TP MPI N° 09 |
Mesure de la valeur d'une résistance. Dispersion des valeurs. énoncé |
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III - Mesures des valeurs d'un échantillon de résistances à l'ohmmètre. IV - Utilisation du code des couleurs. V- Mesure d’une résistance avec un seul ohmmètre. Incertitude due à l’appareil. |
Matériel :
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═► Multimètre (nouveau), ═► fils de connexions pour mesurer les résistances, ═► 100 résistances de 1 kΩ, ordinateur (Excel). ═► Fichier Excel :TP MP I N° 09 eleves |
- Prendre conscience que l’écart à la moyenne est insuffisant pour décrire la dispersion des valeurs.
- Introduire la notion d’écart type et de variance.
- Remarque : La dispersion des valeurs rend compte de la répartition des valeurs par rapport à la valeur moyenne.
1)- Choix de l ‘échantillon.
- Pour l’étude préliminaire et pour introduire des notions de statistiques, on travaille sur un échantillon d’âges dans un groupe de personnes.
âge
( en
années) |
39 |
35 |
31 |
72 |
48 |
42 |
18 |
35 |
59 |
39 |
2)- Terminologie.
- L’âge est désigné par x. Un âge particulier par x i
- L’indice i représente le numéro de l’âge dans la liste.
- Exemple : x1 = 39 ; x5 = 48 ……
- Le nombre total de valeurs de la liste est n. Ici n = 10.
3)- Effectif d’une valeur.
- on appelle effectif ni le nombre de fois où une valeur xi apparaît dans la liste.
- Exemple : quelle est l’effectif de la valeur 39 ?
- La valeur 39 apparaît deux fois ; son effectif est n1 = 2.
4)-
Moyenne arithmétique .
- La moyenne arithmétique est le quotient de la somme des valeurs xi par le nombre n.
- On écrit :
-
- Explication : En mathématique, une somme est représentée
par la lettre grecque
( lettre sigma en majuscule).
5)- Écart à la moyenne de chacune des valeurs.
- Notation : l’écart à la moyenne de chacune des valeurs
est notée :
- Reproduire et compléter le tableau suivant :
x
i |
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|||||||||
Qu’y a-t-il de particulier ? |
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|||||||||
Était-ce prévisible ? Pourquoi ? |
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|||||||||
Les écarts à la moyenne sont des nombres relatifs. On pourrait utiliser les valeurs absolues. On préfère calculer les carrés des écarts à la moyenne. |
||||||||||
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6)- La variance : var.
- La variance var est le quotient de la somme des carrés des écarts à la moyenne par le nombre n de l’effectif total.
-
- Calculer la variance de l’échantillon.
7)- L’écart type.
- L’écart type σ est égal à la racine carrée de la variance.
- L’écart type caractérise la dispersion des valeurs.
- Affirmation : En mathématique, on constate que
l’intervalle
contient plus de la
moitié des valeurs de la liste.
Calculer la valeur de l’écart type σ.
Calculer les bornes de l’intervalle
.
Compter le nombre de valeurs comprises dans cet intervalle. L’affirmation
est-elle vérifiée ?
8)- Représentation par un diagramme en barres ou histogramme.
- En abscisse, on fait figurer les valeurs de la liste et en ordonnée l’effectif de chaque valeur.
- On trace un ensemble de segments (ou rectangles) verticaux.
- Faire apparaître sur le graphique l’abscisse de la moyenne
arithmétique et les bornes de l’intervalle
.
III-
Mesure des valeurs d’un échantillon de résistances avec un ohmmètre.
1)- Matériel et principe.
- On utilise des ‘’résistances’’ vendues par un fabricant comme des résistances de valeur 1 kΩ connue à 1 % près.
- Elles sont ‘’livrées’’ en bandes de 7, 8 ou 10 que l’on évite de défaire pour réaliser les mesures.
- Les binômes échangent les différentes bandes et travaillent sur un échantillon de 100 résistances.
- Par la suite, on va faire une étude statistique des valeurs de la résistance de cet échantillon.
- Pour effectuer la mesure de la valeur de chaque résistance, on utilise un multimètre transformé en ohmmètre.
2)- Préparation du multimètre.
