On charge un condensateur de capacité C inconnue à travers un conducteur ohmique de résistance R = 330 kΩ à

l’aide d’un générateur délivrant une tension continue constante U₀ = 12,0 V.

On relève les valeurs de la tension u_C aux bornes du condensateur pour différentes dates données.

On obtient le tableau de mesures suivant :

1)- Tracer sur une feuille de papier millimétré la courbe u_C = f (t) à partir du tableau de mesures ci-dessus.

On prendra 1 cm pour 10 s en abscisse et 1 cm pour 1 V en ordonnée.

-  Graphe : u_C = f (t)

2)- Faire un schéma annoté du montage. Représenter par un segment fléché la tension u_C, indiquer le sens du courant dans le circuit.

Indiquer le signe de la charge portée par chaque armature du condensateur.

-  Schéma annoté du montage :

3)- Écrire la loi d’ohm aux bornes de chacun des composants du circuit.

4)- Quelle est la valeur de la tension u_C lorsque l’intensité du courant s’annule ?

Justifier par un calcul simple.

- Valeur de la tension u_C lorsque l’intensité du courant s’annule.

- u_BM = E = u_BA  +   u_AM 

- E = R.i  +   u_C

- Lorsque l’intensité i s’annule :

- E = u_C = U₀ = 12,0 V

5)- La constante de temps d’un tel dipôle est : τ = R.C.

Montrer que la dimension de cette grandeur est bien celle d’un temps.

-  La constante de temps τ = R.C.

- analyse dimensionnelle :

- 

- Le produit R.C a bien la dimension d'un temps.

6)- Une méthode de détermination de τ fait appel au tracé de la tangente à la courbe u_C = f (t) à l’instant t = 0 s.

Montrer que cette tangente coupe la droite u_C = U₀ en un point d’abscisse t = τ. Justifier.

- Une méthode de détermination de τ

- 

La connaissance du coefficient directeur de la tangente à la courbe u_C = f (t) au temps t = 0 s, permet de connaître le rapport :

et de déduire la valeur de τ à partir de celle de U₀.

7)- En déduire la valeur numérique de cette constante de temps τ, puis la valeur de la capacité C du condensateur.

- Valeur numérique de cette constante de temps τ, puis la valeur de la capacité C du condensateur.

- À partir du tracé, on trouve : τ ≈ 34,0 s

- Valeur de la capacité du condensateur :

- 

8)- Établir l’équation différentielle vérifiée par u_C. Justifier.

- Équation différentielle vérifiée par u_C :  voir (6)

- 

9)- Cette équation différentielle admet une solution de la forme :

u_C (t) = A + B. e ^{– k.t}

-  Calculer les valeurs de A, B et k. Justifier.

- Valeurs de A, B et k :

- 

- Cette équation est vérifiée ceci quel que soit t :

- 

- À l’instant initial, la tension aux bornes du condensateur est nulle :

- 

- Récapitulatif :

- On peut donner l’expression suivante :

- u_C (t) = E . (1 – e ^{– k.t})

- Avec les valeurs numériques :

-  u_C (t) = 12,0 x (1 – e ^{– 0,0275.t})

10)- À l’aide de l’expression précédente, déterminer la valeur numérique de la tension u_C lorsque t = τ.

Lire sur le graphe la valeur de τ. Ce résultat vous semble-t-il conforme ?

- Valeur numérique de la tension u_C lorsque t = τ = R.C

- u_C (τ) = 12,0 x (1 – e ^–1)

- u_C (τ) ≈ 7,6 V

- On peut utiliser la relation :

- 

- Détermination graphique : lecture pour t = τ.

- Valeur déduite du graphique : u_C (t) ≈ 7,5 V.

- Comparaison :

- 

- Le résultat est conforme, les deux valeurs  trouvées ont des valeurs voisines.

11)- Exprimer i (t). En déduire la valeur i (0) = I₀ de l’intensité du courant au temps t = 0 s.

- Expression de i (t)

- 

_- Valeur de i (0) = I₀

_- 

_- 

12)- Calculer l’énergie emmagasinée E_C par le condensateur lorsqu’il est chargé.

- Énergie emmagasinée E_C par le condensateur lorsqu’il est chargé

- 

13)- La durée de décharge du condensateur est Δt = 4,0 x 10 ^–3  ms.

Calculer la valeur numérique de la puissance électrique P_e dissipée durant la décharge.

- Valeur numérique de la puissance électrique P_e dissipée durant la décharge :

-