Phys N° 12 Exercices : Oscillations forcées. Résonance d'amplitude

Exploitation d’une courbe de résonance :

1. Valeur de la fréquence de résonance.

- L’amplitude des oscillations du système oscillant (résonateur) dépend de la fréquence f de l’excitateur.

- Cette amplitude est maximale lorsque f₀ = f_R.

- C’est-à-dire lorsque la fréquence de l’excitateur est égale à la fréquence du résonateur.

- On dit que le résonateur entre en résonance.

- Le résonateur est caractérisé par sa courbe de réponse donnant l’amplitude des oscillations

en fonction de la fréquence délivrée par l’excitateur : x_m = f (f).

- À la résonance, l’amplitude x_m des oscillations est maximale.

- Détermination graphique :

- f_R ≈ 25 Hz.

- x_mR ≈ 2,0 cm.

2. Valeur de la largeur de la bande passante à 3 dB.

- Pour un amortissement important, le phénomène de résonance disparaît pratiquement.

- L’acuité de la résonance dépend de l’amortissement.

- Plus l’amortissement est faible et plus la résonance est aiguë et inversement.

- Acuité de la résonance.

- Un résonateur est caractérisé par sa bande passante à 3 décibels (3 dB).

- La bande passante à 3 dB est l’ensemble des fréquences pour lesquelles l’amplitude x_m

est supérieure à l’amplitude à la résonance divisée par .

- En conséquence :

- Δf = f₂ – f₁ représente la bande passante à 3 dB. :

- Dans le cas présent :

- x_mR ≈ 2,0 cm et

- Exploitation graphique :

- Δf = f₂ – f₁

- Δf ≈ 33 – 16

- Δf ≈ 17 Hz

- On peut en déduire la valeur du facteur de qualité Q du résonateur :

- On définit aussi le facteur de qualité pour un résonateur :

Tracé d’une courbe de réponse :

Au cours d’une séance de travaux pratiques, on a relevé les valeurs x_m des amplitudes d’un résonateur

en fonction de la fréquence f de l’excitateur.

f (Hz)	12	14	16	18	19	20	21
x_m (cm)	6,5	9,0	12,7	19,0	22,7	25,8	27,2
f (Hz)	22	23	24	25	27	28	29
x_m (cm)	26,0	22,6	19,8	16,8	13,0	11,8	10,5

1. Tracer la courbe représentative de l’amplitude x_m en fonction de la fréquence f.

2. Déterminer la fréquence f_R de résonance et la valeur (x_m)_R correspondante.

3. Déterminer graphiquement les valeurs de f₂ et f₁ des fréquences correspondantes à une amplitude :

Tracé d’une courbe de réponse :

1. Courbe représentative de l’amplitude x_m en fonction de la fréquence f.

- Réalisé avec le tableur Excel :

2. Fréquence f_R de résonance et la valeur (x_m)_R correspondante.

- Tableau de mesures :

f (Hz	x_m (cm)
12,0	6,6
14,0	9,0
16,0	12,7
18,0	19,0
19,0	22,7
20,0	25,8
21,0	27,2
22,0	26,0
23,0	22,6
24,0	19,8
25,0	16,8
27,0	13,0
28,0	11,8
29,0	10,5

- Fréquence de résonance :

- L’amplitude des oscillations du système oscillant (résonateur) dépend de la fréquence f de l’excitateur.

- Cette amplitude est maximale lorsque f₀ = f_R.

- C’est-à-dire lorsque la fréquence de l’excitateur est égale à la fréquence du résonateur.

- On dit que le résonateur entre en résonance.

- Exploitation graphique :

3. Valeurs de f₂ et f₁ des fréquences correspondantes :

- Acuité de la résonance.

- Un résonateur est caractérisé par sa bande passante à 3 décibels (3 dB).

- La bande passante à 3 dB est l’ensemble des fréquences pour lesquelles l’amplitude x_m

est supérieure à l’amplitude à la résonance divisée par .

