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Phys. N° 18 :
systèmes oscillants |
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I-
Oscillations libres sinusoïdales.
1)-
L’oscillateur mécanique linéaire.
a)- Dispositif expérimental.
-
Écarté de sa position d’équilibre et abandonné à lui-même, le solide
S, en translation effectue des oscillations libres.
-
Le mobile
S se déplace sur coussin d’air et on peut considérer
que les frottements sont négligeables.
-
Le système {support -
ressort - solide} constitue un oscillateur libre.
-
L’étude de la variation de l’élongation
x en fonction du temps
t,
x = f (t), montre que les oscillations sont sinusoïdales.
-
Étude à l’équilibre :
-
Quelles sont les actions mécaniques que subit le mobile
S ?
-
Le ressort a sa longueur naturelle, il n’est ni comprimé, ni tendu :
-
► Étude lors des oscillations.
-
On écarte le mobile de sa position d’équilibre et on le laisse osciller
librement.
-
Quelles sont les oscillations mécaniques que subit le mobile
S ?
-
Pour ce faire, on représente le mobile à un instant t quelconque.
-
Bilan des forces :
-
Le mobile est soumis à son poids 
-
À la réaction du support
: 
(qui est perpendiculaire
au support car les frottements sont négligeables)
-
Et à la tension du ressort qui est une
force de rappel :
-
Le repère choisi :
O représente la projection de
G à l’équilibre sur l’axe
x’Ox et
M représente la projection de
G à
l’instant t.
-
Dans le référentiel terrestre supposé
galiléen, on peut
appliquer le théorème du centre d’inertie :
-
b)- équation différentielle.
-
Projetons la relation sur l’axe x’Ox :
-
-
Le mouvement de l’oscillateur élastique libre non amorti vérifie cette
équation différentielle.
-
On parle d’oscillateur harmonique.
-
Remarque : l’équation différentielle se présente comme une relation du
premier degré entre la fonction de x (t) et certaines de
ses dérivées.
-
Cette équation différentielle est qualifiée de linéaire car elle
présente cette propriété (oscillateur linéaire).
-
Exemple :
-
c)- Étude énergétique.
-
Le système { Solide ; ressort } est un système isolé conservatif dont
l’énergie mécanique est constante.
-
2)-
L’oscillateur électrique linéaire.
a)- Dispositif expérimental.
-
Considérons un oscillateur électrique idéal constitué : d’un
condensateur de capacité C et d’une bobine d’inductance
L.
b)- Équation différentielle.
-
On oriente le circuit.
-
On suppose qu’au temps
t le courant circule de
A vers
B
et on applique la loi des tensions.
-
c)- étude énergétique.
-
En l’absence de résistance, l’énergie électromagnétique du système
condensateur, bobine se conserve :
-
3)-
Solutions des équations différentielles.
a)- Analogies entre oscillateurs mécaniques et électriques.
-
-
Formule générale :
,
ω0
dépend des paramètres propres de l’oscillateur.
b)- Solution.
-
Cette équation différentielle admet pour solution générale une fonction
de la forme :
-
z
= zm cos (ω .
t +
φ)
-
Pulsation propre
ω0,
-
Période propre :
-
,
-
Fréquence propre :
-
,
-
Amplitude zm,
-
Phase à l’origine des dates
φ.
-
La détermination des constantes d’intégration
zm et
φ nécessite la connaissance des conditions initiales.
-
Vérification :
-
II-
Les oscillateurs libres amortis.
1)-
Oscillateur mécanique amorti.
a)- Dispositif.
- On considère le cas particulier des frottements visqueux (frottements fluides).
-
Ces frottements peuvent être modélisés par une force
de frottement qui a deux propriétés :
-
Elle a même direction que le vecteur vitesse mais son sens est opposé.
-
Sa valeur est proportionnelle à la valeur de la vitesse
-
Formule : 
-
h
est une constante qui dépend des caractéristiques du fluide et de la
forme du mobile.
b)- Équation différentielle.
-
Le repère choisi :
O représente la projection de
G à
l’équilibre sur l’axe x’Ox et
M représente la projection
de G à l’instant
t.
-
Dans le référentiel terrestre supposé
galiléen, on peut
appliquer le théorème du centre d’inertie :
-
Bilan des forces :
-
Le mobile est soumis à son poids
-
À la réaction du support
: (qui est perpendiculaire
au support car les frottements sont négligeables)
-
À la tension du ressort qui est une force
de rappel :
-
Et à la force de frottements :
O
représente la projection de G à l’équilibre sur l’axe
x’Ox et
M représente la projection de
G à
l’instant t.
-
Dans le référentiel terrestre supposé
galiléen, on peut
appliquer le théorème du centre d’inertie :
-
-
Projetons la relation sur l’axe
x’Ox :
-
-
Par rapport à l’oscillateur non amorti, il apparaît le terme
traduisant l’amortissement.
