On intercale un trou circulaire de petite dimension devant un faisceau laser.

Décrire la figure obtenue sur un écran placé à quelques mètres de l’ouverture.

Dans le cas d’une ouverture circulaire, la  figure  de  diffraction  obtenue a la symétrie  de  révolution : 

Elle se compose d’anneaux alternativement sombres et brillants, entourant  une  tache  centrale  beaucoup  plus  brillante,  qui porte le nom de tache d’Airy.

Les limites angulaires de la tache d’Airy sont données par : 

-  λ₀ : longueur d’onde dans le vide de la radiation lumineuse

-  d : diamètre du trou.

La luminosité des anneaux brillants diminue au fur et à mesure que l’on s’éloigne de la tache centrale.

Ce phénomène se produit lorsque l’ouverture par laquelle la lumière passe est de petite taille et du même ordre de grandeur que la longueur d’onde de la radiation.

Exemple avec un laser vert :

Un système de deux fentes d’Young est éclairé à l’aide d’une source monochromatique.

Décrire la figure obtenue sur un écran placé à quelques mètres de la fente.

Une étoile émet une onde électromagnétique de fréquence f_E et de célérité c.

Elle s’éloigne d’un observateur B avec une vitesse V_E.

La fréquence f_B de l’onde perçue vérifie la relation :

-    

2)- Comparer les fréquences f_E et f_B.

1)- Analyse dimensionnelle de l’expression :

-  L’expression est bien homogène à l’inverse d’une durée, c’est bien une fréquence.

2)- Comparaison des fréquences f_E et f_B.

-  De l’expression , on peut déduire que f_E < f_B

-  Car :

On réalise une figure de diffraction en éclairant une fente de largeur a à l’aide d’un faisceau laser de longueur d’onde λ dans le vide.

Cette figure est obtenue sur un écran situé à une distance D de la fente.

a)-  L’angle θ étant petit et exprimé en radian, on a la relation θ ≈ tan θ.

Établir la relation entre la largeur de la tache centrale ℓ, l’angle θ et la distance D.

b)-  En déduire une relation entre ℓ, λ, D et a.

a)-  La largeur de la fente double ? Est divisée par deux ?

b)-  La distance entre la fente et l’écran double ?

- Justifier les réponses.

2)- Relation entre θ, λ et a.

- On peut rappeler les unités : θ (rad),  λ (m)et a (m).

- D’autre part, lorsque la largeur de la fente diminue, la largeur de la tache centrale augmente.

-     (1)

a)-  Relation entre la largeur de la tache centrale ℓ, l’angle θ et la distance D :

-     (2)

b)-  Relation entre ℓ, λ, D et a :

-  En combinant (1) et (2), on tire :

-     

a)-  La largeur de la fente double  

- En conséquence

-     

- Si la largeur de la fente double, la largeur de la tache centrale est divisée par deux.

- La largeur de la fente est divisée par deux :

-     

- Si la largeur de la fente est divisée par deux, la largeur de la tache centrale est multipliée par deux.

b)-  La distance entre la fente et l’écran double :

-     

- Si la distance entre la fente et l’écran double, la largeur de la tache centrale est multipliée par deux

Le laser émet une lumière de longueur d’onde dans le vide λ = 633 nm.

Il est placé à une distance d = 20,0 cm du voilage.

La distance entre le voilage et l’écran vaut D = (2,00 ± 0,01) m.

Rémi observe que la tache centrale obtenue sur l’écran est composée de points lumineux équidistants séparés par des zones sombres.

La distance séparant deux points consécutifs est :

i = (0,45 ± 0,01) cm

3)- En notant a la distance séparant deux trous consécutifs du voilage, on a :

-    .

- Calculer la valeur de a et son incertitude.

- Pour le calcul de l’incertitude on prendra :

- On suppose la longueur d’onde du laser connue avec exactitude.

- Le résultat sera donné sous la forme a ± U (a).

1)- Phénomène observé :

- Au phénomène de diffraction se superpose le phénomène d’interférences.

- Phénomène de diffraction provoqué par le fait que les trous sont de petites dimensions.

- Phénomène d’interférences car les trous forment autant de sources lumineuses cohérentes, synchrones qui interfèrent.

2)- Nom de la distance i séparant deux points lumineux consécutifs sur l’écran :

-  Lors d’interférences lumineuses, l’interfrange, notée i, est la distance séparant deux franges brillantes consécutives ou deux franges sombres consécutives.

3)- Valeur de a et son incertitude :

-     

- Incertitude sur la valeur de a :

-     

- En conséquence : a = (281 ± 6,4) μm

Le cinémomètre MESTA 208® est utilisé afin de contrôler par effet Doppler la valeur de la vitesse instantanée des véhicules automobiles.

Un élève cherche à modéliser le principe de la mesure.

