Phys. N° 15 Exercices : L'auto-inductio et le circuit (R, L)

Intensité du courant dans une bobine :

Oscillogramme :

1. Expression de la f.é.m. e d’auto-induction.

- La Loi de Lenz – Faraday :


e	f.é.m. d’auto-induction en volt (V)
L	Inductance propre de la bobine en henry (H)
	Dérivée de l’intensité par rapport au temps en ampère par seconde (A . s^–1)

- L'inductance propre L de la bobine est une constante positive qui ne dépend

que des caractéristiques géométriques de la bobine.

- Exemple :

- Pour un solénoïde de longueur ℓ, qui possède N spires de surface :

► Loi d'Ohm aux bornes d'une bobine. Schéma équivalent.

- Une bobine est caractérisée par son inductance L et sa résistance r.

- Tant que i varie, la bobine se comporte comme un électromoteur,

elle est donc équivalente à l'association série d'un générateur de tension de f.é.m. e (grandeur algébrique)

et d'un conducteur ohmique de résistance r.

- Ceci aux bornes d'une bobine (L, r) de bornes A et B, orientée de A vers B.

2. Valeur de la f.é.m. e d’auto-induction dans les différents intervalles de temps.

- 1^ier cas : t € [0,0 ms ; 3,0 ms]

- La grandeur i (t) est du type i (t) = a . t

- La grandeur a est le coefficient directeur du segment de droite AB.

- Or :

- 2^ième cas : t € [3,0 ms ; 5,0 ms]

- La grandeur i (t) est du type i (t) = a’ . t + b’

- La grandeur a’ est le coefficient directeur du segment de droite BC.

- Or :

3. Représentation graphiquement de la variation de e au cours du temps.

- Oscillogramme :

Inductance d’une bobine sans fer

L’inductance d’un solénoïde long est donnée par l’expression approchée :

1. Valeur de l’inductance L du solénoïde.

- Longueur du solénoïde : ℓ = 50 cm

- Diamètre du solénoïde : D = 6,0 cm

- Surface d’une spire :

- Nombre de spires : N = 1000 spires.

- Application numérique :

2. F.é.m. d’auto-induction aux bornes de la bobine :

- L’intensité du courant qui traverse la bobine a un taux de variation de 200 A . s^–1

- On donne le taux de variation :

3. Influence du noyau de fer doux sur la valeur de la f.é.m. d’induction :

- Si on introduit un noyau de fer doux, la valeur de l’inductance L du solénoïde augmente.

- En conséquence, la valeur de la f.é.m. aux bornes du solénoïde augmente.

Constante de temps :

Dans un circuit (L, R), on a relevé la valeur de l’intensité i du courant en fonction du temps :

Graphe :

1. Quelle est la valeur de l’intensité du courant en régime permanent.

2. On désire déterminer, à partir du graphique, la constante de temps τ par trois méthodes :

a. Tracer la tangente à la courbe à l’instant t = 0.

À partir du point d’intersection avec l’asymptote horizontale de la courbe, déduire la valeur de τ.

b. Au bout d’une durée τ après l’établissement du courant, l’intensité est égale à 63 % de sa valeur maximale.

À l’aide du graphique en déduire la valeur de τ.

c. L’intensité passe d’une valeur égale à 10 % de sa valeur maximale à une valeur égale à 90 %

de sa valeur maximale sur une durée Δt = 2,2 τ.

À l’aide du graphique, en déduire la valeur de τ.

d. Comparer les valeurs de τ.

3. Calculer la valeur de l’inductance de la bobine si R = 11 Ω.

4. Calculer la valeur .

5. En déduire la valeur de la f.é.m. aux bornes de la bobine au temps t = 0.

Constante de temps :

- Graphe :

- Montage :

- Établissement du courant dans la bobine :

- On ferme l’interrupteur. On oriente le circuit et on étudie le dipôle (R, L).

