controle N°04 bis, énoncé, classe de Terminale S

Résistance d’une bobine réelle.

Dans tout l’exercice, on tiendra compte de la précision des données afin d’exprimer les résultats numériques en accord avec cette précision.

Un étudiant, ‘’curieux’’, veut vérifier la valeur de la résistance r d’une bobine réelle d’inductance L = 250 mH, modélisée sous forme d’un dipôle (r, L) en série.

La tension en fonction du temps dans le cas général d’un courant électrique d’intensité i (t) aux bornes d’une telle bobine est donnée par la relation :

loi d'Ohm aux bornes d'une bobine

Il dispose de tout le matériel souhaitable et procède à plusieurs essais.

I- En régime permanent.

Pour mesurer la valeur de r, l’étudiant réalise un circuit comportant un générateur de tension continue de valeur

E = 6,00 V de résistance interne négligeable,

un ampèremètre numérique, un voltmètre numérique, des fils de connexion et la bobine à étudier.

1)- Compléter le schéma du circuit 1 présenté en annexe en indiquant les positions et les bornes de branchement de l’ampèremètre et du voltmètre.

Faire figurer la tension U_g = E (tension aux bornes du générateur) ainsi que latension U_b = (tension aux bornes de la bobine).

On négligera la tension aux bornes de l’ampèremètre.

2)- Les mesures des appareils donnent U_b = 5,95 V et I = 280 mA.

En déduire la valeur r₁ de la résistance de la bobine dans ce cas particulier.

Justifier votre démarche.

II- En régime transitoire.

L’étudiant modifie le montage précédent auquel il ajoute une résistance R’ = 10,0 Ω en série.

Il remplace les appareils de mesure par un système d’acquisition informatisé

qui lui donne lesvariations de i (t) obtenues à la fermeture de l’interrupteur.

La tension du générateur reste fixe et égale à 6,00 V.

1)- Quel est alors le phénomène observé dans le circuit ?

2)- Sur le schéma du circuit 2 modifié présenté en annexe, indiquer comment brancher le système d’acquisition

(voie d’entrée Y_A et voie de référence : masse)afin d’obtenir une tension proportionnelle à l’intensité du courant dans le circuit.

Justifier votre réponse.

3)- Déterminer la valeur de la constante de temps τ à partir du document (annexe) obtenu par le système d’acquisition.

Détailler clairement la méthode utilisée sur le graphe donné en annexe.

(On peut utiliser les deux méthodes pour plus de précision)

III- Constante de temps du circuit :

1)- La valeur de τ de ce circuit est égale au rapport où R représente la résistance électrique totale du circuit.

Donner l’expression littérale de τ en fonction des paramètres du circuit et vérifier par une analyse dimensionnelle que τ est homogène à un temps.

2)- La bobine ayant une inductance L = 250 mH, déduire la valeur r₂ de sa résistance r.

3)- On considère que l’intensité i (t) atteint la valeur limite I_∞ = 188 mA au bout d’une durée 5 fois supérieure à τ.

a)- Quel est alors le régime de fonctionnement de la bobine ?

b)- Exprimer r, résistance de la bobine, en fonction de E, I_∞ et R’. Calculer sa valeur r₃.

c)- Les trois valeurs r obtenues dans les parties 1. et 2. sont-elles cohérentes entre elles ?

IV- En régime oscillatoire.

Cette bobine est branchée aux bornes d’un condensateur de capacité C = 4,00 μF,

préalablement chargé par un circuit annexe non représenté, selon le schéma 3 ci-après :

1)- Période propre :

a)- Rappeler l’expression littérale de la période propre T₀ d’un oscillateur LC.

b)- Calculer la valeur de cette période T₀.

2)- Observations à l’oscilloscope :

a)- On branche un oscilloscope aux bornes du condensateur et on observe sur l’écran des oscillations pseudo-périodiques de pseudo-période T.

Interpréter l’oscillogramme obtenu donné en annexe.

b)-   Donner à l’aide de l’oscillogramme la valeur de la pseudo-période T des oscillations.

c)-   Comparer ce résultat avec T₀.

3)- équation différentielle : Soit u_C la tension aux bornes du condensateur et u_Lla tension aux bornes de la bobine à l’instant t quelconque (t > 0).

À cet instant, le condensateur porte la charge q.

a)-   Représenter les tensions u_C et u_L sur le schéma 3 donné en annexe.

Indiquer la charge portée par chaque armature du condensateur à l’instant t.

b)-   Écrire l’expression de la tension aux bornes du condensateur en fonction de q et C.

c)-   Écrire l’expression de la tension aux bornes de la bobine en fonction de u_C, L, r et t.

d)-   Déduire l’équation différentielle qui régit les variations de la tension u _C.

e)-   Si la bobine est idéale (r = 0 Ω), l’équation différentielle admet une solution de la forme :

-      Que représentent les grandeurs U_m et T₀ ?