Configurer le multimètre pour mesurer une résistance dont la
valeur est voisine de 1 kΩ .
- Indiquer les étapes suivies : (on utilise les sondes spéciales)
- Étape 1 :……………………………………………………………………………………………………………
- Étape 2 :……………………………………………………………………………………………………………
- Étape 3 :……………………………………………………………………………………………………………
3)- Mesures et saisie des valeurs.
- Ouvrir le dossier MPI et
sur le fichier Excel :
TP MPI n° 09 élèvesZ.zip.
- Le fichier possède trois feuilles
de calcul
et
s’ouvre à la feuille de calcul :
mesures.
- Il faut entrer les valeurs mesurées les unes à la suite des autres dans le tableau bleuté (plage A5 : T9).
- Il faut entrer des valeurs entières.
- Lorsque le tableau est rempli, il faut déterminer la valeur maximale et la valeur minimale de la résistance de l’échantillon.
- On utilise des formules spécifiques qui permettent de simplifier et accélérer le travail.
4)- Effectifs des valeurs des résistances de l’échantillon.
- On travaille dans la feuille de calcul :
‘’mesures’’
- Le but de cette étape est de déterminer l’effectif, noté n i de chaque valeur, notée x i de la résistance de l’échantillon.
- Dans la cellule
E11
(jaune) taper la formule : =MAX(A5:T9)
puis
- Dans la cellule
E13
(bleue) taper la formule : =MIN(A5:T9)
puis
- À partir de la cellule D17 (verte), faire varier la valeur de R de sa valeur minimale à sa valeur maximale en augmentant d’une unité.
- Pour déterminer la valeur de l’effectif n i pour chaque valeur x i de R,
- taper la formule suivante dans la cellule
D18
(orange) : =NB.SI($A$5:$T$9;D17)
puis
- Remarque : pour faire le point, utiliser la combinaison des touches ‘’MAJ + . ‘’ du clavier.
- Recopier la formule vers la droite pour compléter le tableau : sélectionner la cellule D18 (orange).
- Déplacer la souris vers le coin droit en bas de la cellule jusqu’à ce qu’un plus (+) noir apparaisse.
- Tout en maintenant le clic
gauche, déplacer la souris vers la droite tant
que cela est nécessaire.
- Reproduire le tableau des effectifs des valeurs de l’échantillon.
- Quelles sont les observations que l’on peut faire ?
5)- Moyenne arithmétique des valeurs des résistances de l’échantillon.
- Calculer la moyenne arithmétique en utilisant l’ensemble des valeurs du tableau bleuté.
- Taper la formule suivante dans la cellule
F26
(jaune) :
=MOYENNE(A5:T9) puis
- Calculer la moyenne arithmétique en utilisant les effectifs.
- Taper la formule permettant de la calculer dans la cellule
F29 (verte) :
=D20/H22
puis
- Justifier ce calcul et donner la formule permettant de calculer la moyenne arithmétique
- à partir des effectifs des valeurs des résistances de l’échantillon.
6)- Variance de l’échantillon des valeurs.
- On travaille dans la feuille de calcul :
‘’var’’
- Relation :
- Calculer la variance de l'échantillon de valeurs :
- Première étape : Calculer
.
- Dans la cellule
D5 (jaune) , taper la formule :
=SOMME(D4:T4)
puis
- Deuxième étape : Diviser le résultat de la cellule D5 par l'effectif total.
- Dans la cellule
H11
(verte),
taper la formule :
=D5/H7 puis
- Remarque 1 : on peut faire le calcul en une seule étape. Proposer une solution.
- Remarque 2 : La cellule K11 (blanche) affiche la valeur de la variance de l'échantillon de mesure grâce à une formule interne d'Excel.
- Comparer les valeurs trouvées dans les cellules K11(blanche) et H11(verte).
7)- Écart type.
- Calculer l'écart type de l'échantillon de valeurs :
- Dans la cellule
H21
(bleue),
taper la formule :
=RACINE(H11) puis
- Remarque : dans la cellule K21 (blanche), On affiche l'écart type grâce à une formule interne d'Excel,
- Comparer les valeurs trouvées dans les cellules K21 (blanche) et H21 (bleue).
- Donner l'encadrement des valeurs de R sachant que x - σ < R < x + σ.