- La loi d’additivité des tensions dans le circuit série permet d’écrire :

- En ordonnant, on peut écrire :

- On reconnaît une équation différentielle du premier ordre avec deuxième membre

qui admet une solution du type :

- où A, B et k sont des constantes.

► Détermination des constantes.

- On détermine les constantes à l’aide des conditions initiales et des paramètres du circuit.

- Première étape :

- On reporte l’expression de la solution dans l’équation (1).

- La relation (2) est vérifiée à chaque instant.

- Or E = c^teet R . B = c^te et

- t et par conséquence e^{k
. t}varient au cours du temps.

- Il faut nécessairement que :

- La solution A = 0 n’a pas de signification physique.

- En conséquence :

- conditions initiales : au temps t = 0 s,

- L’intensité dans le circuit est nulle : i (0) = 0.

- On déduit de ceci que :

- Relation donnant l’intensité traversant le dipôle (R, L) soumis à un échelon de tension E :

- Grandeur caractéristique du circuit (R, L) :

- La constante de temps τ est une grandeur caractéristique du circuit (R, L).

- On appelle constante de temps du circuit (R, L), la valeur .

- Lors de l’établissement du courant, l’expression de l’intensité du courant électrique

dans le circuit est donnée par l’expression :

1. Valeur de l’intensité du courant en régime permanent.

- L’intensité traversant le circuit est nulle juste après la fermeture de l’interrupteur K,

puis elle augmente progressivement jusqu’à atteindre une valeur maximale et reste constante.

- Le courant met environ la durée Δt ≈ 40 ms pour s’établir.

- La courbe présent un régime transitoire ( t € [0 ; Δt] ) et un régime permanent ( t € [Δt ; t₁) ]

- Valeur de l’intensité du courant permanent :

- i₀ ≈ 0,055 A = 55 mA.

2. Détermination, à partir du graphique, la constante de temps τ par trois méthodes :

a. Méthode de la tangente à la courbe à l’instant t = 0.

- Pour déterminer graphiquement la valeur de τ, on trace la tangente à l’origine à la courbe i = g (t)

et l’asymptote horizontale à cette courbe.

- L’abscisse du point d’intersection de ces deux droites donne la valeur de la constante de temps τ.

- Exploitation du graphe :

- À partir du point d’intersection de la tangente à la courbe à t = 0 et de l’asymptote horizontale de la courbe :

- Valeur de τ :

- τ. ≈ 8,0 ms

b. Méthode à 63 % de sa valeur maximale.

- Au bout d’une durée τ après l’établissement du courant, l’intensité est égale à 63 % de sa valeur maximale.

- À l’aide du graphique on en déduit la valeur de τ.

- Graphe :

- τ ≈ 8,0 ms

c. L’intensité passe d’une valeur égale à 10 % de sa valeur maximale à une valeur égale à 90 %

de sa valeur maximale sur une durée Δt = 2,2 τ.

- À l’aide du graphique, on en déduit la valeur de τ.

- Δt = 2,2 τ ≈ 17 ms

- τ ≈ 7,7 ms

d. Comparaison :

- On trouve sensiblement les mêmes valeurs.

3. Valeur de l’inductance L de la bobine.

- R = 11 Ω

4. Valeur :

5. Valeur de la f.é.m. e aux bornes de la bobine au temps t = 0.

Énergie emmagasinée dans une bobine :

1. Expression de l’énergie emmagasinée par une bobine.

- Bobine d’inductance L :

- Courant d’intensité i :

- Une bobine d'inductance L, traversée par un courant d’intensité i, emmagasine de l'énergie.

- C'est de l'énergie magnétique que l'on note E_m ou W_L.


E_m = W_L	Énergie en joule (J)
L	Inductance en henry (H)
i	Intensité en ampère (A)

- L’intensité du courant électrique dans un circuit comportant une bobine ne subit pas de discontinuité.