- En conséquence :

- Δf = f₂ – f₁ représente la bande passante à 3 dB. :

- Dans le cas présent :

- x_mR ≈ 27,2 cm et

- Exploitation graphique :

- En conséquence :

- f₁ ≈ 18 Hz et f₂ ≈ 24,3 Hz

- On peut calculer la valeur de bande à 3 dB :

- Δf = f₂ – f₁

- Δf ≈ 24,3 – 18

- Δf ≈ 6,3 Hz

- On peut en déduire la valeur du facteur de qualité Q du résonateur :

- On définit aussi le facteur de qualité pour un résonateur :

Oscillateur élastique :

On considère le dispositif schématisé sur le document ci-dessous.

Le solide S a une masse m = 216 g.

Le ressort est à spires non jointives ;

Sa constante de raideur est k et sa masse est négligeable.

- Tableau de valeurs :

n (tr , min^–1)	f (Hz)	x_m (cm)
24		1,0
36		1,3
48		1,6
60		2,3
66		3,5
72		7,3
74		12,1
77		13,4
79		11,9
82		6,0
84		4,8
90		3,0
96		1,7
108		1,0
120		0,6
132		0,4

1. Préalablement à l’expérience, on accroche une masse marquée de 200 g à l’extrémité libre du ressort suspendu à un support.

On mesure un allongement Δℓ = 14,0 cm.

Déterminer la valeur de la constante de raideur k du ressort. Donnée : g = 9,8 N . kg^–1.

2. Le ressort étant suspendu à un support, on accroche à son extrémité des masses marquées telles que la masse totale soit égale à 216 g.

On écarte de système de sa position d’équilibre et on l’abandonne sans vitesse initiale.

La durée de 10 oscillations, mesurée avec un chronomètre donne une moyenne égale à 7,82 s.

a. Quel type d’oscillations observe-t-on ?

b. Vérifier que le résultat de la mesure est en accord avec l’expérience précédente.

3. On utilise le dispositif ci-dessous. On note dans un tableau la fréquence n de l’excentrique

et l’amplitude x_m des oscillations du solide sur le banc à coussin d’air.

- Tableau de valeurs :

n (tr , min^–1)	f (Hz)	x_m (cm)
24		1,0
36		1,3
48		1,6
60		2,3
66		3,5
72		7,3
74		12,1
77		13,4
79		11,9
82		6,0
84		4,8
90		3,0
96		1,7
108		1,0
120		0,6
132		0,4

a. Quel type d’oscillations observe-t-on ? Préciser le résonateur et l’excitateur.

b. Représenter sur une feuille de papier millimétré, le graphique donnant l’amplitude x_m des oscillations en fonction de la fréquence f de l’excitateur.

c. Quel phénomène ce graphique met-il en évidence ? Évaluer la fréquence de résonance f_R.

4. Déterminer :

a. Les bornes de la bande passante à 3dB.

b. La largeur de la bande passante Δf.

c. Le facteur de qualité .

d. Comparer f_R et f₀, fréquence propre du résonateur. Conclure.

Oscillateur élastique :

1. Déterminer la valeur de la constante de raideur k du ressort.

- Donnée : g = 9,8 N . kg^–1.

- Masse marquée m = 200 g

- Allongement : Δℓ = Δx = 14,0 cm.

- Schémas :

Tension d'un ressort. Équilibre d'un solide.

étalonnage d'un ressort : Vidéo

- Le référentiel d’étude est le support. C’est un référentiel terrestre.

- Le système S (c’est-à-dire la masse marquée)

- Est soumis à l’action exercée par la Terre, il a un poids P (action à distance).

- L’action exercée par la Terre sur le système S est appelée poids : .

- Est soumis à l’action du ressort (action de contact).

- L’action exercée par le ressort sur le système S est appelée, tension du ressort :

- Principe de l’Inertie :

- Énoncé : tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces qui s’exercent sur lui se compensent.

