Exercice 2 : CHUTE VERTICALE D’UN BOULET (5,5 points)

 

Donnée :

  Intensité du champ de pesanteur, supposé uniforme : g = 9,8 m . s ^–2

1. Modélisation par une chute libre. 1.1. Étude des hauteurs de chute.

1.1.1. Soient x1 la distance parcourue au bout de la durée τ, x2 la distance parcourue au bout de la durée 2 τ et ainsi de suite, exprimer x1, x2, x3 en fonction de g et de τ. -  Les différentes expressions de x : -    -   -   1.1.2. Exprimer la différence h1  = x1 – x0 en fonction de g et de τ puis les différences h2  = x2 – x1 et h3  = x3 – x2 en fonction de h1. -  Les différentes expressions : -  h1  = x1 – x0 -    -    -    1.1.3. Retrouve-t-on la suite des hauteurs de chute annoncée par Galilée dans l’extrait n°1 ? Justifier.   -  On retrouve cette suite dans l’extrait N° 1 -  « …le mobile, partant du repos, a parcouru tel espace, par exemple une aune*, pendant le second temps, il en parcourra trois, puis cinq pendant le troisième (…) et ainsi de suite, selon la suite des nombres impairs ». -  1, 3, 5, 7, … 1.2.  Étude de la durée de la chute Les points de vue d’Aristote et de Galilée, au sujet de l’influence de la masse m du boulet sur la durée totale Δt de sa chute, diffèrent.

1.2.1. Parmi les propositions ci-dessous, attribuer celle qui correspond à la théorie d’Aristote et celle qui correspond à la théorie de Galilée :   a) La durée de chute augmente quand la masse du boulet augmente ; b) La durée de chute diminue quand la masse du boulet augmente ; c) La durée de chute est indépendante de la masse. -  Théorie d’Aristote : -  a) La durée de chute diminue quand la masse du boulet augmente.  -  Théorie de Galilée : -  c) La durée de chute est indépendante de la masse. 1.2.2. En utilisant l'expression , calculer la durée Δt de la chute d’un boulet qui tombe d’une hauteur totale H = 57 m (100 coudées).  Ce résultat est différent de la valeur annoncée dans l’extrait n° 2. Proposer une explication à l’écart constaté.

 

2. Chute réelle. Galilée admet plus loin que les deux boules, de masses respectives une et cent livres, arrivent au sol avec un léger écart.

 

 