-
Ce terme met en jeu la dérivée première de la fonction
x (t).
c)- Étude énergétique.
-
-
Car le vecteur vitesse et le vecteur force ont des sens opposés.
-
L’oscillateur cède de l’énergie au milieu extérieur.
-
Cette puissance dissipée est égale à celle des forces de frottement
dissipée sous forme de chaleur.
2)-
Oscillateur électrique amorti.
a)- Dispositif.
b)- Équation différentielle.
-
On oriente le circuit.
-
On suppose qu’au temps
t le courant circule de
A vers
B
et on applique la loi des tensions.
-
-
Remarque : le terme supplémentaire
est lié à l’amortissement.
c)- Étude énergétique.
-
-
Le circuit cède de l’énergie au milieu extérieur.
-
Cette expression représente la puissance dissipée par effet Joule dans
le conducteur ohmique de résistance R.
-
Les oscillateurs amortis sont caractérisés par une équation
différentielle de la forme :
.
-
terme responsable de
l’amortissement.
-
Les coefficients λ
et ω0 sont des constantes caractéristiques.
-
Nous sommes en présence d’une équation différentielle linéaire.
4)-
Application : exercice 7 page 303.
III-
Entretien et naissance des oscillations.
1)-
Oscillateur électrique à résistance négative.
-
Montage :
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Montage équivalent :
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Équation différentielle :
-
On oriente le circuit. On suppose qu’au temps
t le courant
circule de P vers
B et on applique la loi des tensions.
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2)-
Entretien des oscillations.
- Si on ajuste la valeur de R0 de telle sorte que R0 = R résistance du circuit, cela revient à annuler le terme responsable de l’amortissement.
-
On obtient des oscillations non amorties
de pulsation :
-
-
Il est très difficile et pratiquement impossible de régler
R0
de telle façon que : R0 = R .
-
Soit R0
est légèrement supérieur à
R, soit,
R0 est légèrement inférieur à
R.
3)-
Amorçage des oscillations.
-
Équation différentielle :
-
-
Pour amorcer les oscillations, il faut que
R0
> R.
-
En conséquence :
-
-
Le système oscillant reçoit de l’énergie et l’amplitude des oscillations
croît de façon exponentielle.
-
L’amplitude des oscillations est limitée par le comportement non
linéaire de l’amplificateur opérationnel.
-
Courbe caractéristique du dipôle à résistance négative : visualisation à
l’oscilloscope.
-
Montage :
-
À la voie YA, on visualise
uAN =
– R . i
et à la voie YB, on visualise
uPN.
-
L’oscilloscope est utilisé en mode
X Y.
-
Il découle de la caractéristique que lorsque A.O fonctionne en régime
linéaire :
-
- Avec l’orientation choisie, l’oscilloscope permet de visualiser les variations de la tension uPN en fonction de i, ceci à une constante près.
-
- L’amplificateur opérationnel ne fonctionne pas en régime linéaire, mais en régime de saturation.
- L’amplitude de la tension uPN est limitée par le comportement non linéaire de A.O.
- Il découle de ceci que l’amplitude des oscillations est limitée par le comportement non linéaire de A.O.
- En conséquence, pour stabiliser les amplitudes des oscillations, il faut utiliser un dispositif non linéaire.
-
Le coefficient
doit prendre des valeurs périodiquement positives ou négatives.
- Le régime est non linéaire et les oscillations ne sont pas sinusoïdales.
-
Remarque : si
R0 >> R, on obtient des oscillations qui
se rapprochent de plus en plus des oscillations de relaxation.
-
Van Der Pol a proposé une équation différentielle non linéaire qui
permet d’expliquer la stabilisation des oscillations.
-
-
Schéma :
-
Première étape : le microphone capte un son parasite, il fournit une
tension e
à l’entrée de l’amplificateur.
-
L’amplificateur transmet la tension
e x A
au H.P (A facteur
d’amplification de l’amplificateur).
-
Deuxième étape : le microphone capte le son émis par le H.P et fournit
une tension proportionnelle à
e
x A. Il fournit la
tension :
β
x
( e x A
).
-
L’amplificateur transmet la tension
A.{β
x
(e x A)}.
au H.P.
-
Et ainsi de suite. À chaque boucle, la tension parasite
e
est multipliée par
A
x β.
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Il suffit que le produit
A
x β
soit légèrement supérieur à 1 pour que le parasite initial se transforme
en un bruit très désagréable et très fort c’est l’effet Larsen.
-
Ce phénomène est limité par la saturation de l’amplificateur.
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L’effet Larsen est dû à la mise en auto-oscillation par réinjection par
le microphone, à l’entrée de la chaîne, d’une partie du signal de sortie
du H.P. Il s’agit de réaction positive.
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