- Condition d’équilibre :

- Caractéristiques du vecteur Poids :

	- Point d’application : G
	- Direction : verticale du lieu passant par G : la droite (AG)
	- Sens : du haut vers le bas : de A vers G.
	- Valeur : P = m . g

- Caractéristiques du vecteur tension d’un ressort :

	- Point d’application : le point d’attache A
	- Direction : la droite (AG)
	- Sens : du bas vers le haut : de G vers A.
	- Valeur : T = P = m . g (1)

- Schéma à l’équilibre :

- Constante de raideur du ressort :

- Le ressort étant à spires non jointives, il y a proportionnalité entre la tension T exercée par le ressort et l’allongement :

- Δℓ = Δx.

- T = k . Δℓ (2)

- Or T = P = m . g (1)

- En combinant (1) et (2) :

2. Premier type d’oscillations.

- Schéma du dispositif :

- Le système S oscille autour de sa position d’équilibre.

Oscillateurs mécaniques

- Expression de la période propre du pendule élastique (masses marquées + ressort) :

- Analyse dimensionnelle.

- Masses marquées m’ = 216 g.

- On écarte de système de sa position d’équilibre

- On l’abandonne sans vitesse initiale.

- Durée de 10 oscillations : Δt = 7,82 s

a. Type d’oscillations :

- On observe des oscillations libres peu amorties.

b. Vérification du résultat.

- On peut calculer la période propre des oscillations de façon théorique et comparer le résultat obtenu avec la valeur expérimentale :

- Valeur expérimentale :

- T ≈ T₀

- Le résultat est en accord avec l’expérience.

3. Deuxième type d’oscillations .

- Tableau de valeurs :

n (tr , min^–1)	f (Hz)	x_m (cm)
24	0,40	1,0
36	0,60	1,3
48	0,80	1,6
60	1,00	2,3
66	1,10	3,5
72	1,20	7,3
74	1,24	12,1
77	1,28	13,4
79	1,32	11,9
82	1,36	6,0
84	1,40	4,8
90	1,50	3,0
96	1,60	1,7
108	1,80	1,0
120	2,00	0,6
132	2,20	0,4

a. Type d’oscillations :

- On observe des oscillations forcées.

- Résonateur : le pendule élastique constitue le résonateur.

- L’excitateur : le moteur avec son excentrique constitue l’excitateur.

b. Graphique donnant l’amplitude x_m = g (f).

- Graphe :

c. Phénomène graphique mis en évidence :

- Phénomène de résonance d’amplitude :

- L’amplitude des oscillations du système oscillant (résonateur) dépend de la fréquence f de l’excitateur.

- Cette amplitude est maximale lorsque f₀ = f_R.

- C’est-à-dire lorsque la fréquence de l’excitateur est égale à la fréquence du résonateur.

- On dit que le résonateur entre en résonance.

- Le résonateur est caractérisé par sa courbe de réponse donnant l’amplitude des oscillations

en fonction de la fréquence délivrée par l’excitateur : x_m = f (f).

- À la résonance, l’amplitude x_m des oscillations est maximale.

- Fréquence de résonance f_R :

- À la résonance l’amplitude des oscillations du résonateur est maximale.

- Exploitation graphique :

- f_R ≈ 1,28 Hz

- f_R ≈ 1,3 Hz

- Amplitude à la résonance : x_mR ≈ 13,4 cm

4. Détermination :

a. Les bornes de la bande passante à 3dB.

- Acuité de la résonance.

- Un résonateur est caractérisé par sa bande passante à 3 décibels (3 dB).

- La bande passante à 3 dB est l’ensemble des fréquences pour lesquelles l’amplitude x_m est supérieure à l’amplitude à la résonance divisée par .

- En conséquence :

- Δf = f₂ – f₁ représente la bande passante à 3 dB. :

- Dans le cas présent :

- x_mR ≈ 13,4 cm

- Exploitation graphique :

- En conséquence :

- f₁ ≈ 1,21 Hz et f₂ ≈ 1,34 Hz

b. La largeur de la bande passante Δf.