On considère que trois forces s’exercent sur un boulet pendant sa chute verticale : Son poids , la poussée d’Archimède  et la force de frottement . La norme de la force de frottement a pour expression : Où v est la vitesse du centre d’inertie du boulet, R est le rayon du boulet et C est une constante sans unité. Données :    Masse volumique de l’air : ρair = 1,29 kg . m – 3 ;   Masse volumique du fer : ρfer = 7,87 x 10 3 kg . m – 3 ;   Volume d’une sphère :  . 2.1. Lors de la chute, représenter ces trois forces sur un schéma sans souci d’échelle. -  Représentation des différentes forces au temps t :     ρfer: masse volumique du solide   ρair : masse volumique du fluide   2.2. Le poids et la poussée d’Archimède sont constants pendant la chute d’un boulet. Établir le rapport de leurs expressions et en déduire que la poussée d’Archimède est négligeable. -  Le poids et la poussée d’Archimède : -   -  La poussée d’Archimède est négligeable devant le poids de l’objet. 2.3. Étude dynamique 2.3.1. Appliquer la deuxième loi de Newton. Projeter les forces sur l’axe (Ox) vertical orienté vers le bas (Photo 1). Déterminer l’expression de la dérivée par rapport au temps de la vitesse .   -  Expression de la dérivée par rapport au temps de la vitesse : -  Repère lié au référentiel : le mouvement étant rectiligne, -  on choisit le repère  avec le vecteur  vertical et orienté du haut vers le bas. -  Bilan des forces : et la force de frottement . -  On néglige la poussée d’Archimède devant les autres forces. -  Deuxième loi de Newton : -  Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d’inertie. On écrit : -  (2) -  si on pose : alors : -  Le théorème du centre d’inertie permet de déterminer le mouvement du centre d’inertie du solide, à partir de la connaissance des forces qui agissent. -  Dans le cas qui nous intéresse : -  Le vecteur accélération vérifie à chaque instant dans le référentiel terrestre l’équation suivante : -   -  En négligeant la poussée d’Archimède devant les autres forces : -   -   -   2.3.2. En déduire que l’expression de la vitesse limite vℓ est : . -  Expression de la vitesse limite vℓ : -  Lorsque la vitesse limite est atteinte, -     2.3.3. Vérifier, en effectuant une analyse dimensionnelle, que l'expression de vℓ est bien homogène à une vitesse. -  Expression homogène à une vitesse : -  [v] = (m / s) (Traduction de cette écriture : -  l’unité de vitesse est le mètre par seconde) -  [R] = (m) -  [g] = (m . s –2) -    -  L’unité de l’expression est bien homogène à une vitesse. 2.4. On considère deux boulets sphériques B1 et B2 en fer de masses respectives m1 = 1 livre et m2 = 100 livres et de rayons respectifs R1 = 2,2 cm et R2 = 10,1 cm. On note v 1ℓ et v 2ℓ les vitesses limites respectives des boulets B1 et B2. Exprimer le rapport en fonction des seuls rayons R1 et R2 et en déduire le boulet qui a la vitesse limite la plus élevée. -  Expression le rapport  : -    -    -    -  Boulet qui a la vitesse la plus élevée : -  Le boulet B2 a une vitesse limite plus élevée que le boulet B1. 2.5. Un logiciel permet de simuler les évolutions de la vitesse v (t) (figure 2) et de la position x (t) du boulet pendant sa chute (figure 3 et zoom de la figure 3 sur la figure 4). Ces courbes sont obtenues pour les trois situations suivantes : -  La chute du boulet B1 dans l’air (courbes c et c’), -  La chute du boulet B2 dans l’air (courbes b et b’), -  La chute libre (courbes a et a’). 2.5.1. Expliquer l’attribution des courbes b et c aux boulets B1 et B2. -  Étude des différentes courbes : -  Analyse de la figure 2 : -  La courbe (a) est une portion de droite passant par l’origine. -  Elle Traduit une chute libre. -  Les courbes (b) et (c) représentent la chute de boulets dans l’air. -  On dénote la présence de forces de frottement. -  Dans un premier temps, la vitesse augmente puis atteint une valeur limite vℓ. -  La courbe (b) correspond au boulet B2 car sa vitesse limite (vℓ ≈ 200 m / s) est supérieure à celle du boulet B1. -  La courbe (c) correspond au boulet B1 car sa vitesse limite (vℓ ≈ 100 m / s) est inférieure à celle du boulet B2. 2.5.2. La hauteur de chute est de 57 m. Déterminer graphiquement la date tsol à laquelle le premier boulet touche le sol. S’agit-il de B1 ou de B2 ?   -  Date tsol à laquelle le premier boulet touche le sol : Cliquer sur l'image pour l'agrandir Δt s Distances sur la figure cm   0,10 8,42 Δt1 6,37 t ≈ 3,35 + 0,076 t ≈ 3,43 s -  Il s’agit du boulet B2, le boulet B1 touche le sol plus tard au temps t’ > t. 2.5.3. À quelle distance du sol se trouve l’autre boulet à cette date ? Ce résultat est-il en accord avec l’extrait n° 3 ? -  Distance d du sol du boulet B1 à la date t : -  Le boulet B1 à la date t se trouve à d = 1,0 m du sol. -  Quand le boulet B2 a parcouru 57,0 m (lorsqu’il touche le sol), -  Le B1 lui a parcouru 56,0 m. Cliquer sur l'image pour l'agrandir -  L’extrait n° 3 : « … la plus grande précède la plus petite de deux doigts,… » -  Le résultat trouvé n’est pas en accord avec l’extrait n° 3 : -  La distance de deux doigts est plus petite que 1,0 m.

 

 Documents de l’exercice 2