-   Charge : – e = 1,602189 x 10 ^{– 19}  C

-   Les particules sont émises à grande vitesse v ≈ 2,8 x 10 ⁸ m / s.  .

-  Ce sont des particules relativistes.

-  Elles sont plus pénétrantes mais moins ionisantes que les particules α.

-  Elles sont arrêtées par un écran de Plexiglas ou par une plaque d’aluminium de quelques centimètres.

-  Elles pénètrent la peau sur une épaisseur de quelques millimètres. Elles sont dangereuses pour la peau.

c)-  Écrire l’équation représentant la première désintégration du noyau sachant qu’elle est de type α.

-  Équation de la première désintégration :

d)-  déterminer le nombre de désintégrations de type α et β ^–  qui permettent le passage du noyau  au noyau  .

-   nombre de désintégrations de type α et β ^– .

-  Le nombre de masse doit passer de la valeur A = 226 à la valeur A’ = 206. 

-  Au cours d’une désintégration β ^– , le nombre de masse ne varie pas et au cours d’une désintégration α, A’ = A – 4.

-  En conséquence , le nombre de désintégrations α est :

-   

-  Nombre de désintégrations β ^– :

-  Au bout de 5 désintégrations α :  

- Z" = Z - 2 x 5

- Z" = 88 - 10

- Z" = 78

-  Pour arriver à la valeur Z’ = 82, il faut :

- N_a = Z' – Z" = 82  –  78

- N_a = 4 

a)-  Donner l’expression de la loi de décroissance radioactive d’un nucléide en précisant la signification de tous les termes.

b)-  En déduire l’expression du temps de demi-vie t_1/2.

On considère un échantillon contenant initialement N₀ noyaux de polonium . 

-  La constante de décroissance radioactive λ du polonium 210 est :

-  λ  = 5,8 x 10 ^{– 8} s ^{– 1} .

c)-  Calculer son temps de demi-vie t_1/2  en seconde et en jour.

d)-  Combien reste-t-il de noyaux radioactifs aux instants t_1/2, 2 t_1/2, 3 t_1/2 ? Donner l’allure de la courbe de décroissance.

a)-  Donner l’expression de la loi de décroissance radioactive d’un nucléide en précisant la signification de tous les termes.

-   Loi de décroissance radioactive.

-  Le nombre de noyaux radioactifs N (t) présents à la date t dans un échantillon est donné par la loi de décroissance radioactive

-  N (t) = N₀ e ^{– λ t}

-  N₀ représente le nombre de noyaux radioactifs présents à la date t₀ = 0

-  N(t) représente le nombre de noyaux radioactifs présents à la date t

-  λ est la constante de désintégration radioactive s ^–1.

-  Chaque nucléide radioactif est caractérisé par une constante de désintégration radioactive λ, qui est la probabilité de désintégration d’un noyau par unité de temps. 

-  Elle s’exprime en s ^–1.

-  La constante λ ne dépend que du nucléide.

-  Elle est indépendante du temps, des conditions physiques et chimiques.

b)-  En déduire l’expression du temps de demi-vie t_1/2.

-  Temps de demi-vie t_1/2.

Pour un type de noyaux radioactifs, la demi-vie t_1/2 est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présent dans l’échantillon se sont désintégrés.

-  Relation entre t_1/2  et λ :

-  Au temps t :  N (t) = N₀ e ^{- λ t}

-  Au temps t + t _1/2 : N (t + t_1/2) = N ₀ e ^{- λ (t + t}1/2⁾

-  En conséquence : 

- 

-  La demi-vie n’a qu’une valeur statistique. 

-  Elle indique qu’un noyau radioactif a une chance sur deux de disparaître au bout d’une demi-vie.

On considère un échantillon contenant initialement N₀ noyaux de polonium . 

-  La constante de décroissance radioactive λ du polonium 210 est :

-  λ  = 5,8 x 10 ^{– 8} s ^{– 1} .

c)-  Calculer son temps de demi-vie t_1/2  en seconde et en jour.