- On peut calculer la valeur de bande à 3 dB :

- Δf = f₂ – f₁

- Δf ≈ 1,34 – 1,21

- Δf ≈ 0,13 Hz

c. Le facteur de qualité .

- On peut en déduire la valeur du facteur de qualité Q du résonateur :

- On définit aussi le facteur de qualité pour un résonateur :

- On remarque que :

- Si Q ≈ 10, la résonance est aiguë.

- On peut détériorer le système.

d. Comparaison de f_R et f₀, fréquence propre du résonateur.

- D’autre part, la fréquence de résonance :

- f_R ≈ 1,28 Hz

- Conclusion : f_R ≈ f₀

- Il y a résonance lorsque la fréquence de l’excitateur (f_R) est égale de la fréquence propre du résonateur (f₀).

Phénomène de résonance : Vidéo 01 et Vidéo 02

Résonance d’une corde de piano :

On tend une corde de piano au-dessus d’un électroaimant.

La tension de la corde est importante de l’ordre de 400 N.

La bobine de l’électroaimant est parcourue par un courant alternatif de fréquence f.

1. :

a. Pourquoi les pôles de l’électroaimant sont-ils alternativement nord et sud ?

b. Avec quelle fréquence un pôle d’électroaimant retrouve-t-il le même nom ?

2. L’acier est attiré aussi bien par un pôle nord que par un pôle sud de l’électroaimant.

Choisir parmi les propositions suivantes, la valeur de la fréquence f’ avec laquelle la corde est attirée : f / 2 : f : 2 f.

3. La corde constitue un oscillateur élastique en régime forcé. Elle vibre avec la fréquence f’.

L’amplitude des vibrations est importante pour certaines vibrations particulières vérifiant la relation :

- f’ = p × f₁ (p : nombre entier)

- Donnée : f₁ = 128 Hz

a. Pour quelles fréquences f de l’intensité du courant qui traverse l’électroaimant, la corde va-t-elle vibrer fortement ?

b. Comment appelle-t-on se phénomène ?

Résonance d’une corde de piano :

Le Phénomène d'induction

1. :

a. Pôles de l’électroaimant alternativement nord et sud :

- Le courant étant alternatif, l’intensité du courant change de sens de façon périodique.

- Comme le sens du champ magnétique dépend du sens du courant, la nature des pôles de l’aimant dépendent du sens du courant.

b. Fréquence à laquelle un pôle d’électroaimant retrouve le même nom :

- Les pôles de l’aimant changent de nom à la fréquence f du courant alternatif.

2. Fréquence f’ avec laquelle la corde est attirée :

- f / 2 : f : 2 f.

- La corde est attirée quel que soit le nom du pôle de l’aimant.

- La corde vibre à la fréquence 2 f car l’électroaimant attire la corde aussi bien quand le pôle de l’électroaimant est un pôle nord ou sud.

3. :

a. Fréquences f de l’intensité du courant pour lesquelles la corde vibre fortement :

- f’ = p × f₁ (p : nombre entier)

- Donnée : f₁ = 128 Hz

- L’amplitude des oscillations est importante pour f₁ = 128 Hz.

- En conséquence la fréquence de la tension excitatrice :

- La corde vibre fortement pour les fréquences :

- f = p × f_u (p : nombre entier)

- f = 64 × p

b. Nom du phénomène :

- La corde constitue le résonateur et l’électroaimant l’excitateur.

- On est en présence d’un phénomène de résonance

- Pour p = 1 , la fréquence de la tension excitatrice est f = 64 Hz, on observe 1 fuseau :

- Pour p = 2 , la fréquence de la tension excitatrice est f = 128 Hz, on observe 2 fuseaux.

- Pour p = 3 , la fréquence de la tension excitatrice est f = 192 Hz, on observe 3 fuseaux

- La corde de piano constitue un résonateur à fréquences multiples.