- Le courant s’établit de façon progressive et s’annule de la même façon.

- L’intensité du courant électrique ne peut pas passer de façon instantanée de la valeur zéro à la valeur I.

2. Énergie emmagasinée par cette bobine.

- Inductance L = 0,80 H.

- Elle est parcourue par un courant d’intensité :

- i = 40 mA

- Application numérique :

-

3. Énergie lors de l’ouverture du circuit :

- Lors de l’ouverture du circuit, cette énergie est dissipée vers le milieu extérieur sous forme d’effet Joule.

Exploitation d’une expérience :

On a réalisé le montage du schéma suivant :

Montage :

À l’aide de l’ordinateur, on a enregistré la variation au cours du temps des tensions :

u_AN = u_PN et u_BN = R . i.

On a obtenu les courbes ci-dessous :

Graphe :

La résistance R vaut 100 Ω.

En utilisant les courbes obtenues, répondre aux questions suivantes :

1. Indiquer la valeur de la f.é.m. E de la pile.

2. Justifier graphiquement que la pile possède une résistance interne ?

3. La bobine possède-t-elle une résistance propre r ? Justifier la réponse.

4. Lorsque le courant permanent est établi :

a. Que vaut la f.é.m. d’auto-induction e ?

b. Écrire la loi d’Ohm pour chaque dipôle ;

c. Exprimer E en fonction de ρ, R, r et I.

5. Déterminer les valeurs de :

a. L’intensité I ;

b. La résistance interne ρ de la pile ;

c. De la résistance propre r de la bobine.

6. Évaluer :

a. La constante de temps τ du circuit ;

b. L’inductance L de la bobine :

c. L’énergie emmagasinée par la bobine en régime permanent.

Exploitation d’une expérience :

1. Valeur de la f.é.m. E de la pile.

- E = u_PN au temps t = 0.

- La lecture graphique donne :

- E ≈ 4,30 V

2. La pile possède une résistance interne :

- Justification graphique :

- La pile possède une résistance interne ρ car en régime permanent :

- E > u_PN.

3. Résistance propre r de la bobine :

- La bobine possède une résistance interne r car en régime permanent :

- u_PN = u_AN> u_BN

4. Lorsque le courant permanent est établi :

- En régime permanent : i = I = cte

a. Valeur de la f.é.m. d’auto-induction e :

- En courant permanent :

b. Loi d’Ohm pour chaque dipôle :

- Loi d’ohm aux bornes de la source de courant (E, ρ) :

- u_PN = E - ρ . i

- u_PN = E - ρ . I

- Loi d’ohm aux bornes de la bobine (L, r) :

- Loi d’Ohm aux bornes du conducteur ohmique de résistance R :

- u_BN = R . i

- u_BN = R . I

c. Expression de E en fonction de ρ, R, r et I.

- En régime permanent : i = I.

- u_PN = u_PB + u_BN = u_AB + u_BN

- E - ρ . I= r . I + R . I

- E = (ρ + r + R) . I

5. Déterminer les valeurs de :

a. Valeur de l’intensité I :

- Pour déterminer la valeur de l’intensité I dans le circuit, en régime permanent,

on détermine par exploitation graphique, la valeur de la tension u_PN (voie 1) :

- Exploitation graphique :

- Lorsque le courant permanent d’intensité I est établi,

on peut mesurer la tension aux bornes des différents dipôle :

- u_PN = E - ρ . I ≈ 4,04 V

- u_BN = R . I ≈ 3,77 V

- Connaissant la valeur de la résistance R du conducteur ohmique,

on peut en déduire la valeur de l’intensité I en régime permanent :

b. Valeur de la résistance interne ρ de la pile :

- u_PN = E - ρ . I ≈ 4,04 V

c. Valeur de la résistance propre r de la bobine :

- u_AB = u_AN – u_BN

- En régime permanent :

- u_AB = r . I

6. Évaluer :

a. Valeur de la constante de temps τ du circuit :

- Pour déterminer graphiquement la valeur de τ,

on trace la tangente à l’origine à la courbe u_BN = g (t) et

l’asymptote horizontale à cette courbe.