-  temps de demi-vie t_1/2:

- 

d)-  Combien reste-t-il de noyaux radioactifs aux instants t_1/2, 2 t_1/2, 3 t_1/2 ? Donner l’allure de la courbe de décroissance.

-  Nombre de noyaux radioactifs aux différentes dates.

-  Représentation graphique :

Un noyau radioactif de radon  se désintègre en émettant une particule α. 

On dispose d’un échantillon de masse m = 1g de cet isotope. 

Le temps de demi-vie du radon 222 est t_1/2 = 3,8 j.

a)-  Écrire l’équation de la désintégration α du radon 222 en précisant quelles sont les lois de conservation utilisées. 

Préciser la nature du noyau fils.

b)-  Calculer la constante de désintégration radioactive du radon 222.

- 

c)-  Combien y a-t-il de noyaux radioactifs présents dans l’échantillon considéré ?

d)-   Quelle est l’activité de cet échantillon ? Quelle sera-t-elle au bout de 15 jours ?

Un noyau radioactif de radon  se désintègre en émettant une particule α. 

On dispose d’un échantillon de masse m = 1g de cet isotope. 

Le temps de demi-vie du radon 222 est t_1/2 = 3,8 j.

a)-  Écrire l’équation de la désintégration α du radon 222 en précisant quelles sont les lois de conservation utilisées. 

Préciser la nature du noyau fils.

-  Équation de la désintégration du radon 222.

-  Lois de conservation :

-  Toutes les réactions nucléaires vérifient les lois de conservation suivantes :

-  Conservation de la charge électrique.

-  Conservation du nombre total de nucléons.

-  Le noyau fils est le polonium 218.

b)-  Calculer la constante de désintégration radioactive du radon 222.

- 

c)-  Combien y a-t-il de noyaux radioactifs présents dans l’échantillon considéré ?

-  Nombre N₀ de noyaux radioactifs initialement présents.

- 

d)-   Quelle est l’activité de cet échantillon ? Quelle sera-t-elle au bout de 15 jours ?

-  L’activité A, d’un échantillon radioactif, représente le nombre de désintégration par seconde.

-  L’activité, à un instant donné, est donnée par la relation :

-   

-  Activité de cet échantillon au temps t  : A (t) = A ₀ e ^{– λ t}

-  Activité de cet échantillon à l’instant initial : A ₀ = λ . N ₀ .

-  A₀ = λ . N₀ 

-  A₀ = 2,11 x 10 ^{- 2,6}  x  2,71 x 10 ²¹

-  A₀ ≈  5,72 x 10 ¹⁵ Bq

-  Activité de cet échantillon au bout de 15 jours.

- 

Le nucléide  est radioactif β ^–  et sa désintégration s’accompagne d’une émission g.

a)-  Écrire l’équation nucléaire correspondant à la désintégration spontanée du vanadium 52.

b)-  On dispose d’un échantillon qui contient N (t) noyaux de vanadium 52 à l’instant t.

-  Quelle est l’expression de N (t) en fonction du temps t, de N₀  (valeur de N à l’instant t = 0) et de la constante de désintégration radioactive λ? 

-  On suppose que le vanadium est le seul élément radioactif présent dans l’échantillon et on définit l’activité A(t)  de celui-ci comme le taux de désintégration. 

-  Exprimer ln A (t)  en fonction de t et des constantes N₀ et λ.

c)-  On cherche à faire la vérification expérimentale du résultat précédent.

A l’aide d’un compteur, on détermine le nombre de désintégrations Δn qui ont lieu pendant une courte durée Δt encadrant les diverses dates t du tableau

et on admet que l’on peut obtenir A(t) à chaque instant par . 

-  On obtient les points de coordonnées (t, ln[ A(t) ]) portés sur le graphique ci-après.