- Il faut utiliser la feuille de calcul et travailler avec les cellules H28 (rose) et L28 (orange).
-
Dans la cellule
H28
(rose),
taper la formule : =H9-H21
puis
- Dans la cellule
L28
(orange),
taper la formule :
=H9+H21
puis
- Quel est le nombre n, de valeurs de résistance, qui appartient à l’intervalle x - σ < R < x + σ ?
- Quelle conclusion peut-on tirer quant à la dispersion des valeurs de la résistances de l’échantillon ?
8)- Histogramme.
- On travaille dans la feuille de calcul :
‘’hist’’
- Tracer l’histogramme des effectifs en fonction des valeurs de R à l’aide du Tableur.
- Commenter l'allure de l'histogramme obtenu.
- Que peut-on dire de la répartition des valeurs de R de l'échantillon ?
IV-
Utilisation du code des couleurs.
1)- Les contraintes du fabricant.
- Le fabricant est tenu de respecter le cahier des charges. Les conducteurs ohmiques possèdent un anneau de tolérance.
- La couleur de cet anneau indique la tolérance sur la valeur de la résistance donnée par les autres anneaux de couleur.
- Donner l’encadrement des valeurs de R prévu par le fabricant.
2)- Comparaison et conclusion.
- Comparer cet encadrement avec celui trouvé à la question III- 7) -.
- Que peut-on dire des deux encadrements ? Le fabricant a-t-il respecté le cahier des charges ?
V-
Mesure d’une résistance avec un seul ohmmètre. Incertitude due à
l’appareil.
1)- Utilisation de la documentation technique du multimètre.
- Le fabricant d’appareils de mesure est tenu de tester son matériel.
- Il donne des indications à l’utilisateur dans une notice technique le plus souvent en termes d’incertitude relative exprimée en %.
- Chercher dans la documentation technique du multimètre utilisé de quoi compléter le tableau suivant :
Calibre utilisé (ohm) |
|
% annoncé de la valeur affichée |
|
Nombre de digits ou UR |
|
- Remarque : dans ces documentations techniques, on voit des
données telles que ± 0,3 % de la valeur lue ± un
digit ou
Unité
de
Représentation
(UR).
- Ce ‘’digit’’ ou ‘’UR’’ est une unité qui correspond au dernier chiffre affiché.
- Exemple : Si la fiche technique annonce 2 UR sur le calibre utilisé et que l’affichage donne : 0.123.
- Cela correspond à une incertitude sur la mesure de ± 0,002.
- Exemple : sur le calibre utilisé, la fiche technique annonce ± 0,3 % de la valeur lue ± 2 UR. L’affichage donne 0,996.
- La valeur lue est
R lue = 0,996 kΩ.
- L’incertitude absolue :
- L’encadrement de la valeur de
R :
0,991
Ω < R
<
1,001
Ω.
2)- Mesure de la valeur de la résistance.
- Utiliser une résistance de 1 kΩ utilisée précédemment (sans l’extraire de la bande).
- Calculer l’incertitude absolue notée ΔR d’après les renseignements fournis par la documentation.
- À partir de la mesure effectuée de cette résistance, donner
l’encadrement de la valeur
R lue autorisé par
la notice de l’appareil.
- Cet encadrement est-il inclus dans celui trouvé préalablement ? Dans celui prévu par le fabricant ?
Classer les propositions suivantes en facteur positif (P), négatif (N) ou sans influence (O) sur la qualité d’une mesure :
► Une seule mesure est suffisante.
► On n’utilise qu’un seul appareil de mesure.
► On recommence un grand nombre de fois la même mesure avec le même appareil.
► On recommence un grand nombre de fois la même mesure avec des appareils différents.
► On refait la même mesure en changeant de manipulateur.
► On prend l’appareil le plus cher.
► On se fie à la notice du constructeur de l’appareil.
- Conclure sur les conditions d’une « bonne mesure ».
- Toutes les mesures sont entachées d’erreurs pour diverses raisons examinées dans les 3 cas précédents.
- Le résultat d’une mesure est généralement plus ou moins sûr. La valeur exacte ou vraie nous demeure inconnue.
- Afin de préciser numériquement cette incertitude, on écrit, pour la grandeur mesurée A :