- L’abscisse du point d’intersection de ces deux droites donne la valeur de la constante de temps τ.

- D’autre part :

- Au bout d’une durée τ après l’établissement du courant, l’intensité est égale à 63 %

de sa valeur maximale.

- À l’aide du graphique on en déduit la valeur de τ.

- En conséquence :

- u_BN (τ) = 0,63 R . I

- u_BN (τ) = 0,63 × 100 × 3,77 × 10^–2

- u_BN (τ) ≈ 2,38 V

- u_BN (τ) ≈ 2,4 V

- Exploitation du graphe :

- τ ≈ 13 ms

b. Valeur de l’inductance L de la bobine :

c. Énergie emmagasinée par la bobine en régime permanent.

- C'est de l'énergie magnétique que l'on note E_m ou W_L.


E_m = W_L	Énergie en joule (J)
L	Inductance en henry (H)
i	Intensité en ampère (A)

Inductance d’une bobine :

L’inductance d’une bobine longue est donnée par la formule :

Avec :

N : le nombre de spires ;

ℓ : longueur du solénoïde en mètre (m) ;

S : La surface d’uns spire ;

μ₀= 4 π x 10^{–
7}S.I (Henry / mètre : H / m).

Soit un solénoïde (A, C) de résistance négligeable, de longueur ℓ = 1,0 m.

Il comporte N = 1000 spires circulaires de rayon r = 5,0 cm.

Le sens de l’orientation pour l’intensité est choisi de A vers C dans le solénoïde.

1. Il est parcouru par un courant d’intensité i = 5,0 A.

a. Schématiser l’enroulement du solénoïde.

b. Donner les caractéristiques du champ magnétique créé dans la région centrale

du solénoïde par le passage du courant.

Proposer des expériences permettant de déterminer ces caractéristiques.

c. Calculer la valeur de L.

2. Ce solénoïde est maintenant parcouru par un curant dont l’intensité i (t)

varie avec le temps comme l’indique la figure ci-dessous.

Un phénomène d’auto-induction prend naissance dans le solénoïde dont les bornes A et C

sont reliées à un oscilloscope afin de visualiser la tension u_AC.

a. Donner l’expression de la tension u_AC au cours des deux phases pour t variant de 0 à 50 ms.

b. Tracer la courbe u_AC (t) visualisée à l’oscilloscope sachant que la basse de temps est réglée

sur 10 ms . div^–1.

Inductance d’une bobine :

L’inductance d’une bobine longue est donnée par la formule :

Avec :

N : le nombre de spires ;

ℓ : longueur du solénoïde en mètre (m) ;

S : La surface d’uns spire ;

μ₀= 4 π x 10^{–
7}S.I (Henry / mètre : H / m).

1. Il est parcouru par un courant d’intensité i = 5,0 A.

a. Schéma l’enroulement du solénoïde.

- Schéma :

b. Caractéristiques du champ magnétique créé dans la région centrale du solénoïde.

► Champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde. (TP Physique N° 2)

- Le champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde est pratiquement uniforme.

- Les lignes de champ à l’intérieur du solénoïde sont des droites parallèles.

- Caractéristiques du vecteur champ magnétique .

	- point d’application : le champ est uniforme
	- direction parallèle à l’axe du solénoïde
	- sens : il sort par le pôle Nord (règle de la main droite)
	- valeur : ou B = μ₀. n . I
Avec	μ₀: perméabilité du vide : μ₀= 4 π x 10 ^{– 7}S.I (Henry / mètre : H / m) - N : nombre total de spires - ℓ : longueur du solénoïde en mètre m - : nombre de spires par mètre - I intensité du courant en Ampère A - B valeur du champ magnétique en Tesla T