-  Montrer que la forme de la courbe constitue une vérification expérimentale de l’expression de N(t) obtenue au 2.a.

d)-  Déduire de la courbe la valeur de la constante radioactive λ du vanadium 52.

e)-  Définir la demi-vie d’un élément radioactif et calculer la valeur de la demi-vie du vanadium 52.

Le nucléide  est radioactif β ^–  et sa désintégration s’accompagne d’une émission g.

a)-  Écrire l’équation nucléaire correspondant à la désintégration spontanée du vanadium 52.

-  équation nucléaire de désintégration.

b)-  On dispose d’un échantillon qui contient N (t) noyaux de vanadium 52 à l’instant t.

-  Quelle est l’expression de N (t) en fonction du temps t, de N₀  (valeur de N à l’instant t = 0) et de la constante de désintégration radioactive λ? 

-  Relation :  N (t) = N₀ e ^{– λ t}

-  N₀ représente le nombre de noyaux radioactifs présents à la date t₀ = 0

-  N(t) représente le nombre de noyaux radioactifs présents à la date t

-  λ est la constante de désintégration radioactive s ^–1.

-  On suppose que le vanadium est le seul élément radioactif présent dans l’échantillon et on définit l’activité A(t)  de celui-ci comme le taux de désintégration. 

-  Exprimer ln A (t)  en fonction de t et des constantes N₀ et λ.

-  Expression : on considère que A (t)  représente le taux de désintégration :

-  Si l’on considère qu’entre t et t + Δt, le nombre de noyaux radioactif a diminué de ΔN, l’activité est donnée par la relation :  

-  . 

-  Si l’on fait tendre Δt → 0 , la limite donne l’expression de l’activité :

- 

 -  ln A  = ln (A ₀ e ^{– λ t}) = ln (λ . N ₀) + ln (e ^{– λ t})

 -  ln A  =  ln (λ . N ₀) – λ . t 

c)-  On cherche à faire la vérification expérimentale du résultat précédent.

A l’aide d’un compteur, on détermine le nombre de désintégrations Δn qui ont lieu pendant une courte durée Δt encadrant les diverses dates t du tableau

et on admet que l’on peut obtenir A(t) à chaque instant par . 

-  On obtient les points de coordonnées (t, ln[ A(t) ]) portés sur le graphique ci-après.

-  Montrer que la forme de la courbe constitue une vérification expérimentale de l’expression de N(t) obtenue au 2.a.

-  Exploitation du graphique :

-  Les points sont sensiblement alignés. Il existe une relation affine entre t et  ln[ A(t) ].. 

- On peut écrire que : ln A = a.t + b où

-  a représente le coefficient directeur de la droite moyenne et b, l’ordonnée à l’origine.

-  D’autre part :

-  N (t) = N₀ e ^{– λ t}

^-  ln N = ln N₀ –  λ t

-  ln N = a.t + b' avec a = – λ  et b' = ln N₀

-  Or : A = λ . N   =>  ln A = ln λ + ln N  =>  ln A = a.t + b' + ln λ

-  ln A = a.t + b  avec b = b' + ln λ

-  Ceci est bien en accord avec la vérification expérimentale.

d)-  Déduire de la courbe la valeur de la constante radioactive λ du vanadium 52.

-   valeur de la constante radioactive λ du vanadium 52. 

-  C’est l’opposé du coefficient directeur de la droite moyenne.

-  Détermination du coefficient directeur :

- 

-  Constante de radioactive du vanadium 52 :

-  λ = – a = 2,95 x 10 ^{– 3} s ^{– 1}

e)-  Définir la demi-vie d’un élément radioactif et calculer la valeur de la demi-vie du vanadium 52.

-  Demi-vie d’un élément radioactif :

-  Définition :

-  Pour un type de noyaux radioactifs, la demi-vie t_1/2  est la durée au bout de laquelle

-  la moitié des noyaux radioactifs initialement présent dans l’échantillon se sont désintégrés.

-