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Contrôle N° 04 bis Résistance d'une bobine réelle. |
Correction |
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Résistance
d’une bobine réelle.
Dans tout
l’exercice, on tiendra compte de la précision des données afin
d’exprimer les résultats numériques en accord avec cette précision.
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Un étudiant, ‘’curieux’’, veut vérifier la valeur de la résistance r d’une bobine réelle d’inductance L = 250 mH, modélisée sous forme d’un dipôle (r, L) en série. La tension en fonction du temps dans le cas général d’un courant électrique d’intensité i (t) aux bornes d’une telle bobine est donnée par la relation : |
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Il dispose de tout le matériel souhaitable et procède à plusieurs essais.
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Pour mesurer la valeur de r, l’étudiant réalise un circuit comportant un générateur de tension continue de valeur E = 6,00 V de résistance interne négligeable, un ampèremètrenumérique, un voltmètre numérique, des fils de connexion et
la bobine à étudier. |
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1)- Compléter le schéma du circuit 1 présenté en annexe en indiquant les positions et les bornes de branchement de l’ampèremètre et du voltmètre. Faire figurer la tension Ug = E (tension aux bornes du générateur) ainsi que la tension Ub = (tension aux bornes de la bobine). On négligera la tension aux bornes de l’ampèremètre.
2)- Les mesures des appareils donnent Ub = 5,95 V et I = 280 mA. En déduire la valeur r1 de la résistance de la bobine dans ce cas particulier.Justifier votre démarche.
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L’étudiant modifie le montage précédent auquel il ajoute une résistance R’ = 10,0 Ω en série. Il remplace les appareils de mesure par un système d’acquisition informatisé qui lui donne les variations de i (t) obtenues à la fermeture de l’interrupteur. La tension du
générateur reste fixe et égale à 6,00 V. |
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1)- Quel est alors le phénomène observé dans le circuit ?
2)- Sur le schéma du circuit 2 modifié présenté en annexe, indiquer comment brancher le système d’acquisition (voie d’entrée YA et voie de référence : masse)afin d’obtenir une tension proportionnelle à l’intensité du courant dans le circuit. Justifier votre réponse.
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3)- Déterminer la valeur de la constante de temps τ à partir du document (annexe) obtenu par le système d’acquisition. Détailler clairement la méthode utilisée sur le graphe donné en annexe. (On peut utiliser les deux méthodes pour plus de précision) |
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- On utilise la méthode de la tangente à l’origine de la courbe : - elle coupe l’asymptote horizontale en une date qui est la constante de temps τ. - On lit τ = 8,0 ms. - On peut aussi s’assurer du résultat en déterminant la date - pour laquelle i prend 63 % de sa valeur maximale I0. - Il s’agit de la date où - i (τ) = 0,63 × 188 - i (τ) ≈ 118 mA environ. - Les deux méthodes concordent. |
III- Constante de temps du circuit :
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1)- La valeur de τ de ce circuit est égale au rapport où R représente la résistance électrique totale du circuit. Donner l’expression littérale de τ en fonction des paramètres du circuit et vérifier par une analyse dimensionnelle que τ est homogène à un temps.
2)- La bobine ayant une inductance L = 250 mH, déduire la valeur r2 de sa résistance r.
3)- On considère que l’intensité i (t) atteint la valeur limite I∞ = 188 mA au bout d’une durée 5 fois supérieure à τ. a)- Quel est alors le régime de fonctionnement de la bobine ?
b)- Exprimer r, résistance de la bobine, en fonction de E, I∞ et R’. Calculer sa valeur r3.
c)- Les trois valeurs r obtenues dans les parties 1. et 2. sont-elles cohérentes entre elles ?
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Cette bobine est branchée aux bornes d’un condensateur de capacité C = 4,00 μF, préalablement chargé par un circuit annexe non
représenté, selon le
schéma 3 ci-après :
1)- Période propre : a)- Rappeler l’expression littérale de la période propre T0 d’un oscillateur LC.
b)- Calculer la valeur de cette période T0.
2)- Observations à l’oscilloscope : a)- On branche un oscilloscope aux bornes du condensateur et on observe sur l’écran des oscillations pseudo-périodiques de pseudo-période T. Interpréter l’oscillogramme obtenu donné en annexe.
b)- Donner à l’aide de l’oscillogramme la valeur de la pseudo-période T des oscillations. |
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- Valeur de la pseudo-période
des oscillations :
T
3,0 cm 20 ms 9,6 cm
- On tire
:
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- On peut faire les mesures avec un logiciel de dessin :
- Mesure 1 :
- Mesure 2 :
T
4,02 cm 20 ms 12,84 cm - On tire :
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c)- Comparer ce résultat avec T0.
3)- équation différentielle : Soit uC la tension aux bornes du condensateur et uL la tension aux bornes de la bobine à l’instant t quelconque (t > 0). À cet instant, le condensateur porte la charge q. a)- Représenter les tensions uC et uL sur le schéma 3 donné en annexe. Indiquer la charge portée par chaque armature du condensateur à l’instant t.
b)- Écrire l’expression de la tension aux bornes du condensateur en fonction de q et C.
c)- Écrire l’expression de la tension aux bornes de la bobine en fonction de u C, L, r et t.
d)- Déduire l’équation différentielle qui régit les variations de la tension uC.
e)- Si la bobine est idéale (r = 0 Ω), l’équation différentielle admet une solution de la forme :
Que représentent les grandeurs Um et T0 ?
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Annexe :
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, on tire que :
a la dimension d’un temps. 
et
i (∞) = I∞