Il dispose d’un émetteur et d’un récepteur d’ondes ultrasonores, ainsi que d’un véhicule jouet pouvant se déplacer à vitesse constante.

La situation est représentée sur le document ci-dessous.

a)-  Quelle est la différence entre le principe de fonctionnement du cinémomètre et l’expérience historique de Buys-Ballot réalisée en 1845 (voir exercice 26 page 81) ?

b)-  Quelle propriété des ondes vue en Seconde cette expérience utilise-t-elle ?

c)-  Déterminer, à partir du schéma, si la mesure de la vitesse de la vitesse est faite lorsque le véhicule s’approche ou s’éloigne du cinémomètre ?

d)-  On note f_E la fréquence de l’onde émise et f_R celle de l’onde reçue par le récepteur.

Lors d’un tel mouvement, f_E est-elle supérieure ou inférieure à f_R ?

-  Déterminer f_E et f_R.

a)-  Déterminer la relation correcte à partir d’une analyse dimensionnelle et de la situation illustrée par le document.

b)-  D’où vient le nombre 2 dans l’expression de la vitesse ? On pourra s’aider d’un schéma.

c)-  Calculer la valeur de la vitesse V du véhicule.

a)-  Déterminer graphiquement la vitesse V_vidéo, du véhicule, obtenue à partir de la vidéo du mouvement.

b)-  Conclure en comparant les valeurs de V et V_vidéo.

1)- Approche expérimentale :

a)-  Différences entre les expériences :

-  Dans le cas du cinémomètre, un émetteur fixe émet un signal et ce signal se réfléchit sur un véhicule qui se rapproche à la vitesse V du récepteur qui est fixe.

-  Dans le cas de l’expérience de Buys-Ballot, l’émetteur est situé sur le véhicule qui se rapproche du récepteur à la vitesse V.

b)-  La propriété des ondes mise en évidence : on met ici en évidence la réflexion des ondes.

c)-  La mesure de la vitesse est faite lorsque le véhicule se rapproche du cinémomètre.

d)-  f_E est-elle supérieure ou inférieure à f_R :

-  L’émetteur émet un signal de fréquence f_E qui se déplace à la célérité c vers le véhicule qui se rapproche à la vitesse V.

-  En conséquence, la fréquence du signal reçu f_R est supérieure à celle du signal émis f_E.

►  Une méthode de résolution :

-  On note :

-  f_E : fréquence du signal produit par l’émetteur ;

-  f_R : fréquence du signal reçu par le récepteur ;

-  c : célérité de l’onde ;

-  V_E : vitesse du véhicule dans le référentiel lié au cinémomètre.

-  Émission du premier Bip :

-  Distance parcourue par le véhicule lorsque l’onde l’atteint : d

-  Distance parcourue par l’onde :

-  Aller : d

-  Retour : d

-  Pour parcourir la distance aller d, l’onde a mis la durée t₁– t₀.

-   

-  Durée pour parcourir le retour :

-   

-  Date d’arrivée :

-   

-  Émission du second bip :

-  Le second Bip est émis au temps T_E.

-  Distance parcourue par la voiture pendant la durée T_E :

-  d’ = V_E . T_E

-  Temps mis par l’onde pour arriver sur le véhicule :

-   

-  Date à laquelle se produit la réflexion :

-   

-  Durée du parcours retour :

-   

-  Date à laquelle le second bip arrive au niveau du récepteur :

-   

-  Que représente la durée t’₂ – t₂ ?

-  Cette durée représente la période T_R du signal reçu par le cinémomètre.

-   

-  Expression de la fréquence f_R :

-   

-  De la relation (1), on peut déduire que T_R < T_E car

-  En conséquence : f_R > f_E.

2)- Détermination de f_E et f_R :

-  Comme f_R > f_E :

-  f_E = 40,000 kHz et f_R = 40,280 kHz

3)- Étude avec les ondes ultrasonores :

a)-  Relation correcte :

b)-  Le nombre 2 dans l’expression de la vitesse :

-     

-  L’apparition du nombre 2 dans cette expression provient du fait que l’onde analysée

est obtenue par réflexion. L’onde fait un aller-retour pour arriver au récepteur.

c)-  Valeur de la vitesse V du véhicule :

-  L’expression (2) appliquée aux ondes ultrasonores donne :

-   

-  De l’expression (2’), on tire :

-   

-  Application numérique :

-   

a)-  Détermination graphique de la vitesse :

-  Le graphique représente des variations de la position x en fonction du temps.

-  Les points sont sensiblement alignés et la droite moyenne est du type x = a . t + x₀

-  Le coefficient directeur a de la droite moyenne tracée représente la vitesse V_Vidéo du véhicule.

-  Valeur de la vitesse :

-     

b)-  Comparaison et conclusion :

-  V_E ≈ 1,18 m / s et V_Vidéo ≈ 1,07 m / s

-  On peut calculer l’erreur relative entre ces deux valeurs :

-   

-  Le résultat est médiocre. Cela est certainement lié à l’exploitation du graphique qui n'est pas très précise.

On réalise le montage suivant dans lequel S est une source de lumière monochromatique de longueur d’onde dans le vide λ = 488 nm.

Cette source éclaire deux fentes étroites S₁ et S₂, séparées par une distance b = 0,20 mm.

Schéma :

On observe la figure obtenue sur un écran situé à la distance D = 1,00 m du plan de ces fentes.

On considère sur l’écran l’axe (Ox), O se trouve sur la médiatrice de [S₁S₂].

Pour un point P de cet axe d’abscisse x_P, la différence de marche entre les deux ondes provenant de S₁ et S s’écrit :

a)-  Quelle est la différence de marche en O ?

b)-  Qu’observe-t-on sur l’écran en ce point ?

a)-  Calculer la différence de marche au point P d’abscisse x_P = 6,1 mm.

b)-  Qu’observe-t-on sur l’écran en ce point ?

1)- Étude au point O :

a)-  Différence de marche en O :

-  Pour des raisons de symétrie, la différence de marche au point O est nulle.

b)-  On observe une frange brillante sur l’écran.

a)-  Différence de marche au point P d’abscisse x_P = 6,1 mm

-     

b)-  Observation sur l’écran :

-  Si δ  = k . λ,

-  Les deux ondes arrivent au point P en phase et elles ajoutent leurs effets.

-  On dit que l’interférence est constructive.

-  On obtient une frange brillante.

-  Si,

-  Les deux ondes arrivent au point M en opposition de phase et elles annulent leurs effets.

-  On dit que l’interférence est destructive.

-  On obtient une frange sombre.

-  Dans le cas présent :

-   

-  Comme , on observe une frange sombre au point P.

►  Pour retrouver l’expression de la différence de marche au point P :

-  Si les deux rayons lumineux se déplacent dans le même milieu d’indice n, il existe une différence de chemin optique entre les deux rayons.

-  On parle de différence de marche δ.

-  Il existe entre les deux ondes lumineuses arrivant en P une différence de marche δ.

-  δ = |(SS₂ + S₂P) – (SS₁ + S₁P)|

-  Comme SS₂ = SS₁

-  δ = |S₂P – S₁P)|

-  On va utiliser :

-  Le fait que D >> b et D >> x

-  L’approximation suivante : (1 + ε)ⁿ ≈ 1 + n ε avec ε << 1.

-  La relation : A² – B² = (A + B) (A –B)

-  Le théorème de Pythagore.

-  Expression de S₂P :

-     

-   

-  Expression de S₁P : de la même façon

-     

-  Étude de l’expression :

-  La grandeur x << D et la grandeur b << D

-  En conséquence :

-  On peut utiliser l’approximation suivante : (1 + ε)ⁿ ≈ 1 + n ε avec ε << 1.

-     

-  De la même façon :

-     

-  Expression de la différence de marche :

-  δ = |S₂P – S₁P)| = S₂P – S₁P dans le cas de la figure étudiée.

-     

-  On va utiliser le fait que : A² – B² = (A + B) (A –B)

-   

-  Il y a interférences constructives si δ = k . λ (un nombre entier de longueurs d’onde)

-  Il y a interférences destructives si   (un nombre impair de demi-longueurs d’onde λ)

Deux fentes étroites et parallèles, séparées par une distance b = 0,20 mm, sont éclairées par un faisceau de lumière monochromatique de longueur d’onde λ dans le vide.

On observe sur l’écran, placé à une distance D = 1,00 m du plan de ces fentes, une alternance de franges brillantes et sombres.

La distance séparant les milieux de deux franges brillantes (ou sombres) consécutives est appelée « interfrange » et notée i.

1)- Afin de déterminer l’interfrange, on mesure la distance d comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

-  On obtient d = 30 mm. Calculer l’interfrange i.

-  Schéma :

a)-  Par analyse dimensionnelle, déterminer l’expression qui permet de calculer

l’interfrange i parmi les propositions suivantes :

b)-  En déduire la longueur d’onde λ de la lumière.

3)- Pourquoi a-t-on mesuré plusieurs interfranges ?

1)- Valeur de l’interfrange i :

-  d = 10 i  =>  i = 3,0 mm

a)-  Analyse dimensionnelle :

-  La bonne relation est la relation (B) :

b)-  Longueur d’onde λ de la lumière :

-     

3)- On mesure plusieurs interfranges pour avoir une plus grande précision sur la mesure.

- Comme l’interfrange i est très petit, le fait de mesurer d = 10 i,

- On réduit ainsi l’erreur systématique sur la mesure.

- L’erreur commise est la même si on mesure i ou 10 i

-  (on utilise le même instrument de mesure).